Страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

39. a) $\sqrt{x+4} = 3;$

б) $\sqrt{\frac{x+7}{x+2}} = 3;$

в) $\sqrt{3x-1} = 2\sqrt{2};$

г) $\sqrt{\frac{2x-8}{6-x}} = 2.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{x+4}=3$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$x + 4 \ge 0$
$x \ge -4$
Далее, для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:
$(\sqrt{x + 4})^2 = 3^2$
$x + 4 = 9$
Перенесем 4 в правую часть уравнения:
$x = 9 - 4$
$x = 5$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Условие $5 \ge -4$ выполняется.
Подставим найденное значение $x=5$ в исходное уравнение для проверки:
$\sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$
$3 = 3$
Равенство верно, следовательно, корень найден правильно.
Ответ: $5$

б) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x+7}{x+2}} = 3$.
Найдем ОДЗ. По определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} \frac{x+7}{x+2} \ge 0 \\ x+2 \ne 0 \end{cases}$
Решим неравенство $\frac{x+7}{x+2} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x=-7$. Нули знаменателя: $x=-2$ (выколотая точка).
Отметив точки на числовой прямой, получаем интервалы $(-\infty, -7]$, $[-7, -2)$ и $(-2, +\infty)$.
Определив знаки выражения на интервалах, получаем решение неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup (-2, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.
Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:
$(\sqrt{\frac{x+7}{x+2}})^2 = 3^2$
$\frac{x+7}{x+2} = 9$
$x+7 = 9(x+2)$
$x+7 = 9x + 18$
$7 - 18 = 9x - x$
$-11 = 8x$
$x = -\frac{11}{8}$ или $x = -1.375$.
Проверим, входит ли корень в ОДЗ. Так как $-1.375 > -2$, корень $x = -\frac{11}{8}$ принадлежит ОДЗ.
Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{\frac{-11/8+7}{-11/8+2}} = \sqrt{\frac{45/8}{5/8}} = \sqrt{9} = 3$. Верно.
Ответ: $-\frac{11}{8}$

в) Исходное уравнение: $\sqrt{3x-1} = 2\sqrt{2}$.
Определим ОДЗ:
$3x - 1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x - 1})^2 = (2\sqrt{2})^2$
$3x - 1 = 4 \cdot 2$
$3x - 1 = 8$
$3x = 9$
$x = 3$
Проверим корень на соответствие ОДЗ. Условие $3 \ge \frac{1}{3}$ выполняется.
Проверка подстановкой в исходное уравнение:
$\sqrt{3(3) - 1} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$
$2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
Равенство верное.
Ответ: $3$

г) Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{2x-8}{6-x}} = 2$.
Найдем ОДЗ из системы условий:
$\begin{cases} \frac{2x-8}{6-x} \ge 0 \\ 6-x \ne 0 \end{cases}$
Решим неравенство $\frac{2(x-4)}{-(x-6)} \ge 0$, что эквивалентно $\frac{x-4}{x-6} \le 0$.
Методом интервалов с точками $x=4$ и $x=6$ (выколотая) получаем, что ОДЗ: $x \in [4, 6)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{\frac{2x-8}{6-x}})^2 = 2^2$
$\frac{2x-8}{6-x} = 4$
$2x-8 = 4(6-x)$
$2x-8 = 24-4x$
$2x+4x = 24+8$
$6x = 32$
$x = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$
Проверим, входит ли корень в ОДЗ. $x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$. Так как $4 \le 5\frac{1}{3} < 6$, корень удовлетворяет ОДЗ.
Проверка подстановкой: $\sqrt{\frac{2(16/3)-8}{6-16/3}} = \sqrt{\frac{32/3-24/3}{18/3-16/3}} = \sqrt{\frac{8/3}{2/3}} = \sqrt{4} = 2$. Верно.
Ответ: $\frac{16}{3}$

40. a) $\sqrt{x^2 - 5x} = 6;$

б) $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1;$

В) $\sqrt{x^2 + 6x} = 4;$

Г) $\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4.$

а) $\sqrt{x^2 - 5x} = 6$

Для решения данного иррационального уравнения возведем обе его части в квадрат. Поскольку правая часть уравнения ($6$) является положительным числом, это преобразование является равносильным на области допустимых значений переменной ($x^2 - 5x \ge 0$).

$(\sqrt{x^2 - 5x})^2 = 6^2$

$x^2 - 5x = 36$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна $5$, а их произведение равно $-36$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 9$

$x_2 = -4$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению.

