Страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.

Тип: Задачник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

ч. 2. Cтраница 229

Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229
№58.22 (с. 229)
Условие. №58.22 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.22, Условие

58.22 a) $ \frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0; $

б) $ \frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0. $

Решение 1. №58.22 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.22, Решение 1
Решение 2. №58.22 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.22, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.22, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 5. №58.22 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.22, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.22, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №58.22 (с. 229)

а) $ \frac{4 - x^2}{2x + 3y - 6} \ge 0 $

Данное неравенство является дробно-рациональным. Дробь неотрицательна, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, либо если числитель равен нулю. Знаменатель при этом не может быть равен нулю.

Это условие равносильно совокупности двух систем неравенств:

1) $\begin{cases} 4 - x^2 \ge 0, \\ 2x + 3y - 6 > 0. \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4 - x^2 \le 0, \\ 2x + 3y - 6 < 0. \end{cases}$

Рассмотрим каждую систему отдельно.

Решение системы 1:

Из первого неравенства получаем: $4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 2$.

Из второго неравенства: $2x + 3y - 6 > 0 \Rightarrow 3y > -2x + 6 \Rightarrow y > -\frac{2}{3}x + 2$.

Решением первой системы является множество точек $(x,y)$, для которых $x$ находится в промежутке $[-2, 2]$ и которые лежат выше прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Граничные прямые $x=-2$ и $x=2$ включаются, а прямая $y = -\frac{2}{3}x + 2$ не включается.

Решение системы 2:

Из первого неравенства получаем: $4 - x^2 \le 0 \Rightarrow x^2 \ge 4 \Rightarrow x \le -2$ или $x \ge 2$.

Из второго неравенства: $2x + 3y - 6 < 0 \Rightarrow 3y < -2x + 6 \Rightarrow y < -\frac{2}{3}x + 2$.

Решением второй системы является множество точек $(x,y)$, для которых $x \le -2$ или $x \ge 2$, и которые лежат ниже прямой $y = -\frac{2}{3}x + 2$. Граничные прямые $x=-2$ и $x=2$ включаются, а прямая $y = -\frac{2}{3}x + 2$ не включается.

Общее решение исходного неравенства — это объединение решений обеих систем.

Ответ: Объединение двух множеств точек $(x,y)$: первое задается системой $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ y > -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$, второе — системой $\begin{cases} x \le -2 \text{ или } x \ge 2 \\ y < -\frac{2}{3}x + 2 \end{cases}$.

б) $ \frac{x^2 + y^2 - 4}{|x| + |y| - 2} \le 0 $

Неравенство имеет смысл при условии, что знаменатель не равен нулю, т.е. $|x| + |y| - 2 \ne 0 \Leftrightarrow |x| + |y| \ne 2$.

Дробь неположительна, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки, или если числитель равен нулю (при ненулевом знаменателе).

Это равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \ge 0 \\ |x| + |y| - 2 < 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \le 0 \\ |x| + |y| - 2 > 0 \end{cases}$

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этих неравенств.
Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ задает окружность с центром в (0,0) и радиусом 2. Неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ задает круг, ограниченный этой окружностью, включая границу.
Уравнение $|x| + |y| = 2$ задает квадрат с вершинами в точках (2,0), (0,2), (-2,0) и (0,-2). Неравенство $|x| + |y| < 2$ задает внутреннюю часть этого квадрата, а $|x| + |y| > 2$ — его внешнюю часть.

Анализ системы 1:

Ищем точки, которые лежат на окружности $x^2+y^2=4$ или вне ее, и одновременно внутри квадрата $|x|+|y|=2$.
Квадрат вписан в окружность, поэтому все точки внутри квадрата лежат также и внутри круга ($x^2+y^2 < 4$). Следовательно, нет точек, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Система 1 не имеет решений.

Анализ системы 2:

Ищем точки, которые лежат на окружности $x^2+y^2=4$ или внутри нее, и одновременно вне квадрата $|x|+|y|=2$.
Решением является множество точек, находящихся в круге $x^2+y^2 \le 4$, но за пределами квадрата $|x|+|y|=2$.
Это область, ограниченная снаружи окружностью $x^2+y^2=4$ (включая саму окружность) и изнутри — квадратом $|x|+|y|=2$ (не включая стороны квадрата).

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих системе неравенств $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ |x| + |y| > 2 \end{cases}$. Геометрически это замкнутый круг радиуса 2 с центром в начале координат, из которого вырезана открытая внутренняя область квадрата с вершинами в точках $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$.

№58.23 (с. 229)
Условие. №58.23 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.23, Условие

58.23 Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:

a) $ \begin{cases} x \le 9, \\ y \le 0, \\ 2x + 5y \ge 10; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} x + y \le 12, \\ y - x \le 12, \\ y \ge 0. \end{cases} $

Решение 1. №58.23 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.23, Решение 1
Решение 2. №58.23 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.23, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.23, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 5. №58.23 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.23, Решение 5
Решение 6. №58.23 (с. 229)

а)

Для нахождения площади фигуры, заданной системой неравенств, сначала определим ее вершины. Фигура ограничена прямыми, уравнения которых получаются заменой знаков неравенства на знаки равенства: $x = 9$, $y = 0$ и $2x + 5y = 10$.

