Страница 232, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

59.19 a) $ \begin{cases} 2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2^x \cdot 0,25^{-y} = 512, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases}$

Определим область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$.

Преобразуем первое уравнение. Представим числа $0,25$ и $512$ в виде степеней с основанием 2:

$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

$512 = 2^9$

Подставим эти значения в первое уравнение:

$2^x \cdot (2^{-2})^{-y} = 2^9$

$2^x \cdot 2^{2y} = 2^9$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$2^{x+2y} = 2^9$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x+2y=9$

Теперь система уравнений имеет вид:

$\begin{cases} x+2y=9, \\ \sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 5; \end{cases}$

Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Подставим это в систему:

$\begin{cases} a^2+2b^2=9, \\ a + 2b = 5; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 5 - 2b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(5-2b)^2 + 2b^2 = 9$

$25 - 20b + 4b^2 + 2b^2 = 9$

$6b^2 - 20b + 25 - 9 = 0$

$6b^2 - 20b + 16 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$3b^2 - 10b + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4$.

$b_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 2}{6}$

$b_1 = \frac{12}{6} = 2$

$b_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Оба значения для $b$ неотрицательны, поэтому оба подходят. Найдем соответствующие значения $a$ для каждого $b$.

1. Если $b=2$:

$a = 5 - 2(2) = 1$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:

$x = a^2 = 1^2 = 1$

$y = b^2 = 2^2 = 4$

Получили первую пару решений $(1, 4)$.

2. Если $b=\frac{4}{3}$:

$a = 5 - 2(\frac{4}{3}) = 5 - \frac{8}{3} = \frac{15-8}{3} = \frac{7}{3}$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:

$x = a^2 = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$

$y = b^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$

Получили вторую пару решений $(\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$.

Проверка подтверждает, что обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(1, 4), (\frac{49}{9}, \frac{16}{9})$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 9^x \cdot 3^{y-3} = 729, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$

Определим область допустимых значений: $x \ge 0, y \ge 0$. Из второго уравнения $\sqrt{x} = 1 + \sqrt{y}$, следует что $\sqrt{x} \ge 1$, то есть $x \ge 1$.

Преобразуем первое уравнение. Представим числа $9$ и $729$ в виде степеней с основанием 3:

$9 = 3^2$

$729 = 3^6$

Подставим эти значения в первое уравнение:

$(3^2)^x \cdot 3^{y-3} = 3^6$

$3^{2x} \cdot 3^{y-3} = 3^6$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{2x+y-3} = 3^6$

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$2x+y-3=6$

$2x+y=9$

Теперь система уравнений имеет вид:

$\begin{cases} 2x+y=9, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $x = a^2$ и $y = b^2$. Подставим это в систему:

$\begin{cases} 2a^2+b^2=9, \\ a - b = 1; \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(1+b)^2 + b^2 = 9$

$2(1 + 2b + b^2) + b^2 = 9$

$2 + 4b + 2b^2 + b^2 = 9$

$3b^2 + 4b + 2 - 9 = 0$

$3b^2 + 4b - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.

$b_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 10}{6}$

$b_1 = \frac{6}{6} = 1$

$b_2 = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Так как $b = \sqrt{y}$, значение $b$ не может быть отрицательным. Поэтому $b_2 = -\frac{7}{3}$ является посторонним корнем. Остается единственное решение $b=1$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = 1 + b = 1 + 1 = 2$.

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:

$x = a^2 = 2^2 = 4$

$y = b^2 = 1^2 = 1$

Получили решение $(4, 1)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x=4 \ge 1, y=1 \ge 0$).

Ответ: $(4, 1)$.

59.20 a) $$\begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x - y), \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7(x - y). \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_{13}(x^2 + y^2) = 0,5 \log_{\pi} \pi^2, \\ \log_3 x - 1 = \log_3 2 - \log_3 y; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из аргументов логарифмов следует, что $x > 0$ и $y > 0$. При этих условиях $x^2 + y^2 > 0$ также выполняется.

Рассмотрим первое уравнение. Упростим его правую часть, используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$ и основное логарифмическое тождество $\log_a a = 1$:

$0,5 \log_{\pi} \pi^2 = 0,5 \cdot 2 \cdot \log_{\pi} \pi = 1 \cdot 1 = 1$.

Теперь первое уравнение имеет вид: $\log_{13}(x^2 + y^2) = 1$.

По определению логарифма, это эквивалентно $x^2 + y^2 = 13^1 = 13$.

Рассмотрим второе уравнение. Представим $1$ как логарифм по основанию 3: $1 = \log_3 3$.