При $x_1 = 9$: $\sqrt{9^2 - 5 \cdot 9} = \sqrt{81 - 45} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

При $x_2 = -4$: $\sqrt{(-4)^2 - 5 \cdot (-4)} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верно.

Оба корня подходят.

Ответ: $-4; 9$.

б) $\sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Так как правая часть ($1$) положительна, это равносильное преобразование.

$(\sqrt{x^2 - 5x + 5})^2 = 1^2$

$x^2 - 5x + 5 = 1$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $5$, произведение равно $4$. Корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 4$

Выполним проверку. Поскольку мы возводили в квадрат уравнение, где правая часть была положительным числом, достаточно убедиться, что подкоренное выражение исходного уравнения при найденных значениях $x$ неотрицательно.

При $x_1 = 1$: $x^2 - 5x + 5 = 1^2 - 5(1) + 5 = 1 - 5 + 5 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень подходит. $\sqrt{1} = 1$.

При $x_2 = 4$: $x^2 - 5x + 5 = 4^2 - 5(4) + 5 = 16 - 20 + 5 = 1$. Так как $1 \ge 0$, корень подходит. $\sqrt{1} = 1$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $1; 4$.

в) $\sqrt{x^2 + 6x} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат. Правая часть ($4$) положительна, поэтому преобразование является равносильным.

$(\sqrt{x^2 + 6x})^2 = 4^2$

$x^2 + 6x = 16$

Перенесем $16$ в левую часть:

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение $-16$. Корни уравнения:

$x_1 = -8$

$x_2 = 2$

Проведем проверку найденных корней, подставив их в исходное уравнение.

При $x_1 = -8$: $\sqrt{(-8)^2 + 6 \cdot (-8)} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.

При $x_2 = 2$: $\sqrt{2^2 + 6 \cdot 2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$. Равенство верно.

Оба корня удовлетворяют уравнению.

Ответ: $-8; 2$.

г) $\sqrt{x^2 + 5x + 2} = 4$

Возводим обе части уравнения в квадрат. Правая часть ($4$) является положительным числом, поэтому данное преобразование равносильно.

$(\sqrt{x^2 + 5x + 2})^2 = 4^2$

$x^2 + 5x + 2 = 16$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим уравнение, используя теорему Виета. Сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $-14$. Корни:

$x_1 = -7$

$x_2 = 2$

Выполним проверку. Убедимся, что подкоренное выражение исходного уравнения неотрицательно для найденных корней.

При $x_1 = -7$: $x^2 + 5x + 2 = (-7)^2 + 5(-7) + 2 = 49 - 35 + 2 = 16$. Так как $16 \ge 0$, корень подходит. $\sqrt{16} = 4$.

При $x_2 = 2$: $x^2 + 5x + 2 = 2^2 + 5(2) + 2 = 4 + 10 + 2 = 16$. Так как $16 \ge 0$, корень подходит. $\sqrt{16} = 4$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 2$.

41. a) $\sqrt{x} = 2 - x$;

б) $\sqrt{7 - x} = x - 1$;

В) $\sqrt{x + 2} = x$;

Г) $\sqrt{12 - x} = x$.

а) Решим уравнение $\sqrt{x} = 2 - x$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Кроме того, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $2 - x \ge 0$, откуда следует, что $x \le 2$.
Объединив эти условия, получаем ОДЗ для переменной $x$: $0 \le x \le 2$.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(\sqrt{x})^2 = (2 - x)^2$
$x = 4 - 4x + x^2$
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($0 \le x \le 2$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условиям ОДЗ, так как $0 \le 1 \le 2$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $x \le 2$, следовательно, является посторонним корнем.
Таким образом, единственным решением уравнения является $x=1$.
Ответ: $1$

б) Решим уравнение $\sqrt{7 - x} = x - 1$.
Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $7 - x \ge 0$, то есть $x \le 7$. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.
Общая ОДЗ: $1 \le x \le 7$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{7 - x})^2 = (x - 1)^2$
$7 - x = x^2 - 2x + 1$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, произведение равно -6. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($1 \le x \le 7$).
Корень $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ ($1 \le 3 \le 7$).
Корень $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-2 < 1$. Это посторонний корень.
Следовательно, решение уравнения — $x=3$.
Ответ: $3$