Найдем точки пересечения этих прямых:

1. Пересечение прямых $y=0$ и $2x + 5y = 10$.
Подставим $y=0$ в уравнение прямой: $2x + 5(0) = 10$, что дает $2x=10$, и $x=5$. Координаты первой вершины: $(5, 0)$.

2. Пересечение прямых $x=9$ и $y=0$.
Координаты второй вершины: $(9, 0)$.

3. Пересечение прямых $x=9$ и $2x + 5y = 10$.
Подставим $x=9$ в уравнение прямой: $2(9) + 5y = 10$, что дает $18 + 5y = 10$, откуда $5y = -8$ и $y = -1.6$. Координаты третьей вершины: $(9, -1.6)$.

Таким образом, фигура представляет собой треугольник с вершинами в точках $A(5, 0)$, $B(9, 0)$ и $C(9, -1.6)$.
Этот треугольник является прямоугольным, так как его стороны $AB$ и $BC$ параллельны осям координат ($AB$ лежит на оси Ox, а $BC$ параллельна оси Oy).
Длина катета $AB$ равна $9 - 5 = 4$.
Длина катета $BC$ равна $|0 - (-1.6)| = 1.6$.
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1.6 = 3.2$.

Ответ: 3.2

б)

Данная система неравенств задает на координатной плоскости фигуру, ограниченную прямыми: $x + y = 12$, $y - x = 12$ и $y = 0$.

Найдем вершины этой фигуры, решая системы уравнений для пар этих прямых:

1. Пересечение прямых $x + y = 12$ и $y - x = 12$.
Сложим эти два уравнения: $(x + y) + (y - x) = 12 + 12$, что дает $2y=24$, и $y=12$. Подставив $y=12$ в первое уравнение, получаем $x + 12 = 12$, откуда $x=0$. Координаты первой вершины: $(0, 12)$.

2. Пересечение прямых $x + y = 12$ и $y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение: $x + 0 = 12$, откуда $x=12$. Координаты второй вершины: $(12, 0)$.

3. Пересечение прямых $y - x = 12$ и $y = 0$.
Подставим $y=0$ в уравнение: $0 - x = 12$, откуда $x=-12$. Координаты третьей вершины: $(-12, 0)$.

Фигура является треугольником с вершинами в точках $A(0, 12)$, $B(12, 0)$ и $C(-12, 0)$.
Возьмем сторону $BC$ в качестве основания треугольника. Она лежит на оси Ox, и ее длина равна $|12 - (-12)| = 24$.
Высота треугольника, опущенная из вершины $A$ на основание $BC$, равна ординате точки $A$, то есть 12.
Площадь треугольника вычисляется по формуле:
$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$.

Ответ: 144

№58.24 (с. 229)
Условие. №58.24 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Условие

58.24 Случайным образом выбирают одно из решений системы неравенств

$\begin{cases}|x - y| \le 2, \\|x + y| \le 2.\end{cases}$

Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена:

a) ниже прямой $y = 1$;

б) выше прямой $y = 0,5$;

в) правее прямой $x = 1$;

г) выше параболы $y = x^2$.

Решение 1. №58.24 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Решение 1
Решение 2. №58.24 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 5. №58.24 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Решение 5 (продолжение 3) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Решение 5 (продолжение 4) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 58.24, Решение 5 (продолжение 5)
Решение 6. №58.24 (с. 229)

Для решения задачи по геометрической вероятности сначала определим множество всех возможных исходов. Это множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств:

$\begin{cases} |x - y| \le 2 \\ |x + y| \le 2 \end{cases}$

Раскроем модули. Первое неравенство $|x - y| \le 2$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} x - y \le 2 \\ x - y \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge x - 2 \\ y \le x + 2 \end{cases}$

Это область между двумя параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 2$.

Второе неравенство $|x + y| \le 2$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} x + y \le 2 \\ x + y \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le -x + 2 \\ y \ge -x - 2 \end{cases}$

Это область между двумя параллельными прямыми $y = -x + 2$ и $y = -x - 2$.

Множество решений системы неравенств — это пересечение этих двух областей. Найдем вершины фигуры, образованной пересечением граничных прямых:

  • $y = x + 2$ и $y = -x + 2 \implies x = 0, y = 2$. Вершина A(0, 2).
  • $y = x + 2$ и $y = -x - 2 \implies x = -2, y = 0$. Вершина B(-2, 0).
  • $y = x - 2$ и $y = -x - 2 \implies x = 0, y = -2$. Вершина C(0, -2).
  • $y = x - 2$ и $y = -x + 2 \implies x = 2, y = 0$. Вершина D(2, 0).

Полученная фигура — это квадрат с вершинами в точках (0, 2), (-2, 0), (0, -2) и (2, 0). Его диагонали лежат на осях координат, длина каждой диагонали равна 4. Площадь этого квадрата (общее пространство элементарных исходов) можно вычислить как половину произведения диагоналей:

$S_{общ} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Теперь найдем вероятности для каждого случая. Вероятность $P$ определяется как отношение площади благоприятной области $S_{бл}$ к общей площади $S_{общ}$: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}}$.

