Страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27. Сравните значения выражений:

а) $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}};$

б) $3 + 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10};$

в) $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7};$

г) $2\sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}.$

а) Сравним выражения $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$.

Сначала упростим первое выражение. Разложим 192 на множители, чтобы вынести множитель из-под знака корня: $192 = 64 \cdot 3$.

$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$.

Теперь упростим второе выражение. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{(7 + 4\sqrt{3}) - (7 - 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{7 + 4\sqrt{3} - 7 + 4\sqrt{3}}{1} = 8\sqrt{3}$.

Сравнивая результаты упрощения, мы видим, что оба выражения равны $8\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{192} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} - \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}$.

б) Сравним выражения $3 + 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$.

Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства между положительными числами сохраняется при возведении их в квадрат.

Возведем в квадрат первое выражение, используя формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$(\sqrt{7} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7 \cdot 10} + (\sqrt{10})^2 = 7 + 2\sqrt{70} + 10 = 17 + 2\sqrt{70}$.

Теперь сравним результаты: $17 + 12\sqrt{2}$ и $17 + 2\sqrt{70}$. Вычтем 17 из обоих выражений. Нам нужно сравнить $12\sqrt{2}$ и $2\sqrt{70}$.

Разделим оба выражения на 2, чтобы сравнить $6\sqrt{2}$ и $\sqrt{70}$.

Снова возведем в квадрат: $(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$ и $(\sqrt{70})^2 = 70$.

Так как $72 > 70$, то $6\sqrt{2} > \sqrt{70}$, следовательно $12\sqrt{2} > 2\sqrt{70}$, и $17 + 12\sqrt{2} > 17 + 2\sqrt{70}$.

Значит, и исходные выражения находятся в том же соотношении.

Ответ: $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$.

в) Сравним выражения $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$.

Упростим второе выражение, приведя дроби к общему знаменателю $(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7)$:

$(5\sqrt{2} - 7)(5\sqrt{2} + 7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 = 25 \cdot 2 - 49 = 50 - 49 = 1$.

Выполним вычитание:

$\frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7} = \frac{(5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7)}{1} = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 = 14$.

Теперь сравним $\sqrt{198}$ и $14$. Для этого сравним $198$ с квадратом числа $14$.

$14^2 = 196$.

Так как $198 > 196$, то $\sqrt{198} > \sqrt{196}$, а значит $\sqrt{198} > 14$.

Ответ: $\sqrt{198} > \frac{1}{5\sqrt{2} - 7} - \frac{1}{5\sqrt{2} + 7}$.

г) Сравним выражения $2\sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$.

Оба выражения положительны, поэтому сравним их квадраты.

Возведем в квадрат первое выражение:

$(2\sqrt{5} + 3)^2 = (2\sqrt{5})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 3 + 3^2 = 4 \cdot 5 + 12\sqrt{5} + 9 = 20 + 12\sqrt{5} + 9 = 29 + 12\sqrt{5}$.

Возведем в квадрат второе выражение:

$(\sqrt{10} + \sqrt{19})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2\sqrt{10 \cdot 19} + (\sqrt{19})^2 = 10 + 2\sqrt{190} + 19 = 29 + 2\sqrt{190}$.

Теперь сравним $29 + 12\sqrt{5}$ и $29 + 2\sqrt{190}$. Вычтем 29 из обоих выражений и сравним $12\sqrt{5}$ и $2\sqrt{190}$.

Чтобы сравнить эти числа, представим множители перед корнями в виде корней: $12\sqrt{5} = \sqrt{144 \cdot 5} = \sqrt{720}$ и $2\sqrt{190} = \sqrt{4 \cdot 190} = \sqrt{760}$.

Так как $720 < 760$, то $\sqrt{720} < \sqrt{760}$, следовательно $12\sqrt{5} < 2\sqrt{190}$.

Отсюда $29 + 12\sqrt{5} < 29 + 2\sqrt{190}$.

Значит, и исходные выражения находятся в том же соотношении.

Ответ: $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$.

28. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} + 3\sqrt{2};$

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2};$

в) $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} - 3\sqrt{7};$

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2}.$

Для решения данных задач воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – это модуль числа $a$. Модуль числа определяется следующим образом:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$
• $|a| = -a$, если $a < 0$

а) $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} + 3\sqrt{2}$

Сначала упростим выражение под корнем: $\sqrt{(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5})^2} = |3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}|$.