в) Решим уравнение $\sqrt{x + 2} = x$.
Найдем ОДЗ. Условие для подкоренного выражения: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Условие для правой части: $x \ge 0$.
Общая ОДЗ: $x \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 2})^2 = x^2$
$x + 2 = x^2$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, произведение равно -2. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 2$ принадлежит ОДЗ ($2 \ge 0$).
Корень $x_2 = -1$ не принадлежит ОДЗ, так как $-1 < 0$. Это посторонний корень.
Следовательно, решение уравнения — $x=2$.
Ответ: $2$

г) Решим уравнение $\sqrt{12 - x} = x$.
Найдем ОДЗ. Условие для подкоренного выражения: $12 - x \ge 0$, то есть $x \le 12$. Условие для правой части: $x \ge 0$.
Общая ОДЗ: $0 \le x \le 12$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{12 - x})^2 = x^2$
$12 - x = x^2$
Приведем к стандартному виду:
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, произведение равно -12. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($0 \le x \le 12$).
Корень $x_1 = 3$ принадлежит ОДЗ ($0 \le 3 \le 12$).
Корень $x_2 = -4$ не принадлежит ОДЗ, так как $-4 < 0$. Это посторонний корень.
Следовательно, решение уравнения — $x=3$.
Ответ: $3$

42. a) $2\sqrt{x - 1} - \sqrt{x + 4} = 1;$

б) $\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x - 1} = \sqrt{3x - 2};$

в) $\sqrt{x + 6} - 2\sqrt{x - 2} = 1;$

г) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 2} = \sqrt{2x - 5}.$

а) $2\sqrt{x-1} - \sqrt{x+4} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$
Пересечением этих условий является $x \ge 1$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы уединить его:
$2\sqrt{x-1} = 1 + \sqrt{x+4}$

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как обе части неотрицательны при $x \ge 1$, это преобразование является равносильным.
$(2\sqrt{x-1})^2 = (1 + \sqrt{x+4})^2$
$4(x-1) = 1 + 2\sqrt{x+4} + (x+4)$
$4x - 4 = x + 5 + 2\sqrt{x+4}$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
$4x - x - 4 - 5 = 2\sqrt{x+4}$
$3x - 9 = 2\sqrt{x+4}$

Прежде чем снова возводить в квадрат, необходимо убедиться, что левая часть уравнения неотрицательна (так как правая часть всегда неотрицательна):
$3x - 9 \ge 0 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 1$), получаем более сильное ограничение $x \ge 3$.

Теперь возведем обе части в квадрат:
$(3x - 9)^2 = (2\sqrt{x+4})^2$
$9x^2 - 54x + 81 = 4(x+4)$
$9x^2 - 54x + 81 = 4x + 16$

Получили квадратное уравнение. Перенесем все члены в одну сторону:
$9x^2 - 58x + 65 = 0$
Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 65 = 3364 - 2340 = 1024 = 32^2$.
$x_1 = \frac{58 + 32}{18} = \frac{90}{18} = 5$
$x_2 = \frac{58 - 32}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.
$x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 \ge 3$).
$x_2 = \frac{13}{9} \approx 1.44$ не удовлетворяет условию ($\frac{13}{9} < 3$), поэтому это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=5$ подстановкой в исходное уравнение:
$2\sqrt{5-1} - \sqrt{5+4} = 2\sqrt{4} - \sqrt{9} = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
$1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: 5.

б) $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}$

Найдем ОДЗ:
$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$
$2x-1 \ge 0 \implies x \ge 0.5$
$3x-2 \ge 0 \implies x \ge \frac{2}{3}$
Общая область допустимых значений: $x \ge \frac{2}{3}$.

Для того чтобы левая часть была неотрицательной (так как правая часть неотрицательна), должно выполняться условие $\sqrt{x+3} \ge \sqrt{2x-1}$, что равносильно $x+3 \ge 2x-1$, откуда $x \le 4$.
Таким образом, возможные решения лежат в интервале $[\frac{2}{3}; 4]$.

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x+3} = \sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2}$ и возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2})^2$
$x+3 = (2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(3x-2)} + (3x-2)$
$x+3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Уединим корень:
$x+3 - 5x + 3 = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$
$6 - 4x = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$
Разделим обе части на 2:
$3 - 2x = \sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $3 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 3 \implies x \le 1.5$.
С учетом предыдущих ограничений, ОДЗ для корней сужается до $[\frac{2}{3}; 1.5]$.