а) ниже прямой $y = 1$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где выполняется условие $y < 1$. Проще найти площадь области, которую отсекает прямая $y=1$ сверху, и вычесть ее из общей площади.

Прямая $y=1$ пересекает стороны квадрата, заданные уравнениями $y = x+2$ и $y = -x+2$.

  • $1 = x+2 \implies x = -1$. Точка пересечения (-1, 1).
  • $1 = -x+2 \implies x = 1$. Точка пересечения (1, 1).

Прямая $y=1$ отсекает от квадрата верхний треугольник с вершинами в точках (0, 2), (-1, 1) и (1, 1). Основание этого треугольника равно $1 - (-1) = 2$, а высота равна $2 - 1 = 1$.

Площадь этого треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.

Площадь благоприятной области (ниже прямой $y=1$) равна разности общей площади и площади отсеченного треугольника:

$S_{бл(а)} = S_{общ} - S_{треуг} = 8 - 1 = 7$.

Вероятность того, что точка окажется ниже прямой $y=1$:

$P(A) = \frac{S_{бл(а)}}{S_{общ}} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

б) выше прямой $y = 0,5$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где выполняется условие $y > 0,5$. Эта область ограничена сверху сторонами квадрата, а снизу — прямой $y=0,5$.

Найдем точки пересечения прямой $y=0,5$ со сторонами квадрата $y = x+2$ и $y = -x+2$:

  • $0,5 = x+2 \implies x = -1,5$. Точка пересечения (-1,5; 0,5).
  • $0,5 = -x+2 \implies x = 1,5$. Точка пересечения (1,5; 0,5).

Благоприятная область — это фигура, ограниченная сверху линиями $y=x+2$ (при $x \in [-1,5; 0]$) и $y=-x+2$ (при $x \in [0; 1,5]$), а снизу — прямой $y=0,5$. Площадь этой фигуры можно найти с помощью интеграла:

$S_{бл(б)} = \int_{-1,5}^{0} ((x+2) - 0,5) \,dx + \int_{0}^{1,5} ((-x+2) - 0,5) \,dx = \int_{-1,5}^{0} (x+1,5) \,dx + \int_{0}^{1,5} (-x+1,5) \,dx$

Вычислим интегралы:

$\int_{-1,5}^{0} (x+1,5) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 1,5x \right]_{-1,5}^{0} = 0 - (\frac{(-1,5)^2}{2} + 1,5(-1,5)) = -(\frac{2,25}{2} - 2,25) = 1,125 = \frac{9}{8}$.

$\int_{0}^{1,5} (-x+1,5) \,dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 1,5x \right]_{0}^{1,5} = (-\frac{(1,5)^2}{2} + 1,5 \cdot 1,5) - 0 = -\frac{2,25}{2} + 2,25 = 1,125 = \frac{9}{8}$.

Общая благоприятная площадь: $S_{бл(б)} = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

Вероятность того, что точка окажется выше прямой $y=0,5$:

$P(Б) = \frac{S_{бл(б)}}{S_{общ}} = \frac{9/4}{8} = \frac{9}{32}$.

Ответ: $\frac{9}{32}$

в) правее прямой $x = 1$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где $x > 1$. Эта область представляет собой треугольник, отсекаемый от квадрата прямой $x=1$.

Найдем точки пересечения прямой $x=1$ со сторонами квадрата $y = -x+2$ и $y = x-2$:

  • Для $x=1$, $y = -1+2 = 1$. Точка пересечения (1, 1).
  • Для $x=1$, $y = 1-2 = -1$. Точка пересечения (1, -1).

Благоприятная область — это треугольник с вершинами в точках (2, 0), (1, 1) и (1, -1). Основание этого треугольника лежит на прямой $x=1$ и имеет длину $1 - (-1) = 2$. Высота треугольника — это расстояние от вершины (2, 0) до прямой $x=1$, она равна $2 - 1 = 1$.

Площадь этого треугольника: $S_{бл(в)} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.

Вероятность того, что точка окажется правее прямой $x=1$:

$P(В) = \frac{S_{бл(в)}}{S_{общ}} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

г) выше параболы $y = x^2$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где $y > x^2$. Благоприятная область ограничена сверху сторонами квадрата, а снизу — параболой $y=x^2$.

Найдем точки пересечения параболы $y=x^2$ с верхними сторонами квадрата $y = x+2$ и $y = -x+2$:

  • $x^2 = x+2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1)=0$. Решения: $x=-1$ (точка (-1, 1)) и $x=2$ (точка (2,4) вне квадрата).
  • $x^2 = -x+2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1)=0$. Решения: $x=1$ (точка (1, 1)) и $x=-2$ (точка (-2,4) вне квадрата).

Парабола не пересекает нижние стороны квадрата, так как уравнения $x^2=x-2$ и $x^2=-x-2$ не имеют вещественных корней.