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$. Для этого сравним числа $3\sqrt{2}$ и $2\sqrt{5}$. Сравним их квадраты:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Поскольку $18 < 20$, то и $3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}$. Следовательно, разность $3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}$ отрицательна.

По определению модуля, $|3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}| = -(3\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}$.

Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:

$(2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}) + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{5} - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $2\sqrt{5}$.

б) $\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ для каждого слагаемого:

$\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}| + |3 - \sqrt{7}|$.

Определим знак первого выражения $2 - \sqrt{7}$. Сравним квадраты чисел $2$ и $\sqrt{7}$: $2^2 = 4$, $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$, значит $2 - \sqrt{7} < 0$. Поэтому, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2$.

Определим знак второго выражения $3 - \sqrt{7}$. Сравним квадраты чисел $3$ и $\sqrt{7}$: $3^2 = 9$, $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $9 > 7$, то $3 > \sqrt{7}$, значит $3 - \sqrt{7} > 0$. Поэтому, $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$(\sqrt{7} - 2) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1$.

Ответ: $1$.

в) $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} - 3\sqrt{7}$

Упрощаем выражение под корнем: $\sqrt{(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7})^2} = |2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}|$.

Определим знак выражения $2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}$. Сравним квадраты чисел $2\sqrt{15}$ и $3\sqrt{7}$:

$(2\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$

$(3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$

Поскольку $60 < 63$, то $2\sqrt{15} < 3\sqrt{7}$, и разность $2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}$ отрицательна.

Следовательно, $|2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}| = -(2\sqrt{15} - 3\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{15}$.

Подставляем в исходное выражение:

$(3\sqrt{7} - 2\sqrt{15}) - 3\sqrt{7} = 3\sqrt{7} - 2\sqrt{15} - 3\sqrt{7} = -2\sqrt{15}$.

Ответ: $-2\sqrt{15}$.

г) $\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2}$

Применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ к обоим слагаемым:

$\sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} + \sqrt{(\sqrt{10} - 4)^2} = |\sqrt{10} - 3| + |\sqrt{10} - 4|$.

Определим знак первого выражения $\sqrt{10} - 3$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{10}$ и $3$: $(\sqrt{10})^2 = 10$, $3^2 = 9$. Так как $10 > 9$, то $\sqrt{10} > 3$, значит $\sqrt{10} - 3 > 0$. Поэтому, $|\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.

Определим знак второго выражения $\sqrt{10} - 4$. Сравним квадраты чисел $\sqrt{10}$ и $4$: $(\sqrt{10})^2 = 10$, $4^2 = 16$. Так как $10 < 16$, то $\sqrt{10} < 4$, значит $\sqrt{10} - 4 < 0$. Поэтому, $|\sqrt{10} - 4| = -(\sqrt{10} - 4) = 4 - \sqrt{10}$.

Подставим раскрытые модули в выражение:

$(\sqrt{10} - 3) + (4 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 3 + 4 - \sqrt{10} = 1$.

Ответ: $1$.

Решите уравнение:

29. a) $x^2 + 6x = 0$;

б) $-3x^2 = 18x$;

в) $24 - 6x^2 = 0$;

г) $5x^2 - 30 = 0$.

а) $x^2 + 6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x + 6 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$x = -6$

Таким образом, уравнение имеет два корня: 0 и -6.

Ответ: $0; -6$.

б) $-3x^2 = 18x$

Сначала перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $ax^2+bx=0$:

$-3x^2 - 18x = 0$

Для удобства можно умножить обе части уравнения на $-1$:

$3x^2 + 18x = 0$

Теперь вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 6) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$3x = 0$ или $x + 6 = 0$

Из первого уравнения получаем $x=0$. Из второго уравнения получаем $x=-6$.

Ответ: $0; -6$.

в) $24 - 6x^2 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Изолируем член, содержащий $x^2$:

$-6x^2 = -24$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на $-6$:

$x^2 = \frac{-24}{-6}$

$x^2 = 4$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$

Ответ: $-2; 2$.

г) $5x^2 - 30 = 0$

Это также неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:

$5x^2 = 30$

Разделим обе части уравнения на $5$:

$x^2 = \frac{30}{5}$

$x^2 = 6$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{6}$

Уравнение имеет два иррациональных корня.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$.