$\log_3 x - \log_3 3 = \log_3 2 - \log_3 y$

Используя свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$, преобразуем обе части уравнения:

$\log_3(x/3) = \log_3(2/y)$

Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:

$x/3 = 2/y$, откуда получаем $xy = 6$.

В результате мы получили систему алгебраических уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = 6. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = 6/x$. (Деление на $x$ возможно, так как по ОДЗ $x > 0$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 + (6/x)^2 = 13$

$x^2 + 36/x^2 = 13$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ (которое не равно нулю):

$x^4 + 36 = 13x^2$

$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$. Так как $x > 0$, то $t > 0$.

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 36. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Так как $x > 0$, то $x = 2$. Тогда $y = 6/x = 6/2 = 3$. Эта пара (2, 3) удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$ и $3 > 0$).

2) Если $t = 9$, то $x^2 = 9$. Так как $x > 0$, то $x = 3$. Тогда $y = 6/x = 6/3 = 2$. Эта пара (3, 2) также удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $2 > 0$).

Ответ: (2, 3), (3, 2).

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_7(x + y) = 4 \log_7(x - y), \\ \log_7(x + y) = 5 \log_7 3 - \log_7(x - y). \end{cases} $

ОДЗ: $x+y > 0$ и $x-y > 0$.

Для удобства решения введем замену: пусть $a = \log_7(x + y)$ и $b = \log_7(x - y)$. Система уравнений примет вид:

$ \begin{cases} a = 4b, \\ a = 5 \log_7 3 - b. \end{cases} $

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$4b = 5 \log_7 3 - b$

$5b = 5 \log_7 3$

$b = \log_7 3$

Теперь найдем $a$, подставив значение $b$ в первое уравнение системы: $a = 4b = 4 \log_7 3$.

Выполним обратную замену:

1) $b = \log_7(x - y)$. Так как $b = \log_7 3$, то $\log_7(x - y) = \log_7 3$, откуда $x - y = 3$.

2) $a = \log_7(x + y)$. Так как $a = 4 \log_7 3$, то $\log_7(x + y) = 4 \log_7 3$. Используя свойство степени логарифма, $c \log_b a = \log_b a^c$, получаем: $\log_7(x+y) = \log_7 3^4 = \log_7 81$. Отсюда $x + y = 81$.

В результате мы получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 81, \\ x - y = 3. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $(x+y) + (x-y) = 81+3$, что дает $2x = 84$, и $x = 42$.

Подставим найденное значение $x=42$ в первое уравнение: $42 + y = 81$, откуда $y = 81 - 42 = 39$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение (42, 39) ОДЗ:

$x+y = 42+39 = 81 > 0$.

$x-y = 42-39 = 3 > 0$.

Оба условия выполнены, следовательно, решение верно.

Ответ: (42, 39).

59.21 a) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75. \end{cases}$

а)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Введем замену переменных: пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 0, \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $u$: $u = -v$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(-v)^2 + v^2 = \frac{1}{2}$

$v^2 + v^2 = \frac{1}{2}$

$2v^2 = \frac{1}{2}$

$v^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда получаем два возможных значения для $v$: $v = \frac{1}{2}$ или $v = -\frac{1}{2}$.

Найдем соответствующие значения для $u$, используя $u = -v$:

1. Если $v = \frac{1}{2}$, то $u = -\frac{1}{2}$.

2. Если $v = -\frac{1}{2}$, то $u = \frac{1}{2}$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы имеем две системы для нахождения $x$ и $y$.

Случай 1: $\sin x = -\frac{1}{2}$ и $\cos y = \frac{1}{2}$.

Решения этих уравнений:

$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x = \frac{1}{2}$ и $\cos y = -\frac{1}{2}$.

Решения этих уравнений:

$x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$, $\left( (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k, \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} $

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$ для преобразования второго уравнения:

$(1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = 1,75$

$2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = 1,75$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 2 - 1,75$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 0,25$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \cos^2 x + \cos^2 y = 0,25 \end{cases} $

Введем замену переменных: пусть $u = \cos x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} u + v = 0,5, \\ u^2 + v^2 = 0,25 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 0,5 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 + (0,5 - u)^2 = 0,25$

$u^2 + 0,25 - u + u^2 = 0,25$

$2u^2 - u = 0$

$u(2u - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $u$: $u = 0$ или $u = 0,5$.

Найдем соответствующие значения для $v$, используя $v = 0,5 - u$:

1. Если $u = 0$, то $v = 0,5$.