Благоприятная область находится между параболой $y=x^2$ и верхними сторонами квадрата в интервале $x \in [-1, 1]$. Площадь этой области найдем с помощью интеграла:

$S_{бл(г)} = \int_{-1}^{1} (\text{верхняя граница} - x^2) \,dx = \int_{-1}^{0} ((x+2) - x^2) \,dx + \int_{0}^{1} ((-x+2) - x^2) \,dx$

Вычислим интегралы:

$\int_{-1}^{0} (-x^2+x+2) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{0} = 0 - (-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)) = -(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{7}{6}$.

$\int_{0}^{1} (-x^2-x+2) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - 0 = \frac{7}{6}$.

Общая благоприятная площадь: $S_{бл(г)} = \frac{7}{6} + \frac{7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

Вероятность того, что точка окажется выше параболы $y=x^2$:

$P(Г) = \frac{S_{бл(г)}}{S_{общ}} = \frac{7/3}{8} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$

№59.1 (с. 229)
Условие. №59.1 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.1, Условие

Решите систему уравнений методом подстановки:

59.1 a)

$\begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 5, \\ x^3 + y^3 = 35; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{7 - 6x - y^2} = y + 5, \\ y = x - 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + 2y = 1, \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6. \end{cases}$

Решение 1. №59.1 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.1, Решение 1
Решение 2. №59.1 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.1, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.1, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.1, Решение 2 (продолжение 3)
Решение 5. №59.1 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.1, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.1, Решение 5 (продолжение 2) Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.1, Решение 5 (продолжение 3)
Решение 6. №59.1 (с. 229)

а)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + 2y^2 - xy + 2x - 3y = 3 \end{cases}$

Для решения системы методом подстановки выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Выразим y через x:
$y = 3 - x$

Теперь подставим это выражение для y во второе уравнение системы:

$x^2 + 2(3 - x)^2 - x(3 - x) + 2x - 3(3 - x) = 3$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 2(9 - 6x + x^2) - 3x + x^2 + 2x - 9 + 3x = 3$

$x^2 + 18 - 12x + 2x^2 - 3x + x^2 + 2x - 9 + 3x = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2 + x^2) + (-12x - 3x + 2x + 3x) + (18 - 9) = 3$

$4x^2 - 10x + 9 = 3$

$4x^2 - 10x + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Теперь найдем соответствующие значения y, используя формулу $y = 3 - x$:

Если $x_1 = \frac{3}{2}$, то $y_1 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 3 - 1 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 2)$, $(\frac{3}{2}; \frac{3}{2})$.

б)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 5 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 5 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^3 + (5 - x)^3 = 35$

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ для раскрытия скобок:

$x^3 + (5^3 - 3 \cdot 5^2 \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x^2 - x^3) = 35$

$x^3 + 125 - 75x + 15x^2 - x^3 = 35$

Упростим уравнение, сократив $x^3$ и $-x^3$:

$15x^2 - 75x + 125 = 35$

$15x^2 - 75x + 90 = 0$

Разделим все члены уравнения на 15:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 3$

Найдем соответствующие значения y по формуле $y = 5 - x$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

в)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{7 - 6x - y^2} = y + 5 \\ y = x - 1 \end{cases}$

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

$\sqrt{7 - 6x - (x - 1)^2} = (x - 1) + 5$

Упростим уравнение:

$\sqrt{7 - 6x - (x^2 - 2x + 1)} = x + 4$

$\sqrt{7 - 6x - x^2 + 2x - 1} = x + 4$

$\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4$

Для существования решения должно выполняться условие $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:

$6 - 4x - x^2 = (x + 4)^2$

$6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$2x^2 + 12x + 10 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge -4$:

$x_1 = -1$ удовлетворяет условию ($-1 \ge -4$).

$x_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($-5 < -4$), поэтому это посторонний корень.

Найдем значение y для единственного подходящего корня $x = -1$:

$y = x - 1 = -1 - 1 = -2$.

Полученное решение $(-1; -2)$ является единственным.

Ответ: $(-1; -2)$.

г)

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x^2 + 3xy - 3y^2 = 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим x через y:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(1 - 2y)^2 + 3(1 - 2y)y - 3y^2 = 6$

Раскроем скобки и упростим:

$2(1 - 4y + 4y^2) + (3y - 6y^2) - 3y^2 = 6$

$2 - 8y + 8y^2 + 3y - 6y^2 - 3y^2 = 6$

Приведем подобные слагаемые:

$(8y^2 - 6y^2 - 3y^2) + (-8y + 3y) + 2 = 6$

$-y^2 - 5y + 2 = 6$

$-y^2 - 5y - 4 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$y^2 + 5y + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = -1$ и $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения x, используя $x = 1 - 2y$:

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 1 - 2(-4) = 1 + 8 = 9$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(3; -1)$, $(9; -4)$.