30. a) $6x^2 - 13x - 15 = 0;$

Б) $-5x^2 - 27x + 56 = 0;$

В) $9x^2 + 40x + 16 = 0;$

Г) $-3x^2 + 16x + 75 = 0.$

а) $6x^2 - 13x - 15 = 0$

Для решения данного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ определим его коэффициенты: $a = 6$, $b = -13$, $c = -15$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-15) = 169 + 360 = 529$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-(-13) + 23}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 23}{12} = \frac{36}{12} = 3$

$x_2 = \frac{-(-13) - 23}{2 \cdot 6} = \frac{13 - 23}{12} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -\frac{5}{6}$.

б) $-5x^2 - 27x + 56 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на -1:

$5x^2 + 27x - 56 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 5$, $b = 27$, $c = -56$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = 27^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-56) = 729 + 1120 = 1849$

Так как $D > 0$, находим два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1849} = 43$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-27 + 43}{2 \cdot 5} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

$x_2 = \frac{-27 - 43}{2 \cdot 5} = \frac{-70}{10} = -7$

Ответ: $x_1 = \frac{8}{5}, x_2 = -7$.

в) $9x^2 + 40x + 16 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 9$, $b = 40$, $c = 16$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = 40^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 1600 - 576 = 1024$

Так как $D > 0$, находим два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-40 + 32}{2 \cdot 9} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}$

$x_2 = \frac{-40 - 32}{2 \cdot 9} = \frac{-72}{18} = -4$

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = -\frac{4}{9}$.

г) $-3x^2 + 16x + 75 = 0$

Умножим все члены уравнения на -1:

$3x^2 - 16x - 75 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = -16$, $c = -75$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75) = 256 + 900 = 1156$

Так как $D > 0$, находим два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.

Вычисляем корни:

$x_1 = \frac{-(-16) + 34}{2 \cdot 3} = \frac{16 + 34}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$

$x_2 = \frac{-(-16) - 34}{2 \cdot 3} = \frac{16 - 34}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Ответ: $x_1 = \frac{25}{3}, x_2 = -3$.

31. Решите уравнение методом введения новой переменной:

a) $x^4 - 2x^2 - 8 = 0;$

б) $x^4 - 11x^2 + 18 = 0;$

в) $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0;$

г) $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0.$

а) Исходное уравнение: $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:
$t^2 - 2t - 8 = 0$.
Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет условию.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), поэтому он является посторонним.
Вернемся к исходной переменной $x$, используя корень $t = 4$:
$x^2 = 4$.
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Ответ: $x = \pm 2$.

б) Исходное уравнение: $x^4 - 11x^2 + 18 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем замену: $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 11t + 18 = 0$.
Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 11, произведение равно 18. Корни $t_1=9$ и $t_2=2$.
Либо через дискриминант:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$.
$t_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2} = \frac{11 + 7}{2} = 9$.
$t_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2} = \frac{11 - 7}{2} = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Отсюда $x = \pm 3$.
2) Если $t = 2$, то $x^2 = 2$. Отсюда $x = \pm \sqrt{2}$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $x = \pm 3; x = \pm \sqrt{2}$.

в) Исходное уравнение: $2(x^2 - 1)^2 - 13(x^2 - 1) - 24 = 0$.
Введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - 1$.
Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 - 1 \ge -1$. Следовательно, для новой переменной должно выполняться условие $t \ge -1$.
Подставим $t$ в уравнение:
$2t^2 - 13t - 24 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-24) = 169 + 192 = 361 = 19^2$.
$t_1 = \frac{13 + 19}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$.
$t_2 = \frac{13 - 19}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge -1$.
Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет условию ($8 > -1$).
Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию ($-1.5 < -1$), поэтому он посторонний.
Выполним обратную замену для $t = 8$:
$x^2 - 1 = 8$.
$x^2 = 9$.
$x = \pm 3$.
Ответ: $x = \pm 3$.

г) Исходное уравнение: $(x^2 - 4x)^2 + 9(x^2 - 4x) + 20 = 0$.
Введем замену. Пусть $t = x^2 - 4x$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 + 9t + 20 = 0$.
Решим это квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней равна -9, произведение равно 20. Корни $t_1=-4$ и $t_2=-5$.
Или через дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$.
$t_1 = \frac{-9 + 1}{2} = -4$.
$t_2 = \frac{-9 - 1}{2} = -5$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) При $t = -4$:
$x^2 - 4x = -4$.
$x^2 - 4x + 4 = 0$.
Это полный квадрат: $(x - 2)^2 = 0$.
Отсюда $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$.
2) При $t = -5$:
$x^2 - 4x = -5$.
$x^2 - 4x + 5 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $x = 2$.

32. Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 + 2x - 63}{49 - x^2}$;

б) $\frac{6x^2 + x}{6x^2 - 17x - 3}$;

в) $\frac{8x - x^2}{x^2 - 3x - 40}$;

г) $\frac{5x^2 - 12x + 4}{25x^2 - 4}$.

а) $\frac{x^2 + 2x - 63}{49 - x^2}$

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель $x^2 + 2x - 63$. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 + 2x - 63 = 0$.
По теореме Виета:

• сумма корней $x_1 + x_2 = -2$;
• произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -63$.

Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -9$.
Следовательно, разложение числителя имеет вид: $x^2 + 2x - 63 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 7)(x - (-9)) = (x - 7)(x + 9)$.

2. Разложим знаменатель $49 - x^2$. Это разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.

3. Подставим полученные разложения в исходную дробь:
$\frac{(x - 7)(x + 9)}{(7 - x)(7 + x)}$

4. Заметим, что множители $(x - 7)$ и $(7 - x)$ являются противоположными, то есть $(x - 7) = -(7 - x)$. Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-(7 - x)(x + 9)}{(7 - x)(7 + x)}$

5. Сократим общий множитель $(7 - x)$:
$\frac{-(x + 9)}{7 + x} = -\frac{x + 9}{x + 7}$

Ответ: $-\frac{x + 9}{x + 7}$

б) $\frac{6x^2 + x}{6x^2 - 17x - 3}$

1. Разложим числитель $6x^2 + x$, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$6x^2 + x = x(6x + 1)$.

2. Разложим знаменатель $6x^2 - 17x - 3$. Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 17x - 3 = 0$ через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 289 + 72 = 361 = 19^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 19}{2 \cdot 6} = \frac{36}{12} = 3$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 19}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Разложение знаменателя: $6x^2 - 17x - 3 = 6(x - 3)(x - (-\frac{1}{6})) = 6(x-3)(x+\frac{1}{6}) = (x - 3)(6x + 1)$.

3. Подставим разложения в дробь:
$\frac{x(6x + 1)}{(x - 3)(6x + 1)}$

4. Сократим общий множитель $(6x+1)$:
$\frac{x}{x - 3}$

Ответ: $\frac{x}{x - 3}$

в) $\frac{8x - x^2}{x^2 - 3x - 40}$

1. Разложим числитель $8x - x^2$, вынеся за скобки $-x$ для удобства последующего сокращения:
$8x - x^2 = -x(x - 8)$.

2. Разложим знаменатель $x^2 - 3x - 40$. Решим уравнение $x^2 - 3x - 40 = 0$.
По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = 3$;
• $x_1 \cdot x_2 = -40$.

Корни уравнения: $x_1 = 8$ и $x_2 = -5$.
Разложение знаменателя: $x^2 - 3x - 40 = (x - 8)(x - (-5)) = (x - 8)(x + 5)$.

3. Подставим разложения в дробь:
$\frac{-x(x - 8)}{(x - 8)(x + 5)}$

4. Сократим общий множитель $(x - 8)$:
$\frac{-x}{x + 5} = -\frac{x}{x + 5}$

Ответ: $-\frac{x}{x + 5}$

г) $\frac{5x^2 - 12x + 4}{25x^2 - 4}$

1. Разложим числитель $5x^2 - 12x + 4$. Найдем корни уравнения $5x^2 - 12x + 4 = 0$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 144 - 80 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{12 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.
$x_2 = \frac{12 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
Разложение числителя: $5x^2 - 12x + 4 = 5(x - 2)(x - \frac{2}{5}) = (x - 2)(5x - 2)$.

2. Разложим знаменатель $25x^2 - 4$ по формуле разности квадратов:
$25x^2 - 4 = (5x)^2 - 2^2 = (5x - 2)(5x + 2)$.

3. Подставим разложения в дробь:
$\frac{(x - 2)(5x - 2)}{(5x - 2)(5x + 2)}$

4. Сократим общий множитель $(5x - 2)$:
$\frac{x - 2}{5x + 2}$

Ответ: $\frac{x - 2}{5x + 2}$