2. Если $u = 0,5$, то $v = 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным. Мы имеем две симметричные системы.

Случай 1: $\cos x = 0$ и $\cos y = 0,5$.

Решения этих уравнений:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x = 0,5$ и $\cos y = 0$.

Решения этих уравнений:

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( \frac{\pi}{2} + \pi k, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \right)$, $\left( \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Решите систему трёх уравнений с тремя переменными:

59.22 а) $\begin{cases}x + 2y - 3z = -3 \\2x - 3y + z = 8 \\-x + y - 5z = -8\end{cases}$

б) $\begin{cases}3x - 5y + z = -13 \\x + 3y - 2z = 5 \\2x - 2y + 5z = -6\end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y - 3z = -3 & (1) \\ 2x - 3y + z = 8 & (2) \\ -x + y - 5z = -8 & (3) \end{cases} $$

Решим систему методом алгебраического сложения (методом исключения). Сложим уравнение (1) и уравнение (3), чтобы исключить переменную $x$: $$ (x + 2y - 3z) + (-x + y - 5z) = -3 + (-8) $$ $$ 3y - 8z = -11 \quad (4) $$

Теперь исключим $x$ из другой пары уравнений. Умножим уравнение (1) на -2 и сложим с уравнением (2): $$ -2(x + 2y - 3z) = -2(-3) \implies -2x - 4y + 6z = 6 $$ Сложим полученное уравнение с уравнением (2): $$ (-2x - 4y + 6z) + (2x - 3y + z) = 6 + 8 $$ $$ -7y + 7z = 14 $$ Разделим обе части на 7: $$ -y + z = 2 \quad (5) $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $y$ и $z$: $$ \begin{cases} 3y - 8z = -11 & (4) \\ -y + z = 2 & (5) \end{cases} $$

Из уравнения (5) выразим $z$: $$ z = y + 2 $$

Подставим это выражение для $z$ в уравнение (4): $$ 3y - 8(y + 2) = -11 $$ $$ 3y - 8y - 16 = -11 $$ $$ -5y = -11 + 16 $$ $$ -5y = 5 $$ $$ y = -1 $$

Теперь найдем $z$, подставив значение $y$ в выражение $z = y + 2$: $$ z = -1 + 2 $$ $$ z = 1 $$

Наконец, найдем $x$, подставив значения $y$ и $z$ в уравнение (1): $$ x + 2(-1) - 3(1) = -3 $$ $$ x - 2 - 3 = -3 $$ $$ x - 5 = -3 $$ $$ x = 2 $$

Проверим решение, подставив найденные значения $x=2, y=-1, z=1$ в уравнения (2) и (3):
Уравнение (2): $2(2) - 3(-1) + 1 = 4 + 3 + 1 = 8$. Верно.
Уравнение (3): $-(2) + (-1) - 5(1) = -2 - 1 - 5 = -8$. Верно.

Ответ: $x=2, y=-1, z=1$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - 5y + z = -13 & (1) \\ x + 3y - 2z = 5 & (2) \\ 2x - 2y + 5z = -6 & (3) \end{cases} $$

Решим систему методом подстановки. Из уравнения (2) выразим переменную $x$: $$ x = 5 - 3y + 2z $$

Подставим это выражение для $x$ в уравнение (1): $$ 3(5 - 3y + 2z) - 5y + z = -13 $$ $$ 15 - 9y + 6z - 5y + z = -13 $$ $$ -14y + 7z = -13 - 15 $$ $$ -14y + 7z = -28 $$ Разделим обе части уравнения на 7: $$ -2y + z = -4 \quad (4) $$

Теперь подставим выражение для $x$ в уравнение (3): $$ 2(5 - 3y + 2z) - 2y + 5z = -6 $$ $$ 10 - 6y + 4z - 2y + 5z = -6 $$ $$ -8y + 9z = -6 - 10 $$ $$ -8y + 9z = -16 \quad (5) $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $y$ и $z$: $$ \begin{cases} -2y + z = -4 & (4) \\ -8y + 9z = -16 & (5) \end{cases} $$

Из уравнения (4) выразим $z$: $$ z = 2y - 4 $$

Подставим это выражение для $z$ в уравнение (5): $$ -8y + 9(2y - 4) = -16 $$ $$ -8y + 18y - 36 = -16 $$ $$ 10y = -16 + 36 $$ $$ 10y = 20 $$ $$ y = 2 $$

Теперь найдем $z$, подставив значение $y$ в выражение $z = 2y - 4$: $$ z = 2(2) - 4 $$ $$ z = 4 - 4 $$ $$ z = 0 $$

Наконец, найдем $x$, подставив значения $y=2$ и $z=0$ в выражение для $x$: $$ x = 5 - 3y + 2z = 5 - 3(2) + 2(0) = 5 - 6 = -1 $$

Проверим решение, подставив найденные значения $x=-1, y=2, z=0$ в уравнения (1) и (3):
Уравнение (1): $3(-1) - 5(2) + 0 = -3 - 10 = -13$. Верно.
Уравнение (3): $2(-1) - 2(2) + 5(0) = -2 - 4 + 0 = -6$. Верно.