№59.2 (с. 229)
Условие. №59.2 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.2, Условие

59.2 a) $\begin{cases} 3x = y + 1, \\ 7^{y - 2x + 2} = 7^{y - 4x + 1} + 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x = 2y, \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x - y + 1) = \log_3 \frac{1}{y + 1}. \end{cases}$

Решение 1. №59.2 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.2, Решение 1
Решение 2. №59.2 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.2, Решение 2 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.2, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 5. №59.2 (с. 229)
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.2, Решение 5 Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 229, номер 59.2, Решение 5 (продолжение 2)
Решение 6. №59.2 (с. 229)

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x = y + 1 \\ 7^{y - 2x + 2} = 7^{y - 4x + 1} + 6 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 1$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$7^{(3x - 1) - 2x + 2} = 7^{(3x - 1) - 4x + 1} + 6$

Упростим показатели степеней:

$7^{x + 1} = 7^{-x} + 6$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m a^n$ и $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, перепишем уравнение:

$7 \cdot 7^x = \frac{1}{7^x} + 6$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

$7t = \frac{1}{t} + 6$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:

$7t^2 = 1 + 6t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$7t^2 - 6t - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$. Корень $t_2 = -1/7$ не удовлетворяет условию. Следовательно, единственное решение для $t$ - это $t = 1$.

Вернемся к замене:

$7^x = t \implies 7^x = 1$

$7^x = 7^0$

$x = 0$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 3x - 1$:

$y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$

Таким образом, решение системы - пара чисел $(0; -1)$.

Ответ: $(0; -1)$

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = 2y \\ \log_{\frac{1}{3}}(2y + x) + \log_{\frac{1}{3}}(x - y + 1) = \log_3\frac{1}{y + 1} \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2y + x > 0 \\ x - y + 1 > 0 \\ \frac{1}{y + 1} > 0 \end{cases}$

Из третьего неравенства следует, что $y + 1 > 0$, то есть $y > -1$.

Подставим $x = 2y$ из первого уравнения в неравенства ОДЗ:

$\begin{cases} 2y + 2y > 0 \implies 4y > 0 \implies y > 0 \\ 2y - y + 1 > 0 \implies y + 1 > 0 \implies y > -1 \\ y > -1 \end{cases}$

Объединяя условия $y > 0$ и $y > -1$, получаем итоговое условие ОДЗ: $y > 0$.

Теперь преобразуем второе уравнение. Используем свойство суммы логарифмов в левой части: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\log_{\frac{1}{3}}((2y + x)(x - y + 1)) = \log_3\frac{1}{y + 1}$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию и свойства логарифмов: $\log_a(b^n) = n \log_a b$.

$\log_3\frac{1}{y + 1} = \log_3(y+1)^{-1} = -\log_3(y+1)$

Так как $\log_{\frac{1}{3}} z = \log_{3^{-1}} z = -\log_3 z$, то $-\log_3(y+1) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1)$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{3}}((2y + x)(x - y + 1)) = \log_{\frac{1}{3}}(y+1)$

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять их аргументы:

$(2y + x)(x - y + 1) = y + 1$

Подставим $x = 2y$ в это уравнение:

$(2y + 2y)(2y - y + 1) = y + 1$

$(4y)(y + 1) = y + 1$

Перенесем все в левую часть и решим уравнение:

$4y(y + 1) - (y + 1) = 0$

$(y + 1)(4y - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$y + 1 = 0 \implies y = -1$

$4y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{4}$

Сравним полученные корни с ОДЗ ($y > 0$). Корень $y = -1$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $y = 1/4$ удовлетворяет ОДЗ.

Теперь найдем $x$, используя $x = 2y$:

$x = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Решение системы - пара чисел $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$

№2 (с. 229)
Условие. №2 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 2, Условие

2. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения на концах отрезка? Приведите пример.

Решение 6. №2 (с. 229)

Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения на концах отрезка?

Да, может. Согласно первой теореме Вейерштрасса, любая функция, непрерывная на замкнутом отрезке $[a, b]$, достигает на этом отрезке своего наименьшего ($m$) и наибольшего ($M$) значений. Эти значения могут достигаться как во внутренних точках отрезка (в стационарных или критических точках), так и на его концах.

Случай, когда и наименьшее, и наибольшее значения достигаются на концах отрезка, гарантированно происходит для любой строго монотонной функции.

  • Если функция $f(x)$ строго возрастает на отрезке $[a, b]$, то её наименьшее значение равно $f(a)$, а наибольшее — $f(b)$.
  • Если функция $f(x)$ строго убывает на отрезке $[a, b]$, то её наименьшее значение равно $f(b)$, а наибольшее — $f(a)$.

Приведите пример

В качестве примера можно рассмотреть любую неконстантную линейную функцию, так как она является строго монотонной.

Возьмём функцию $f(x) = 5 - 2x$ на отрезке $[-1, 3]$.

1. Данная функция является линейной и непрерывной на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 3]$.

2. Найдём значения функции на концах заданного отрезка.
При $x = -1$ (левый конец): $f(-1) = 5 - 2 \cdot (-1) = 5 + 2 = 7$.
При $x = 3$ (правый конец): $f(3) = 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1$.

