Страница 17, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

100. Постройте график функции:

а) $y = |x|$;

б) $y = |x - 3| + 1$;

в) $y = -|x - 2|$;

г) $y = 2 - |x|$.

а) $y = |x|$

Для построения графика функции $y = |x|$ воспользуемся определением модуля. Модуль числа $x$ равен самому числу, если оно неотрицательное, и противоположенному числу, если оно отрицательное.

Таким образом, функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График состоит из двух частей:

1. Для $x \ge 0$ строим график линейной функции $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого координатного угла. Возьмем точки: (0, 0), (1, 1), (2, 2).
2. Для $x < 0$ строим график линейной функции $y = -x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой второго координатного угла. Возьмем точки: (-1, 1), (-2, 2).

Соединив эти две части, мы получаем график, который представляет собой V-образную кривую ("галочку") с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0, 0), ветви которой являются лучами $y = x$ для $x \ge 0$ и $y = -x$ для $x < 0$ и направлены вверх.

б) $y = |x - 3| + 1$

График этой функции можно построить с помощью геометрических преобразований графика функции $y = |x|$.

1. Начнем с базового графика $y = |x|$ (V-образная кривая с вершиной в (0, 0)).
2. Преобразование $y = |x - 3|$ соответствует сдвигу графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина сместится в точку (3, 0).
3. Преобразование $y = |x - 3| + 1$ соответствует сдвигу графика $y = |x - 3|$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина сместится в точку (3, 1).

Таким образом, искомый график — это "галочка", вершина которой находится в точке (3, 1), а ветви направлены вверх. Для точности найдем еще пару точек. Например, при $x = 4$, $y = |4 - 3| + 1 = 1 + 1 = 2$. При $x = 2$, $y = |2 - 3| + 1 = |-1| + 1 = 2$. Точки: (4, 2) и (2, 2).

Ответ: График функции представляет собой "галочку" с вершиной в точке (3, 1), ветви которой направлены вверх. График получен сдвигом графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

в) $y = -|x - 2|$

График этой функции также можно построить с помощью преобразований графика $y = |x|$.

1. Начнем с графика $y = |x|$.
2. График $y = |x - 2|$ получается сдвигом графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина перемещается в точку (2, 0).
3. Знак "минус" перед модулем, т.е. $y = -|x - 2|$, означает симметричное отражение графика $y = |x - 2|$ относительно оси Ox. Ветви "галочки" теперь будут направлены вниз.

Вершина графика останется в точке (2, 0). Найдем дополнительные точки: при $x = 3$, $y = -|3 - 2| = -1$. При $x = 1$, $y = -|1 - 2| = -|-1| = -1$. Точки: (3, -1) и (1, -1).

Ответ: График функции представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке (2, 0), ветви которой направлены вниз. График получен сдвигом графика $y = |x|$ на 2 единицы вправо и последующим отражением относительно оси Ox.

г) $y = 2 - |x|$

Перепишем функцию в виде $y = -|x| + 2$ для удобства анализа преобразований.

1. Начнем с графика $y = |x|$.
2. Функция $y = -|x|$ получается из $y = |x|$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Вершина остается в (0, 0), но ветви направлены вниз.
3. Функция $y = -|x| + 2$ получается из $y = -|x|$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Вершина перемещается из (0, 0) в точку (0, 2).

Искомый график — перевернутая "галочка" с вершиной в точке (0, 2) и ветвями, направленными вниз. Найдем точки пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = 2 - |x| \implies |x| = 2$. Отсюда $x = 2$ и $x = -2$. Точки пересечения: (2, 0) и (-2, 0).

Ответ: График функции представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке (0, 2), ветви которой направлены вниз. График получен отражением графика $y = |x|$ относительно оси Ox и последующим сдвигом на 2 единицы вверх.

101. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $y = |x|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1];$

б) $y = -|x + 4|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1];$

в) $y = -|x| + 5$ на отрезке $[-1; \sqrt{3}];$

г) $y = |x - 1| - 3$ на отрезке $[2; \sqrt{5}].$

а) $y = |x|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1]$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке, необходимо вычислить значения функции на концах этого отрезка и в его критических точках, которые попадают в данный отрезок. Затем из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Для функции $y = |x|$ критической точкой является $x = 0$, в которой производная не определена (это вершина "галочки" графика). Эта точка принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; 1]$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(0) = |0| = 0$
• $y(-\sqrt{2}) = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$
• $y(1) = |1| = 1$

Сравнивая полученные значения ($0$, $1$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$), находим, что наименьшее значение равно $0$, а наибольшее равно $\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $\sqrt{2}$.

б) $y = -|x + 4|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1]$

Критическая точка для функции $y = -|x + 4|$ находится там, где выражение под модулем равно нулю: $x + 4 = 0$, то есть $x = -4$.

Данная критическая точка $x = -4$ не принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; 1]$ (так как $-\sqrt{2} \approx -1.414$). Это означает, что на данном отрезке функция является монотонной.

Для любого $x$ из отрезка $[-\sqrt{2}; 1]$, выражение $x+4$ будет положительным. Следовательно, $|x+4| = x+4$. Тогда функция на данном отрезке принимает вид $y = -(x+4) = -x - 4$. Это линейная функция с отрицательным коэффициентом при $x$, значит, она убывает на всей области определения, включая заданный отрезок.

Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в левой крайней точке, а наименьшее — в правой.

• Наибольшее значение: $y(-\sqrt{2}) = -|-\sqrt{2} + 4| = -(4 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 4$.
• Наименьшее значение: $y(1) = -|1 + 4| = -|5| = -5$.

Ответ: наименьшее значение $-5$, наибольшее значение $\sqrt{2} - 4$.

в) $y = -|x| + 5$ на отрезке $[-1; \sqrt{3}]$

Критическая точка для функции $y = -|x| + 5$ — это $x = 0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; \sqrt{3}]$ (так как $\sqrt{3} \approx 1.732$). В этой точке находится вершина графика, и так как перед модулем стоит знак минус, это точка максимума.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• $y(0) = -|0| + 5 = 5$
• $y(-1) = -|-1| + 5 = -1 + 5 = 4$
• $y(\sqrt{3}) = -|\sqrt{3}| + 5 = 5 - \sqrt{3}$

Сравнивая полученные значения ($5$, $4$ и $5 - \sqrt{3} \approx 5 - 1.732 = 3.268$), находим, что наименьшее значение равно $5 - \sqrt{3}$, а наибольшее равно $5$.

Ответ: наименьшее значение $5 - \sqrt{3}$, наибольшее значение $5$.

г) $y = |x - 1| - 3$ на отрезке $[2; \sqrt{5}]$

Критическая точка для функции $y = |x - 1| - 3$ находится при $x - 1 = 0$, то есть $x = 1$.

Эта точка $x=1$ не принадлежит отрезку $[2; \sqrt{5}]$ (так как $\sqrt{5} \approx 2.236$). Следовательно, на данном отрезке функция монотонна.

Для любого $x$ из отрезка $[2; \sqrt{5}]$, выражение $x-1$ будет положительным. Следовательно, $|x-1| = x-1$. Тогда функция на данном отрезке принимает вид $y = (x-1) - 3 = x - 4$. Это линейная функция с положительным коэффициентом при $x$, значит, она возрастает.

Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в левой крайней точке, а наибольшее — в правой.

• Наименьшее значение: $y(2) = |2 - 1| - 3 = 1 - 3 = -2$.
• Наибольшее значение: $y(\sqrt{5}) = |\sqrt{5} - 1| - 3 = (\sqrt{5} - 1) - 3 = \sqrt{5} - 4$.

Ответ: наименьшее значение $-2$, наибольшее значение $\sqrt{5} - 4$.