Возведем в квадрат обе части последнего уравнения:
$(3 - 2x)^2 = 6x^2 - 7x + 2$
$9 - 12x + 4x^2 = 6x^2 - 7x + 2$
$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-5 + 9}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-5 - 9}{4} = -\frac{14}{4} = -3.5$

Проверим корни. $x_1 = 1$ принадлежит интервалу $[\frac{2}{3}; 1.5]$. $x_2 = -3.5$ не принадлежит, это посторонний корень.

Проверка для $x=1$:
$\sqrt{1+3} - \sqrt{2 \cdot 1-1} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1 = 1$.
$\sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{1} = 1$.
$1=1$. Верно.

Ответ: 1.

в) $\sqrt{x+6} - 2\sqrt{x-2} = 1$

Найдем ОДЗ:
$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
Общая ОДЗ: $x \ge 2$.

Перенесем член с корнем в правую часть:
$\sqrt{x+6} = 1 + 2\sqrt{x-2}$

При $x \ge 2$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+6})^2 = (1 + 2\sqrt{x-2})^2$
$x+6 = 1 + 4\sqrt{x-2} + 4(x-2)$
$x+6 = 1 + 4\sqrt{x-2} + 4x - 8$
$x+6 = 4x - 7 + 4\sqrt{x-2}$

Уединим корень:
$x+6 - 4x + 7 = 4\sqrt{x-2}$
$13 - 3x = 4\sqrt{x-2}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $13 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 13 \implies x \le \frac{13}{3}$.
С учетом ОДЗ, получаем, что решение должно лежать в интервале $[2; \frac{13}{3}]$.

Возведем в квадрат:
$(13 - 3x)^2 = (4\sqrt{x-2})^2$
$169 - 78x + 9x^2 = 16(x-2)$
$169 - 78x + 9x^2 = 16x - 32$
$9x^2 - 94x + 201 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-94)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 201 = 8836 - 7236 = 1600 = 40^2$.
$x_1 = \frac{94 + 40}{18} = \frac{134}{18} = \frac{67}{9}$
$x_2 = \frac{94 - 40}{18} = \frac{54}{18} = 3$

Проверим корни. $x_1 = \frac{67}{9} \approx 7.44$. Этот корень не входит в интервал $[2; \frac{13}{3} \approx 4.33]$, так что он посторонний.
$x_2 = 3$ входит в интервал $[2; \frac{13}{3}]$.

Проверка для $x=3$:
$\sqrt{3+6} - 2\sqrt{3-2} = \sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 3 - 2 = 1$.
$1=1$. Верно.

Ответ: 3.

г) $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2} = \sqrt{2x-5}$

Найдем ОДЗ:
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
$2x-5 \ge 0 \implies x \ge 2.5$
Общая ОДЗ: $x \ge 2.5$.

Левая часть должна быть неотрицательной: $\sqrt{x+1} - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \ge \sqrt{x-2} \implies x+1 \ge x-2 \implies 1 \ge -2$. Это верно для всех $x$ из ОДЗ.

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x+1} = \sqrt{x-2} + \sqrt{2x-5}$ и возведем в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = (\sqrt{x-2} + \sqrt{2x-5})^2$
$x+1 = (x-2) + 2\sqrt{(x-2)(2x-5)} + (2x-5)$
$x+1 = 3x - 7 + 2\sqrt{2x^2 - 9x + 10}$

Уединим корень:
$x+1 - 3x + 7 = 2\sqrt{2x^2 - 9x + 10}$
$8 - 2x = 2\sqrt{2x^2 - 9x + 10}$
$4 - x = \sqrt{2x^2 - 9x + 10}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $4 - x \ge 0 \implies x \le 4$.
С учетом ОДЗ, решение должно лежать в интервале $[2.5; 4]$.

Возведем в квадрат:
$(4-x)^2 = 2x^2 - 9x + 10$
$16 - 8x + x^2 = 2x^2 - 9x + 10$
$x^2 - x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Сумма корней 1, произведение -6. Это корни 3 и -2.
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверим корни. $x_1 = 3$ принадлежит интервалу $[2.5; 4]$.
$x_2 = -2$ не принадлежит, это посторонний корень.

Проверка для $x=3$:
$\sqrt{3+1} - \sqrt{3-2} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1=1$.
$\sqrt{2 \cdot 3 - 5} = \sqrt{1} = 1$.
$1=1$. Верно.

Ответ: 3.

43. a) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x;$

Б) $x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1;$

В) $\sqrt{2x^2 + 8x + 1} - x = 3;$

Г) $x + \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3.$

а)

Решим иррациональное уравнение $ \sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x $.