3. Проверим, есть ли точки экстремума внутри отрезка. Для этого найдём производную:
$f'(x) = (5 - 2x)' = -2$.
Так как производная $f'(x) = -2$ нигде не равна нулю, у функции нет стационарных точек. Функция является строго убывающей на всей области определения.

Следовательно, на отрезке $[-1, 3]$ функция достигает своего наибольшего значения в левой точке, а наименьшего — в правой.
Наибольшее значение: $\max_{x \in [-1, 3]} f(x) = f(-1) = 7$.
Наименьшее значение: $\min_{x \in [-1, 3]} f(x) = f(3) = -1$.

Таким образом, и наибольшее, и наименьшее значения достигаются на концах отрезка.

Ответ: Да, может. Например, любая строго монотонная на отрезке функция, в частности, любая линейная функция $f(x) = kx+b$ при $k \neq 0$.

№3 (с. 229)
Условие. №3 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 3, Условие

3. Может ли непрерывная на отрезке функция достигать своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках отрезка? Приведите пример.

Решение 6. №3 (с. 229)

Да, непрерывная на отрезке функция может достигать своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках отрезка. Согласно второй теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках. Для того чтобы и наибольшее, и наименьшее значения достигались именно во внутренних точках, необходимо, чтобы значения функции на концах отрезка, $f(a)$ и $f(b)$, были строго больше наименьшего значения и строго меньше наибольшего значения функции на всём отрезке.

В качестве примера рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$. Эта функция является непрерывной на данном отрезке. Для нахождения ее наибольшего и наименьшего значений найдем ее производную и стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).
Производная функции: $f'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$.
Приравняем производную к нулю: $\cos(x) = 0$.
На интервале $(0, 2\pi)$ решениями этого уравнения являются точки $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Обе эти точки являются внутренними для отрезка $[0, 2\pi]$.

Теперь вычислим значения функции в найденных стационарных точках и на концах отрезка:
Значение в начальной точке отрезка: $f(0) = \sin(0) = 0$.
Значение в первой стационарной точке: $f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Значение во второй стационарной точке: $f(\frac{3\pi}{2}) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.
Значение в конечной точке отрезка: $f(2\pi) = \sin(2\pi) = 0$.

Сравнивая полученные значения $0, 1, -1, 0$, мы делаем следующие выводы:
Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 2\pi]$ равно $1$, и оно достигается во внутренней точке $x = \frac{\pi}{2}$.
Наименьшее значение функции на отрезке $[0, 2\pi]$ равно $-1$, и оно достигается во внутренней точке $x = \frac{3\pi}{2}$.
Значения функции на концах отрезка равны $0$, что не является ни наибольшим, ни наименьшим значением.

Таким образом, функция $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$ является примером непрерывной функции, которая достигает своего наибольшего и наименьшего значения во внутренних точках отрезка.

Ответ: Да, может. Примером такой функции является $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0, 2\pi]$.

№4 (с. 229)
Условие. №4 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 4, Условие

4. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наименьшего значения внутри, а наибольшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Решение 6. №4 (с. 229)

Да, такая ситуация возможна. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках (точках экстремума). Ситуация, описанная в вопросе, возникнет, если точка глобального минимума окажется внутри отрезка, а значение функции на одном из концов будет больше, чем на другом конце и во всех точках локальных максимумов внутри отрезка.

Приведите пример.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x-1)^2$ на отрезке $[0, 3]$.

1. Непрерывность. Данная функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она непрерывна на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[0, 3]$.

2. Нахождение наименьшего и наибольшего значений. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке, необходимо найти её значения в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Найдем производную функции: $f'(x) = ((x-1)^2)' = 2(x-1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $2(x-1) = 0 \implies x = 1$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0, 3]$ и является его внутренней точкой.

Теперь вычислим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:

  • Значение в критической точке: $f(1) = (1-1)^2 = 0$.
  • Значения на концах отрезка: $f(0) = (0-1)^2 = 1$ и $f(3) = (3-1)^2 = 4$.

Сравнивая полученные значения $\{0, 1, 4\}$, мы видим, что:

  • Наименьшее значение функции на отрезке $[0, 3]$ равно $0$. Оно достигается в точке $x=1$, которая находится внутри отрезка.
  • Наибольшее значение функции на отрезке $[0, 3]$ равно $4$. Оно достигается в точке $x=3$, которая является концом отрезка.

Таким образом, данный пример полностью удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = (x-1)^2$ на отрезке $[0, 3]$.

№5 (с. 229)
Условие. №5 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 5, Условие

5. Может ли быть так, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего значения внутри, а наименьшего — на одном из концов отрезка? Приведите пример.

Решение 6. №5 (с. 229)

Да, может. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться как на концах отрезка, так и во внутренних точках (точках локального экстремума). Ситуация, описанная в задаче, не противоречит этой теореме и является одним из возможных случаев.

Приведите пример.

Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

1. Непрерывность. Данная функция является квадратичной и непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-1, 2]$.

2. Поиск наибольшего и наименьшего значений. Для этого найдём значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку.