102. Решите графически уравнение:

a) $|x - 2| - 4 = 0$;

б) $|x + 3| = 5$;

в) $3 - |x + 1| = 0$;

г) $|x - 4| = 3$.

а) $|x - 2| - 4 = 0$

Для графического решения уравнения преобразуем его. Перенесем $-4$ в правую часть:

$|x - 2| = 4$

Теперь решим это уравнение, найдя точки пересечения графиков двух функций: $y = |x - 2|$ и $y = 4$.

1. График функции $y = |x - 2|$ представляет собой график модуля $y = |x|$, смещенный на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Вершина этого графика находится в точке $(2, 0)$.

2. График функции $y = 4$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение 4 на оси $Oy$.

Начертив оба графика в одной системе координат, мы найдем абсциссы ($x$) точек их пересечения. Эти абсциссы и будут решениями уравнения. Для нахождения точных значений решим уравнение $|x - 2| = 4$:

Это уравнение распадается на два случая:
1) $x - 2 = 4$; $x = 6$
2) $x - 2 = -4$; $x = -2$

Графики пересекаются в точках с абсциссами $-2$ и $6$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 6$.

б) $|x + 3| = 5$

Для графического решения этого уравнения необходимо построить графики двух функций: $y = |x + 3|$ и $y = 5$.

1. График функции $y = |x + 3|$ получается из графика $y = |x|$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси $Ox$. Вершина графика находится в точке $(-3, 0)$.

2. График функции $y = 5$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение 5 на оси $Oy$.

Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих двух графиков. Найдем их, решив уравнение $|x + 3| = 5$:

Раскрываем модуль:
1) $x + 3 = 5$; $x = 2$
2) $x + 3 = -5$; $x = -8$

Абсциссы точек пересечения равны $-8$ и $2$.

Ответ: $x_1 = -8, x_2 = 2$.

в) $3 - |x + 1| = 0$

Сначала преобразуем уравнение к более удобному для построения графиков виду:

$|x + 1| = 3$

Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения графиков функций $y = |x + 1|$ и $y = 3$.

1. График функции $y = |x + 1|$ — это график $y = |x|$, смещенный на 1 единицу влево по оси $Ox$. Вершина находится в точке $(-1, 0)$.

2. График функции $y = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая через значение 3 на оси $Oy$.

Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями. Найдем их из уравнения $|x + 1| = 3$:

Уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $x + 1 = 3$; $x = 2$
2) $x + 1 = -3$; $x = -4$

Таким образом, решениями являются абсциссы $-4$ и $2$.

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 2$.

г) $|x - 4| = 3$

Чтобы решить это уравнение графически, построим графики двух функций: $y = |x - 4|$ и $y = 3$.

1. График функции $y = |x - 4|$ получается сдвигом графика $y = |x|$ на 4 единицы вправо по оси $Ox$. Его вершина находится в точке $(4, 0)$.

2. График функции $y = 3$ — это горизонтальная прямая, проходящая через $y=3$.

Решения уравнения — это абсциссы точек пересечения этих графиков. Найдем их, решив уравнение $|x - 4| = 3$:

Раскрываем модуль и получаем два случая:
1) $x - 4 = 3$; $x = 7$
2) $x - 4 = -3$; $x = 1$

Абсциссы точек пересечения — $1$ и $7$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 7$.

103. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{x^2}$;

б) $y = \sqrt{x^2 + 10x + 25}$;

в) $y = \sqrt{(x - 3)^2}$;

г) $y = -\sqrt{x^2 - 8x + 16}$.

Для решения задачи необходимо сначала проанализировать все условия, которым должна удовлетворять функция, а затем построить ее график.

Анализ условий задачи

1. Непрерывность на интервале (2; 5): График функции должен представлять собой сплошную линию без разрывов в указанном интервале.

2. Критические и стационарные точки: Вспомним определения.

• Стационарная точка — это точка из области определения функции, в которой ее производная равна нулю ($f'(x) = 0$). В таких точках касательная к графику горизонтальна.
• Критическая точка — это точка из области определения функции, в которой ее производная равна нулю или не существует.