Ответ: $x=-1, y=2, z=0$.

59.23 a) $\begin{cases} x + y = -1, \\ x - z = 2, \\ xy + xz + yz = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + 2z = 0, \\ x + 2y + z = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = -1, \\ x - z = 2, \\ xy + xz + yz = -1;\end{cases} $

Из первого и второго уравнений выразим $y$ и $z$ через $x$.

Из $x + y = -1$ получаем $y = -1 - x$.

Из $x - z = 2$ получаем $z = x - 2$.

Подставим полученные выражения для $y$ и $z$ в третье уравнение системы:

$x(-1 - x) + x(x - 2) + (-1 - x)(x - 2) = -1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$-x - x^2 + x^2 - 2x + (-x + 2 - x^2 + 2x) = -1$

$-3x + (x + 2 - x^2) = -1$

$-2x + 2 - x^2 = -1$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$-x^2 - 2x + 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его можно разложить на множители, используя корни, которые в сумме дают -2, а в произведении -3. Это числа -3 и 1.

$(x + 3)(x - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ и $z$ для каждого из найденных $x$.

1. Если $x_1 = 1$:

$y_1 = -1 - x_1 = -1 - 1 = -2$

$z_1 = x_1 - 2 = 1 - 2 = -1$

Первое решение: $(1, -2, -1)$.

2. Если $x_2 = -3$:

$y_2 = -1 - x_2 = -1 - (-3) = 2$

$z_2 = x_2 - 2 = -3 - 2 = -5$

Второе решение: $(-3, 2, -5)$.

Ответ: $(1, -2, -1), (-3, 2, -5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y + 2z = 0, \\ x + 2y + z = 1, \\ x^2 + y^2 + z^2 = 5.\end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти связь между $y$ и $z$:

$(x + 2y + z) - (x + y + 2z) = 1 - 0$

$y - z = 1$, откуда получаем $y = z + 1$.

Подставим $y = z + 1$ в первое уравнение, чтобы выразить $x$ через $z$:

$x + (z + 1) + 2z = 0$

$x + 3z + 1 = 0$, откуда $x = -3z - 1$.

Теперь подставим выражения для $x$ и $y$ в третье уравнение системы:

$(-3z - 1)^2 + (z + 1)^2 + z^2 = 5$

Раскроем скобки:

$(9z^2 + 6z + 1) + (z^2 + 2z + 1) + z^2 = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$11z^2 + 8z + 2 = 5$

$11z^2 + 8z - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение для $z$ с помощью формулы для корней. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-3) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Теперь найдем корни:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 14}{2 \cdot 11}$

$z_1 = \frac{-8 + 14}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$

$z_2 = \frac{-8 - 14}{22} = \frac{-22}{22} = -1$

Найдем соответствующие значения $x$ и $y$ для каждого $z$.

1. Если $z_1 = \frac{3}{11}$:

$y_1 = z_1 + 1 = \frac{3}{11} + 1 = \frac{14}{11}$

$x_1 = -3z_1 - 1 = -3\left(\frac{3}{11}\right) - 1 = -\frac{9}{11} - \frac{11}{11} = -\frac{20}{11}$

Первое решение: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11})$.

2. Если $z_2 = -1$:

$y_2 = z_2 + 1 = -1 + 1 = 0$

$x_2 = -3z_2 - 1 = -3(-1) - 1 = 3 - 1 = 2$

Второе решение: $(2, 0, -1)$.

Ответ: $(-\frac{20}{11}, \frac{14}{11}, \frac{3}{11}), (2, 0, -1)$.

59.24 Составьте уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, если известно, что она проходит через точки M, P, Q:

a) M(1; -2), P(-1; 8), Q(2; -1);

б) M(-1; 6), P(2; 9), Q(1; 2).