Для начала уединим квадратный корень в левой части уравнения:

$ \sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2 $

Теперь определим область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 2x^2 + 8x + 7 \ge 0 $. Найдем корни квадратного трехчлена: $ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 64 - 56 = 8 $. Корни равны $ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{2}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $. Так как коэффициент при $ x^2 $ положителен, парабола направлена ветвями вверх, и неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -2 - \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [-2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) $.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $ x + 2 \ge 0 $, что означает $ x \ge -2 $.

Пересекая оба условия ($ x \ge -2 $ и $ x \in (-\infty, -2 - \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [-2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) $), получаем итоговую ОДЗ: $ x \in [-2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty) $.

Возведем обе части уравнения $ \sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2 $ в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$ (\sqrt{2x^2 + 8x + 7})^2 = (x + 2)^2 $

$ 2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4 $

Переносим все члены в левую часть и решаем полученное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 + 8x - 4x + 7 - 4 = 0 $

$ x^2 + 4x + 3 = 0 $

По теореме Виета, корни уравнения: $ x_1 = -1 $ и $ x_2 = -3 $.

Проверим, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($ x \ge -2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx -1.29 $).

Корень $ x_1 = -1 $ удовлетворяет условию, так как $ -1 \ge -2 + \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Корень $ x_2 = -3 $ не удовлетворяет условию, так как $ -3 < -2 + \frac{\sqrt{2}}{2} $. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $ x = -1 $

б)

Решим уравнение $ x + \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 $.

Уединим квадратный корень:

$ \sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x $

Определим ОДЗ:

1. $ 2x^2 - 7x + 5 \ge 0 $. Дискриминант $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 $. Корни: $ x_1 = \frac{7 - 3}{4} = 1 $, $ x_2 = \frac{7 + 3}{4} = 2.5 $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 1] \cup [2.5, +\infty) $.

2. $ 1 - x \ge 0 $, что означает $ x \le 1 $.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \in (-\infty, 1] $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{2x^2 - 7x + 5})^2 = (1 - x)^2 $

$ 2x^2 - 7x + 5 = 1 - 2x + x^2 $

Решаем полученное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 - 7x + 2x + 5 - 1 = 0 $

$ x^2 - 5x + 4 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 4 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ x \le 1 $).

Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию ($ 1 \le 1 $).

Корень $ x_2 = 4 $ не удовлетворяет условию ($ 4 > 1 $), поэтому является посторонним.

Ответ: $ x = 1 $

в)

Решим уравнение $ \sqrt{2x^2 + 8x + 1} - x = 3 $.

Уединим квадратный корень:

$ \sqrt{2x^2 + 8x + 1} = x + 3 $

Определим ОДЗ:

1. $ 2x^2 + 8x + 1 \ge 0 $. Дискриминант $ D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 64 - 8 = 56 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{56}}{4} = -2 \pm \frac{\sqrt{14}}{2} $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -2 - \frac{\sqrt{14}}{2}] \cup [-2 + \frac{\sqrt{14}}{2}, +\infty) $.

2. $ x + 3 \ge 0 $, что означает $ x \ge -3 $.

Пересекая условия, получаем ОДЗ: $ x \in [-2 + \frac{\sqrt{14}}{2}, +\infty) $.

Возведем обе части в квадрат:

$ (\sqrt{2x^2 + 8x + 1})^2 = (x + 3)^2 $

$ 2x^2 + 8x + 1 = x^2 + 6x + 9 $

Решаем полученное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 + 8x - 6x + 1 - 9 = 0 $

$ x^2 + 2x - 8 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -4 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ x \ge -2 + \frac{\sqrt{14}}{2} \approx -0.13 $).

Корень $ x_1 = 2 $ удовлетворяет условию ($ 2 > -0.13 $).

Корень $ x_2 = -4 $ не удовлетворяет условию ($ -4 < -0.13 $), поэтому является посторонним.

Ответ: $ x = 2 $

г)

Решим уравнение $ x + \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3 $.

Уединим квадратный корень:

$ \sqrt{2x^2 - 8x + 1} = 3 - x $

Определим ОДЗ:

1. $ 2x^2 - 8x + 1 \ge 0 $. Дискриминант $ D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 64 - 8 = 56 $. Корни: $ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{56}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{14}}{2} $. Неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}] \cup [2 + \frac{\sqrt{14}}{2}, +\infty) $.