• две являются стационарными (производная равна нулю, $f'(x)=0$);
• одна является критической точкой, где производная не существует (например, точка излома или "острия").

В дальнейшем мы будем придерживаться именно этой интерпретации.

3. Отсутствие наименьшего и наибольшего значений: На открытом интервале функция не достигает своих наибольшего и наименьшего значений, если она неограничена. Это можно обеспечить, задав на границах интервала вертикальные асимптоты, устремив функцию к бесконечности. Например, пусть $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to 5^-} f(x) = -\infty$. Это гарантирует, что ни глобальный максимум, ни глобальный минимум на интервале (2; 5) не достигаются.

Построение графика

Основываясь на проведенном анализе, спланируем поведение функции:

1. Граничное поведение: Зададим вертикальные асимптоты $x=2$ и $x=5$. Пусть $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to 5^-} f(x) = -\infty$. Это означает, что при приближении к $x=2$ справа и к $x=5$ слева функция убывает, то есть ее производная $f'(x)$ отрицательна вблизи границ интервала.

2. Поведение внутри интервала: Нам нужно расположить три критические точки (две стационарные и одну "особую") так, чтобы функция убывала на краях интервала. Для этого знаки производной $f'(x)$ должны быть отрицательными в начале и в конце. Рассмотрим следующую схему знаков производной, которая удовлетворяет этому требованию: «минус» $\rightarrow$ «плюс» $\rightarrow$ «минус» $\rightarrow$ «минус».

• Выберем точку $x=3$ как первую стационарную точку. Здесь производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума, и $f'(3)=0$.
• Выберем точку $x=3.5$ как критическую точку, где производная не существует. Здесь производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. График в этой точке будет иметь излом или острие.
• Выберем точку $x=4$ как вторую стационарную точку. Здесь производная не меняет знак (остается «–»). Так как $f'(4)=0$, это точка перегиба с горизонтальной касательной.

Таким образом, функция будет вести себя следующим образом:

• На интервале $(2; 3)$ — убывает от $+\infty$ до локального минимума.
• В точке $x=3$ — локальный минимум ($f'(3)=0$).
• На интервале $(3; 3.5)$ — возрастает до локального максимума.
• В точке $x=3.5$ — локальный максимум (излом, $f'(3.5)$ не существует).
• На интервале $(3.5; 4)$ — убывает до точки перегиба.
• В точке $x=4$ — точка перегиба с горизонтальной касательной ($f'(4)=0$).
• На интервале $(4; 5)$ — продолжает убывать, стремясь к $-\infty$.

Такая функция удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ:

Ниже представлен график функции, построенный в соответствии с описанными выше условиями.

104. Постройте график функции $y = f(x)$ и опишите её свойства, если:

a) $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, \text{ если } 1 \le x \le 2 \\ \frac{6}{x}, \text{ если } 2 < x \le 6; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x + 1}, \text{ если } x < -1 \\ -3x^2 + 3, \text{ если } -1 \le x \le 2. \end{cases}$

а)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } 1 \le x \le 2 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } 2 < x \le 6 \end{cases}$.

Построение графика:
1. На отрезке $[1, 2]$ строим график функции $y = x^2 + 2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$. Вычислим значения функции на концах отрезка: $f(1) = 1^2 + 2 = 3$. Конечная точка — $(1, 3)$. $f(2) = 2^2 + 2 = 6$. Конечная точка — $(2, 6)$. Обе точки принадлежат графику.
2. На полуинтервале $(2, 6]$ строим график функции $y = 6/x$. Это часть гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Вычислим значения на границах промежутка: При $x \to 2^+$, $y \to 6/2 = 3$. Граничная точка — $(2, 3)$ (выколотая, так как $x > 2$). При $x = 6$, $y = 6/6 = 1$. Конечная точка — $(6, 1)$. Точка $(6, 1)$ принадлежит графику.

Проанализировав график и определение функции, опишем её свойства.

