Страница 237, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Дайте определение корня $n$-й степени из неотрицательного числа.

1.

Корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Для этого определения вводятся следующие условия и обозначения: • $a$ — подкоренное число, оно должно быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.
• $n$ — показатель корня, который является натуральным числом, большим или равным 2, то есть $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$.

Запись корня $n$-й степени из числа $a$ выглядит как $\sqrt[n]{a}$.

Таким образом, равенство $\sqrt[n]{a} = b$ является верным тогда и только тогда, когда выполняются два обязательных условия:
1. $b \ge 0$ (результат извлечения корня — неотрицательное число).
2. $b^n = a$ (при возведении результата $b$ в степень $n$ мы получаем исходное подкоренное число $a$).

Этот корень также называют арифметическим корнем $n$-й степени, чтобы подчеркнуть, что его значение всегда неотрицательно.

Пример:
$\sqrt[4]{16} = 2$, поскольку выполняются оба условия:
1. $2 \ge 0$
2. $2^4 = 16$

Ответ: Корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ (где $n$ — натуральное число и $n \ge 2$) называется такое неотрицательное число $b$, что выполняется равенство $b^n = a$.

2. Дайте определение корня нечётной степени из отрицательного числа.

Корнем нечётной степени $n$ из отрицательного числа $a$ называется единственное действительное число $b$, такое, что при возведении в степень $n$ оно даёт число $a$.

Формальное определение выглядит так:
Пусть $a < 0$ — отрицательное число, а $n$ — нечётное натуральное число ($n=3, 5, 7, \dots$). Тогда корень $n$-й степени из $a$, обозначаемый как $\sqrt[n]{a}$, — это такое число $b$, для которого выполняется равенство:
$b^n = a$.

Пояснение и ключевые свойства:

1. Существование и единственность. В отличие от корней чётной степени (например, квадратного корня), которые не определены для отрицательных чисел в области действительных чисел, корень нечётной степени существует и является единственным для любого действительного числа, в том числе и отрицательного. Это связано со свойствами степенной функции $y=x^n$ с нечётным показателем. Такая функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$, и её область значений также $(-\infty; +\infty)$. Это гарантирует, что для любого числа $a$ уравнение $x^n=a$ имеет ровно один действительный корень.

2. Знак корня. Корень нечётной степени из отрицательного числа всегда является отрицательным числом. Если $a < 0$, то и $b = \sqrt[n]{a} < 0$. Это логично, поскольку только отрицательное число, возведённое в нечётную степень, может дать в результате отрицательное число (например, $(-2)^3 = -8$).

3. Основное тождество. Для любого положительного числа $a > 0$ и нечётного натурального числа $n$ справедливо равенство:
$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$
Это свойство очень удобно для вычислений, так как позволяет "вынести" знак минуса из-под знака корня.

Примеры:

• $\sqrt[3]{-8} = -2$, потому что $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
• $\sqrt[5]{-243} = -3$, потому что $(-3)^5 = -243$.
• Применяя тождество: $\sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125} = -5$.

Ответ: Корнем нечётной степени $n$ из отрицательного числа $a$ называется единственное действительное отрицательное число $b$, $n$-я степень которого равна $a$. Математически: $\sqrt[n]{a} = b \iff b^n=a$ (где $a < 0$, а $n$ — нечётное натуральное число).