а)

Чтобы найти уравнение параболы вида $y = ax^2 + bx + c$, необходимо найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$. Поскольку парабола проходит через точки M(1; −2), P(−1; 8) и Q(2; −1), координаты этих точек должны удовлетворять уравнению параболы. Подставим координаты каждой точки в уравнение, чтобы получить систему из трех линейных уравнений.

Для точки M(1; −2):

$-2 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = -2$ (1)

Для точки P(−1; 8):

$8 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies a - b + c = 8$ (2)

Для точки Q(2; −1):

$-1 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = -1$ (3)

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b + c = -2 \\ a - b + c = 8 \\ 4a + 2b + c = -1 \end{cases} $

Для решения системы вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(a - b + c) - (a + b + c) = 8 - (-2)$

$-2b = 10$

$b = -5$

Теперь подставим найденное значение $b = -5$ в уравнения (1) и (3):

$ \begin{cases} a + (-5) + c = -2 \\ 4a + 2(-5) + c = -1 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} a + c = 3 \\ 4a + c = 9 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение новой системы из второго:

$(4a + c) - (a + c) = 9 - 3$

$3a = 6$

$a = 2$

Подставим значение $a = 2$ в уравнение $a + c = 3$:

$2 + c = 3$

$c = 1$

Мы нашли все коэффициенты: $a = 2$, $b = -5$, $c = 1$. Следовательно, искомое уравнение параболы:

$y = 2x^2 - 5x + 1$

Ответ: $y = 2x^2 - 5x + 1$.

б)

Аналогично, подставим координаты точек M(−1; 6), P(2; 9) и Q(1; 2) в уравнение $y = ax^2 + bx + c$.

Для точки M(−1; 6):

$6 = a(-1)^2 + b(-1) + c \implies a - b + c = 6$ (1)

Для точки P(2; 9):

$9 = a(2)^2 + b(2) + c \implies 4a + 2b + c = 9$ (2)

Для точки Q(1; 2):

$2 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 2$ (3)

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} a - b + c = 6 \\ 4a + 2b + c = 9 \\ a + b + c = 2 \end{cases} $

Вычтем уравнение (3) из уравнения (1):

$(a - b + c) - (a + b + c) = 6 - 2$

$-2b = 4$

$b = -2$

Подставим значение $b = -2$ в уравнения (3) и (2):

$ \begin{cases} a + (-2) + c = 2 \\ 4a + 2(-2) + c = 9 \end{cases} $

Упростим систему:

$ \begin{cases} a + c = 4 \\ 4a + c = 13 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение новой системы из второго:

$(4a + c) - (a + c) = 13 - 4$

$3a = 9$

$a = 3$

Подставим значение $a = 3$ в уравнение $a + c = 4$:

$3 + c = 4$

$c = 1$

Мы нашли все коэффициенты: $a = 3$, $b = -2$, $c = 1$. Следовательно, искомое уравнение параболы:

$y = 3x^2 - 2x + 1$

Ответ: $y = 3x^2 - 2x + 1$.

59.25 Сумма цифр задуманного трёхзначного числа равна 8, а сумма квадратов его цифр равна 26. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите задуманное число.

Пусть задуманное трёхзначное число можно представить в виде $\overline{xyz}$, где $x$ — цифра сотен, $y$ — цифра десятков, а $z$ — цифра единиц. Значение этого числа равно $100x + 10y + z$. Поскольку число трёхзначное, цифра сотен $x$ не может быть нулём ($x \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $y$ и $z$ — это цифры от 0 до 9 ($y, z \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Согласно условиям задачи, составим систему уравнений:

1. Сумма цифр равна 8:
$x + y + z = 8$

2. Сумма квадратов его цифр равна 26:
$x^2 + y^2 + z^2 = 26$

3. Если к задуманному числу прибавить 198, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное в обратном порядке, — это $\overline{zyx}$, и его значение равно $100z + 10y + x$.
$(100x + 10y + z) + 198 = 100z + 10y + x$

Начнём с упрощения третьего уравнения:

$100x + 10y + z + 198 = 100z + 10y + x$
Вычтем $10y$ из обеих частей уравнения:
$100x + z + 198 = 100z + x$
Сгруппируем слагаемые с переменными в левой части, а постоянные — в правой:
$100x - x + z - 100z = -198$
$99x - 99z = -198$
Разделим обе части на 99:
$x - z = -2$
Отсюда получаем соотношение между первой и последней цифрами:
$z = x + 2$

Теперь подставим полученное выражение для $z$ в первое уравнение ($x + y + z = 8$):

$x + y + (x + 2) = 8$
$2x + y + 2 = 8$
$2x + y = 6$
Выразим $y$ через $x$:
$y = 6 - 2x$