Ответ:
График функции состоит из дуги параболы $y = x^2 + 2$ от точки $(1, 3)$ до $(2, 6)$ включительно и ветви гиперболы $y = 6/x$ от выколотой точки $(2, 3)$ до точки $(6, 1)$ включительно.
Свойства функции:
1. Область определения: $D(f) = [1, 6]$.
2. Область значений: $E(f) = [1, 6]$.
3. Четность: Функция ни четная, ни нечетная (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.
4. Нули функции: Нулей нет.
5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ на всей области определения $[1, 6]$.
6. Промежутки монотонности: Функция возрастает на отрезке $[1, 2]$ и убывает на полуинтервале $(2, 6]$.
7. Непрерывность и точки разрыва: Функция непрерывна на промежутках $[1, 2]$ и $(2, 6]$. В точке $x=2$ она терпит разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to 2-} f(x) = 6$, а $\lim_{x\to 2+} f(x) = 3$.
8. Экстремумы и наибольшее/наименьшее значения: Наибольшее значение функции $y_{наиб} = 6$ достигается при $x=2$. Наименьшее значение функции $y_{наим} = 1$ достигается при $x=6$.

б)

Функция задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{x+1}, & \text{если } x < -1 \\ -3x^2 + 3, & \text{если } -1 \le x \le 2 \end{cases}$.

Построение графика:
1. На интервале $(-\infty, -1)$ строим график функции $y = -\frac{4}{x+1}$. Это ветвь гиперболы, смещенной на 1 влево по оси Ox. Прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой. При $x \to -1^-$ (слева), $y \to +\infty$. Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.
2. На отрезке $[-1, 2]$ строим график функции $y = -3x^2 + 3$. Это часть параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 3)$. Вычислим значения функции на концах отрезка: $f(-1) = -3(-1)^2 + 3 = 0$. Конечная точка — $(-1, 0)$. $f(2) = -3(2)^2 + 3 = -12 + 3 = -9$. Конечная точка — $(2, -9)$. Обе точки принадлежат графику.

Проанализировав график и определение функции, опишем её свойства.

Ответ:
График функции состоит из ветви гиперболы $y = -4/(x+1)$ на интервале $(-\infty, -1)$ с вертикальной асимптотой $x=-1$, и дуги параболы $y = -3x^2 + 3$ на отрезке $[-1, 2]$ с вершиной в $(0, 3)$ и концами в точках $(-1, 0)$ и $(2, -9)$.
Свойства функции:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty, 2]$.
2. Область значений: $E(f) = [-9, +\infty)$.
3. Четность: Функция ни четная, ни нечетная (функция общего вида), так как ее область определения несимметрична относительно начала координат.
4. Нули функции: $x = -1$ и $x = 1$.
5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1, 2]$.
6. Промежутки монотонности: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $[-1, 0]$; убывает на отрезке $[0, 2]$.
7. Непрерывность и точки разрыва: Функция непрерывна на промежутках $(-\infty, -1)$ и $[-1, 2]$. В точке $x=-1$ она терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв), так как $\lim_{x\to -1-} f(x) = +\infty$.
8. Экстремумы и наибольшее/наименьшее значения: Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение функции $y_{наим} = -9$ достигается при $x=2$. Точка локального максимума — $(0, 3)$.

105. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 5x + 6$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x + 1) = f(x - 3)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \frac{1}{x}$. При каком значении $x$ выполняется равенство $f(x^2 - 1) = f(3x^2 - 3x)$?

а)

Дана функция $f(x) = x^2 - 5x + 6$. Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x + 1) = f(x - 3)$.

Для этого сначала найдем выражения для $f(x + 1)$ и $f(x - 3)$, подставив соответствующие аргументы в определение функции.