2. $ 3 - x \ge 0 $, что означает $ x \le 3 $.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \in (-\infty, 2 - \frac{\sqrt{14}}{2}] $.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{2x^2 - 8x + 1})^2 = (3 - x)^2 $

$ 2x^2 - 8x + 1 = 9 - 6x + x^2 $

Решаем полученное квадратное уравнение:

$ 2x^2 - x^2 - 8x + 6x + 1 - 9 = 0 $

$ x^2 - 2x - 8 = 0 $

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 4 $ и $ x_2 = -2 $.

Проверим корни по ОДЗ ($ x \le 2 - \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 0.13 $).

Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет условию ($ 4 > 0.13 $), поэтому является посторонним.

Корень $ x_2 = -2 $ удовлетворяет условию ($ -2 < 0.13 $).

Ответ: $ x = -2 $

44. Решите уравнение методом введения новой переменной:

a) $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3;$

б) $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}.$

в) $\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2;$

г) $\frac{3}{\sqrt{x + 1} + 1} + 2\sqrt{x + 1} = 5.$

а) Исходное уравнение: $x^2 + 2x - 2\sqrt{x^2 + 2x} = 3$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 + 2x \ge 0$, что равносильно $x(x+2) \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$.
Введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 2x}$. Так как корень является арифметическим, то $t \ge 0$.
Тогда $x^2 + 2x = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 2t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 3$ удовлетворяет условию, так как $3 \ge 0$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < 0$, следовательно, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t=3$:
$\sqrt{x^2 + 2x} = 3$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 + 2x = 9$
$x^2 + 2x - 9 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.
$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$.
Получили два корня: $x_1 = -1 + \sqrt{10}$ и $x_2 = -1 - \sqrt{10}$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Для обоих корней выполняется равенство $x^2 + 2x = 9$, а так как $9 \ge 0$, то ОДЗ выполняется.
Ответ: $-1 - \sqrt{10}; -1 + \sqrt{10}$.

б) Исходное уравнение: $x^2 + 6x + 24 = 10\sqrt{x^2 + 6x}$.
ОДЗ: $x^2 + 6x \ge 0 \implies x(x+6) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -6] \cup [0, \infty)$.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x^2 + 6x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.
Тогда $x^2 + 6x = t^2$. Уравнение принимает вид:
$t^2 + 24 = 10t$
$t^2 - 10t + 24 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 6$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого значения $t$.
1) Случай $t = 4$:
$\sqrt{x^2 + 6x} = 4$
$x^2 + 6x = 16$
$x^2 + 6x - 16 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -8$.
2) Случай $t = 6$:
$\sqrt{x^2 + 6x} = 6$
$x^2 + 6x = 36$
$x^2 + 6x - 36 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 36 + 144 = 180$.
$\sqrt{D} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.
$x_{3,4} = \frac{-6 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -3 \pm 3\sqrt{5}$.
Все четыре найденных корня ($2, -8, -3+3\sqrt{5}, -3-3\sqrt{5}$) удовлетворяют ОДЗ, так как для них подкоренное выражение $x^2+6x$ равно $16$ или $36$, что больше или равно нулю.
Ответ: $-8; 2; -3 - 3\sqrt{5}; -3 + 3\sqrt{5}$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2$.
ОДЗ: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. Знаменатель $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$.
Введем новую переменную: пусть $t = \sqrt{2 - x}$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$t + \frac{4}{t + 3} = 2$
Умножим обе части на знаменатель $t+3$ (он не равен нулю):
$t(t+3) + 4 = 2(t+3)$
$t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$
$t^2 + t - 2 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_1 = 1$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, является посторонним.
Выполним обратную замену для $t=1$:
$\sqrt{2 - x} = 1$
$2 - x = 1^2$
$2 - x = 1$
$x = 1$.
Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \le 2$).
Ответ: $1$.

г) Исходное уравнение: $\frac{3}{\sqrt{x+1}+1} + 2\sqrt{x+1} = 5$.
ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Знаменатель $\sqrt{x+1}+1$ всегда положителен.
Введем замену: пусть $t = \sqrt{x+1}$, где $t \ge 0$.
Уравнение перепишется как:
$\frac{3}{t+1} + 2t = 5$
Умножим обе части на $t+1$:
$3 + 2t(t+1) = 5(t+1)$
$3 + 2t^2 + 2t = 5t + 5$
$2t^2 - 3t - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$t_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
$t_1 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$t_2 = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Корень $t_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t=2$:
$\sqrt{x+1} = 2$
$x+1 = 2^2$
$x+1 = 4$
$x = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$).
Ответ: $3$.