Теперь у нас есть выражения для $y$ и $z$ через $x$. Подставим их во второе уравнение ($x^2 + y^2 + z^2 = 26$):

$x^2 + (6 - 2x)^2 + (x + 2)^2 = 26$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$x^2 + (36 - 24x + 4x^2) + (x^2 + 4x + 4) = 26$

Приведём подобные слагаемые:

$(x^2 + 4x^2 + x^2) + (-24x + 4x) + (36 + 4) = 26$
$6x^2 - 20x + 40 = 26$
$6x^2 - 20x + 14 = 0$

Для упрощения разделим всё уравнение на 2:

$3x^2 - 10x + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно заметить, что сумма его коэффициентов равна нулю: $3 - 10 + 7 = 0$. Это означает, что один из корней равен 1.

$x_1 = 1$

Второй корень можно найти по теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2$ равно $c/a$.

$1 \cdot x_2 = \frac{7}{3} \implies x_2 = \frac{7}{3}$

Так как $x$ — это цифра, она должна быть целым числом. Поэтому корень $x = \frac{7}{3}$ не является решением задачи. Единственно возможным значением для первой цифры является $x=1$.

Теперь, зная $x$, найдём значения $y$ и $z$:

$y = 6 - 2x = 6 - 2(1) = 4$
$z = x + 2 = 1 + 2 = 3$

Таким образом, цифры задуманного числа: $x=1$ (сотни), $y=4$ (десятки), $z=3$ (единицы). Задуманное число — 143.

Проведем проверку:

1. Сумма цифр: $1 + 4 + 3 = 8$. Условие выполнено.

2. Сумма квадратов цифр: $1^2 + 4^2 + 3^2 = 1 + 16 + 9 = 26$. Условие выполнено.

3. Прибавление 198: $143 + 198 = 341$. Число 341 — это число 143, записанное в обратном порядке. Условие выполнено.

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: 143.

1. Производная в экономике. Производительность как производная объёма продукции.

Производная в экономике

Производная является одним из фундаментальных понятий в математическом анализе, которое находит широкое применение в экономике для анализа предельных (маржинальных) величин. Экономические процессы часто описываются функциями, и производная позволяет определить скорость изменения одной экономической величины по отношению к другой. Этот подход называется предельным анализом.

Ключевые экономические понятия, использующие производную:

• Предельные издержки (Marginal Cost, MC): Если функция $C(q)$ описывает общие издержки производства $q$ единиц продукции, то предельные издержки представляют собой дополнительные затраты на производство еще одной единицы продукции. Они вычисляются как производная функции общих издержек:
  $MC(q) = C'(q) = \frac{dC}{dq}$
  Это значение показывает, насколько примерно возрастут общие издержки при увеличении объема выпуска на одну единицу.
• Предельный доход (Marginal Revenue, MR): Если функция $R(q)$ описывает общий доход (выручку) от продажи $q$ единиц продукции, то предельный доход — это дополнительный доход, полученный от продажи еще одной единицы продукции. Он вычисляется как производная функции общего дохода:
  $MR(q) = R'(q) = \frac{dR}{dq}$
• Предельная прибыль (Marginal Profit, MP): Прибыль $P(q)$ является разницей между доходом и издержками: $P(q) = R(q) - C(q)$. Предельная прибыль показывает изменение прибыли при производстве и продаже одной дополнительной единицы продукции. Фирма достигает максимальной прибыли, когда предельная прибыль равна нулю, то есть когда предельный доход равен предельным издержкам:
  $P'(q) = 0 \implies R'(q) - C'(q) = 0 \implies MR(q) = MC(q)$
• Эластичность функции: Эластичность показывает, на сколько процентов изменится одна переменная (например, объем спроса) при изменении другой переменной (например, цены) на 1%. Эластичность спроса по цене вычисляется с использованием производной:
  $E_p(q) = \frac{p}{q} \cdot \frac{dq}{dp}$, где $q(p)$ — функция спроса от цены $p$.

Таким образом, производная в экономике — это мощный инструмент для анализа динамики экономических показателей, принятия оптимальных решений и прогнозирования.

Ответ: В экономике производная используется для определения предельных величин, таких как предельные издержки, предельный доход и предельная прибыль. Она показывает скорость изменения одной экономической величины относительно другой и является основой для оптимизации деятельности фирмы, например, для нахождения объема производства, при котором прибыль максимальна.