1. Вычислим $f(x + 1)$:

$f(x + 1) = (x + 1)^2 - 5(x + 1) + 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x + 1) = (x^2 + 2x + 1) - (5x + 5) + 6 = x^2 + 2x + 1 - 5x - 5 + 6 = x^2 - 3x + 2$

2. Вычислим $f(x - 3)$:

$f(x - 3) = (x - 3)^2 - 5(x - 3) + 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x - 3) = (x^2 - 6x + 9) - (5x - 15) + 6 = x^2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 6 = x^2 - 11x + 30$

3. Теперь приравняем полученные выражения и решим уравнение относительно $x$:

$f(x + 1) = f(x - 3)$

$x^2 - 3x + 2 = x^2 - 11x + 30$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-3x + 2 = -11x + 30$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-3x + 11x = 30 - 2$

$8x = 28$

$x = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} = 3.5$

Ответ: $x = 3.5$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$. Требуется найти значение $x$, при котором выполняется равенство $f(x^2 - 1) = f(3x^2 - 3x)$.

Подставим аргументы в определение функции. Равенство примет вид:

$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{3x^2 - 3x}$

Это равенство выполняется, если знаменатели дробей равны и не обращаются в ноль. Приравняем знаменатели:

$x^2 - 1 = 3x^2 - 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - x^2 - 3x + 1 = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь необходимо выполнить проверку, так как исходное равенство содержит переменные в знаменателе. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

1. $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. $3x^2 - 3x \neq 0 \Rightarrow 3x(x - 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Объединяя условия, получаем, что $x$ не может быть равен $-1$, $0$ и $1$.

Проверим найденные корни:

— Корень $x_1 = 1$ не является решением, так как он не входит в ОДЗ (при $x=1$ знаменатели обращаются в ноль).

— Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ.

Следовательно, единственным решением является $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

106. a) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 7x + 12$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x + 3) > f(0)$?

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $f(x - 1) \le f(1)$?

а) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 + 7x + 12$. Требуется найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $f(x + 3) > f(0)$.

1. Сначала найдем выражение для $f(x + 3)$. Для этого подставим $(x + 3)$ вместо $x$ в уравнение функции:

$f(x + 3) = (x + 3)^2 + 7(x + 3) + 12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x + 3) = (x^2 + 6x + 9) + (7x + 21) + 12 = x^2 + 6x + 7x + 9 + 21 + 12 = x^2 + 13x + 42$

2. Теперь найдем значение функции $f(0)$, подставив $0$ вместо $x$:

$f(0) = 0^2 + 7 \cdot 0 + 12 = 12$

3. Подставим полученные выражения в исходное неравенство $f(x + 3) > f(0)$:

$x^2 + 13x + 42 > 12$

Перенесем 12 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 + 13x + 42 - 12 > 0$

$x^2 + 13x + 30 > 0$

4. Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 13x + 30 = 0$. Можно использовать теорему Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 30$, а их сумма $x_1 + x_2 = -13$. Подбором находим корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 13x + 30$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Парабола находится выше оси Ox (то есть $y > 0$) левее меньшего корня и правее большего корня.

Следовательно, решением неравенства являются интервалы $(-\infty; -10)$ и $(-3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup (-3; \infty)$.

б) Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Требуется найти значения $x$, при которых выполняется неравенство $f(x - 1) \le f(1)$.

1. Сначала найдем выражение для $f(x - 1)$. Для этого подставим $(x - 1)$ вместо $x$ в уравнение функции:

$f(x - 1) = (x - 1)^2 - 4(x - 1) + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$f(x - 1) = (x^2 - 2x + 1) - (4x - 4) + 3 = x^2 - 2x + 1 - 4x + 4 + 3 = x^2 - 6x + 8$

2. Теперь найдем значение функции $f(1)$, подставив $1$ вместо $x$:

$f(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$

3. Подставим полученные выражения в исходное неравенство $f(x - 1) \le f(1)$:

$x^2 - 6x + 8 \le 0$

4. Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 8$ и $x_1 + x_2 = 6$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Парабола находится ниже или на оси Ox (то есть $y \le 0$) между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[2; 4]$.

Ответ: $x \in [2; 4]$.