Значения на концах отрезка:

  • $f(-1) = -(-1)^2 = -1$
  • $f(2) = -(2)^2 = -4$

Найдём производную функции для определения критических точек:$f'(x) = -2x$Приравняем производную к нулю:$-2x = 0 \implies x = 0$Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1, 2]$. Значение функции в этой точке:$f(0) = -0^2 = 0$

Сравним все найденные значения: $\{f(-1), f(2), f(0)\} = \{-1, -4, 0\}$.

Из этого множества видно, что:

  • Наибольшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $0$. Оно достигается в точке $x=0$, которая является внутренней точкой отрезка.
  • Наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 2]$ равно $-4$. Оно достигается в точке $x=2$, которая является правым концом отрезка.

Таким образом, данный пример полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Да, может. Например, функция $f(x) = -x^2$ на отрезке $[-1, 2]$.

№6 (с. 229)
Условие. №6 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 6, Условие

6. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

Решение 6. №6 (с. 229)

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$, необходимо выполнить следующую последовательность действий, основанную на теореме Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях функции на отрезке.

1. Найти производную функции

Первый шаг — найти производную $f'(x)$ данной функции. Необходимо убедиться, что функция $f(x)$ непрерывна на всем отрезке $[a; b]$.

2. Найти критические точки

Критическими точками функции называются внутренние точки ее области определения, в которых производная равна нулю или не существует. Для их нахождения нужно:

  • Решить уравнение $f'(x) = 0$. Корни этого уравнения, принадлежащие интервалу $(a, b)$, являются стационарными точками.
  • Найти точки из интервала $(a, b)$, в которых производная $f'(x)$ не существует.

Все найденные таким образом точки являются критическими.

3. Вычислить значения функции в ключевых точках

Необходимо рассчитать значения функции в каждой найденной критической точке, которая принадлежит отрезку $[a; b]$, а также на концах этого отрезка. То есть, нужно найти значения:

  • $f(a)$ и $f(b)$ (значения на концах отрезка).
  • $f(x_1), f(x_2), \dots$ (значения в критических точках $x_1, x_2, \dots$, лежащих внутри отрезка).

4. Сравнить полученные значения

Последний шаг — сравнить все вычисленные значения. Самое большое из них будет являться наибольшим значением функции на отрезке (глобальный максимум), а самое маленькое — наименьшим значением (глобальный минимум).

$y_{наиб} = \max\{f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots\}$

$y_{наим} = \min\{f(a), f(b), f(x_1), f(x_2), \dots\}$

Ответ:

Последовательность действий для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

  1. Найти производную функции $f'(x)$.
  2. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых $f'(x) = 0$ или производная не существует.
  3. Выбрать из найденных критических точек те, которые принадлежат отрезку $[a; b]$.
  4. Вычислить значения функции $f(x)$ в отобранных критических точках, а также на концах отрезка, т.е. в точках $a$ и $b$.
  5. Среди всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Они и будут являться соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке.
№7 (с. 229)
Условие. №7 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 7, Условие

7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \sin x$ на отрезке $[0; 10]$. Нужно ли в данном случае использовать производную или строить график функции?

Решение 6. №7 (с. 229)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = sin x на отрезке [0; 10]

Область значений функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ выполняется неравенство $-1 \le \sin x \le 1$. Таким образом, наибольшее значение функции не может быть больше 1, а наименьшее — меньше -1.

Чтобы определить наименьшее и наибольшее значения на заданном отрезке $[0; 10]$, необходимо проверить, достигает ли функция на этом отрезке своих абсолютных экстремумов, то есть значений 1 и -1.

Наибольшее значение, равное 1, функция $y = \sin x$ принимает в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Проверим, попадают ли такие точки в отрезок $[0; 10]$. Используем приближение $\pi \approx 3.14$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 10]$.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Это значение также принадлежит отрезку $[0; 10]$.
Поскольку на заданном отрезке существуют точки, в которых $\sin x = 1$, то наибольшее значение функции на этом отрезке равно 1.

Наименьшее значение, равное -1, функция $y = \sin x$ принимает в точках вида $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — целое число.
При $k=0$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71$. Это значение принадлежит отрезку $[0; 10]$.
Поскольку на заданном отрезке существует точка, в которой $\sin x = -1$, то наименьшее значение функции на этом отрезке равно -1.

Ответ: Наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение функции равно 1.

Нужно ли в данном случае использовать производную или строить график функции?

В данном случае для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не обязательно использовать производную или строить подробный график. Задачу можно решить проще, основываясь на свойствах функции синуса.

Самый эффективный подход — это анализ свойств функции. Мы знаем, что область значений $y = \sin x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Период функции $T = 2\pi \approx 6.28$. Длина заданного отрезка $[0; 10]$ равна 10. Поскольку длина отрезка $10$ больше периода $2\pi$, это гарантирует, что на данном отрезке функция пройдет через все свои возможные значения, включая абсолютный максимум 1 и абсолютный минимум -1. Этот простой анализ позволяет сразу дать ответ.