Производительность как производная объёма продукции

Производительность труда характеризует эффективность использования трудовых ресурсов. В динамическом контексте производительность в конкретный момент времени можно рассматривать как скорость производства продукции. Если объем произведенной продукции $Q$ является функцией времени $t$, то есть $Q = Q(t)$, то производительность труда в момент времени $t$ будет равна производной этой функции по времени.

Математически это выражается следующей формулой:
$P(t) = Q'(t) = \frac{dQ}{dt}$

Здесь $P(t)$ — это мгновенная производительность труда в момент времени $t$. Она измеряется в единицах продукции в единицу времени (например, штук в час, тонн в смену).

Рассмотрим пример. Пусть объем продукции, произведенный бригадой за $t$ часов рабочего дня, описывается функцией $Q(t) = -0.5t^3 + 5t^2 + 20t$, где $0 \le t \le 8$.

Чтобы найти производительность труда в любой момент времени $t$, нужно взять производную от функции $Q(t)$:
$P(t) = Q'(t) = (-0.5t^3 + 5t^2 + 20t)' = -1.5t^2 + 10t + 20$

С помощью этой формулы можно определить производительность в конкретные моменты времени:

• В начале рабочего дня ($t=0$): $P(0) = -1.5(0)^2 + 10(0) + 20 = 20$ ед./час.
• Через два часа после начала работы ($t=2$): $P(2) = -1.5(2)^2 + 10(2) + 20 = -6 + 20 + 20 = 34$ ед./час.

Также с помощью производной можно найти момент времени, когда производительность труда будет максимальной. Для этого нужно найти производную от функции производительности $P(t)$ и приравнять ее к нулю:
$P'(t) = (-1.5t^2 + 10t + 20)' = -3t + 10$
$-3t + 10 = 0 \implies t = \frac{10}{3} \approx 3.33$ часа.

Это означает, что максимальная производительность достигается примерно через 3 часа 20 минут после начала смены.

Ответ: Производительность труда в определенный момент времени представляет собой скорость изменения объема выпускаемой продукции. Если объем продукции задан как функция времени $Q(t)$, то производительность $P(t)$ является ее производной по времени: $P(t) = Q'(t)$.

объема продукции.

2. Как циркулем и линейкой провести касательную к параболе (эллипсу).

Построение касательной к параболе

Для построения касательной к параболе в заданной точке P на ней, необходимо сначала определить ключевые элементы параболы: ее ось симметрии и вершину. Предполагается, что дана кривая параболы и точка P на ней.

Этап 1: Нахождение оси симметрии и вершины параболы

1. Проведите две произвольные параллельные хорды в параболе. Это можно сделать, проведя одну прямую, пересекающую параболу в двух точках (хорда), а затем вторую прямую, параллельную первой.
2. С помощью циркуля и линейки найдите середины этих двух хорд.
3. Проведите прямую через эти две середины. Эта прямая будет параллельна оси симметрии параболы.
4. Проведите хорду, перпендикулярную этой прямой.
5. Найдите середину этой перпендикулярной хорды.
6. Прямая, проходящая через эту середину и параллельная прямой из шага 3, является осью симметрии параболы.
7. Точка пересечения оси симметрии с параболой является ее вершиной. Обозначим ее V.

Этап 2: Построение касательной в точке P

Построение основано на свойстве параболы: подкасательная (проекция отрезка касательной от точки касания до пересечения с осью симметрии) на эту ось делится вершиной пополам.

1. Из точки касания P опустите перпендикуляр на найденную ось симметрии. Обозначим основание этого перпендикуляра как N.
2. На оси симметрии отложите от вершины V отрезок VT, равный отрезку VN, в сторону, противоположную точке N. Это делается циркулем, установив его в точку V с радиусом VN и проведя дугу до пересечения с осью.
3. Проведите прямую через точки T и P.

Полученная прямая TP является искомой касательной к параболе в точке P.

Ответ: Прямая, построенная согласно вышеописанному алгоритму, является касательной к параболе в заданной точке P.

Построение касательной к эллипсу

Для построения касательной к эллипсу в заданной точке P на нем, необходимо сначала определить его фокусы. Предполагается, что дан эллипс и точка P на нем.

Этап 1: Нахождение центра, осей и фокусов эллипса

1. Найдите центр эллипса O. Для этого проведите две пары параллельных хорд. Прямые, соединяющие середины хорд в каждой паре, пересекутся в центре O.
2. Проведите через центр O окружность, пересекающую эллипс в четырех точках. Эти точки образуют прямоугольник, оси симметрии которого являются осями эллипса. Проведите эти оси.
3. Большая ось пересекает эллипс в вершинах A и A', а малая ось — в вершинах B и B'. Длина большой полуоси $a = OA$.
4. Для нахождения фокусов $F_1$ и $F_2$ установите циркуль в одну из вершин на малой оси (например, B) и проведите дугу радиусом, равным большой полуоси ($a$). Точки пересечения этой дуги с большой осью и будут фокусами.

Этап 2: Построение касательной в точке P

Построение основано на оптическом (отражательном) свойстве эллипса. Касательная к эллипсу в точке P является биссектрисой внешнего угла $\angle F_1PF_2$.

1. Соедините точку касания P с обоими фокусами $F_1$ и $F_2$, получив отрезки $PF_1$ и $PF_2$.
2. Продлите один из этих отрезков, например $F_1P$, за точку P (т.е. постройте луч $F_1P$).
3. Постройте биссектрису угла, образованного лучом $PF_2$ и продолжением отрезка $F_1P$ за точку P. Этот угол является внешним для треугольника $\triangle F_1PF_2$.
4. Для построения биссектрисы: установите циркуль в точку P и проведите дугу, пересекающую луч $PF_2$ в точке R и продолжение луча $F_1P$ в точке S. Затем с центрами в R и S проведите две дуги одинакового (и достаточного) радиуса до их пересечения. Прямая, проходящая через P и точку пересечения этих дуг, и есть искомая биссектриса.

Эта построенная прямая является касательной к эллипсу в точке P.

Ответ: Прямая, являющаяся биссектрисой внешнего угла при точке касания P треугольника, образованного этой точкой и фокусами эллипса ($\triangle F_1PF_2$), является касательной к эллипсу в данной точке.

3. Дифференцирование функции $y = f(g(x))$.

Функция вида $y = f(g(x))$ называется сложной или композицией функций. В этой записи $g(x)$ — это внутренняя функция, а $f$ — это внешняя функция. Для нахождения производной такой функции используется правило дифференцирования сложной функции, также известное как цепное правило (chain rule).

Теорема о производной сложной функции:

Если функция $u = g(x)$ имеет производную в точке $x_0$, а функция $y = f(u)$ имеет производную в соответствующей точке $u_0 = g(x_0)$, то сложная функция $y = f(g(x))$ также имеет производную в точке $x_0$, которая вычисляется по формуле:

$y'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Иными словами, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу (где аргументом выступает внутренняя функция) на производную внутренней функции по независимой переменной $x$.

В обозначениях Лейбница это правило выглядит очень наглядно. Если положить $u = g(x)$, то $y = f(u)$. Тогда:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

1. Определить, какая функция является внешней ($f$), а какая — внутренней ($g$).
2. Найти производную внешней функции $f'(u)$, оставив её аргумент без изменений (то есть, $g(x)$).
3. Найти производную внутренней функции $g'(x)$.
4. Перемножить результаты, полученные на шагах 2 и 3.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1: Найти производную функции $y = \sin(x^3)$.

Решение:

1. Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = x^3$.

2. Находим производную внешней функции: $f'(u) = (\sin(u))' = \cos(u)$. Подставляем вместо $u$ нашу внутреннюю функцию $g(x)$: $f'(g(x)) = \cos(x^3)$.

3. Находим производную внутренней функции: $g'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

4. Перемножаем результаты: $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$.

Ответ: $y' = 3x^2\cos(x^3)$

Пример 2: Найти производную функции $y = (5x^2 - 4x + 1)^7$.

Решение:

1. Внешняя функция (степенная): $f(u) = u^7$. Внутренняя функция (многочлен): $g(x) = 5x^2 - 4x + 1$.

2. Производная внешней функции: $f'(u) = 7u^6$. Применительно к нашей функции: $f'(g(x)) = 7(5x^2 - 4x + 1)^6$.

3. Производная внутренней функции: $g'(x) = (5x^2 - 4x + 1)' = 10x - 4$.

4. Перемножаем: $y' = 7(5x^2 - 4x + 1)^6 \cdot (10x - 4)$.

Ответ: $y' = 7(10x - 4)(5x^2 - 4x + 1)^6$

Пример 3: Найти производную функции $y = \ln(\cos(x))$.

Решение:

1. Внешняя функция: $f(u) = \ln(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = \cos(x)$.

2. Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{u}$. Применительно к нашей функции: $f'(g(x)) = \frac{1}{\cos(x)}$.

3. Производная внутренней функции: $g'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)$.

4. Перемножаем: $y' = \frac{1}{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x)$.

Ответ: $y' = -\tan(x)$