Хотя это и не обязательно, другие методы также применимы:
1. Использование производной. Это универсальный алгоритм. Находим производную $y' = \cos x$, приравниваем ее к нулю ($\cos x = 0$) и находим критические точки, попадающие в отрезок $[0; 10]$ (это $x=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$). Затем вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка ($y(0)$ и $y(10)$) и выбираем из них наибольшее и наименьшее. Этот метод безошибочен, но более трудоемок для данной задачи.
2. Построение графика. Мысленное представление или эскиз графика синусоиды наглядно показывает, что на интервале от 0 до 10 радиан (что составляет примерно 1.6 периода) функция успевает несколько раз достичь своего максимума (1) и минимума (-1). Это также быстрый способ прийти к правильному выводу.

Ответ: Не обязательно. Задачу проще и быстрее решить, используя известные свойства функции синуса (область значений и периодичность).

№8 (с. 229)
Условие. №8 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 8, Условие

8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$ на отрезке $[1; 5]$. Нужно ли в данном случае использовать производную? строить график функции?

Решение 6. №8 (с. 229)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \cos x$ на отрезке $[1; 5]$ проанализируем её свойства на этом отрезке.

1. Поиск наименьшего значения.
Функция $y = \cos x$ имеет глобальный минимум, равный $-1$, который достигается в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Проверим, попадает ли какая-либо из этих точек в наш отрезок $[1; 5]$.
При $k=0$ получаем $x = \pi$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $1 \le \pi \le 5$, и эта точка принадлежит нашему отрезку. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно ее глобальному минимуму.

$y_{наим} = \cos(\pi) = -1$.

2. Поиск наибольшего значения.
Функция $y = \cos x$ имеет глобальный максимум, равный $1$, который достигается в точках $x = 2\pi k$, где $k$ — целое число. Ни одна из этих точек (например, $x=0$ при $k=0$ или $x=2\pi \approx 6.28$ при $k=1$) не принадлежит отрезку $[1; 5]$.
Это означает, что наибольшее значение на данном отрезке функция примет на одном из его концов: либо в точке $x=1$, либо в точке $x=5$.
Сравним значения $y(1) = \cos(1)$ и $y(5) = \cos(5)$.
Мы знаем, что функция $\cos x$ является четной относительно своих точек максимума. Чтобы определить, какое значение больше, можно сравнить, как далеко концы отрезка $x=1$ и $x=5$ отстоят от ближайших точек максимума ($x=0$ и $x=2\pi$ соответственно).

  • Расстояние от $x=1$ до ближайшего максимума в $x=0$ равно $|1-0|=1$.
  • Расстояние от $x=5$ до ближайшего максимума в $x=2\pi$ равно $|5-2\pi| = 2\pi-5 \approx 6.283 - 5 = 1.283$.

Поскольку точка $x=1$ находится ближе к точке глобального максимума, чем $x=5$, значение косинуса в ней будет больше: $\cos(1) > \cos(5)$.
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно $\cos(1)$.

$y_{наиб} = \cos(1)$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 5]$ равно $-1$, наибольшее значение равно $\cos(1)$.

Нужно ли в данном случае использовать производную?

Нет, в данном случае использовать производную не обязательно. Как показано в решении выше, найти наименьшее и наибольшее значения функции можно, основываясь на хорошо известных свойствах функции $y = \cos x$: её области значений, точках экстремума и интервалах монотонности. Этот подход для данной конкретной функции является более простым и наглядным.

Тем не менее, использование производной ($y' = -\sin x$) является универсальным методом для решения таких задач. Он также привел бы к верному результату: единственная критическая точка на интервале, $x=\pi$, соответствует точке минимума, а для нахождения максимума потребовалось бы сравнить значения на концах отрезка.

Ответ: Нет, не обязательно, так как задачу можно решить проще, используя свойства функции косинус.

Нужно ли в данном случае строить график функции?

Нет, строить точный график для получения ответа не требуется, так как задача решается аналитически. Однако, эскиз графика функции $y = \cos x$ является очень полезным инструментом для визуализации. На эскизе можно сразу увидеть, что на отрезке $[1; 5]$ функция сначала убывает, проходит через точку минимума ($x=\pi$), а затем возрастает. Также эскиз помогает наглядно сравнить значения на концах отрезка и убедиться, что $y(1)$ выше, чем $y(5)$. Таким образом, график помогает понять задачу и проверить правильность рассуждений.

Ответ: Нет, не обязательно, но эскиз графика полезен для понимания и самопроверки.

№9 (с. 229)
Условие. №9 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 9, Условие

9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$$ y = \begin{cases} x^2, & -2 \le x \le 1, \\ 2-x, & 1 < x \le 3. \end{cases} $$

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной? строить график функции?

Решение 6. №9 (с. 229)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений кусочно-заданной функции на отрезке $[-2, 3]$ необходимо исследовать ее на каждом из участков. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом отрезке достигаются либо на концах отрезка, либо в точках экстремума внутри отрезка.

Область определения функции $D(y) = [-2, 3]$.

Точками, в которых могут достигаться искомые значения, являются:

  • Концы общего отрезка: $x = -2$ и $x = 3$.
  • Точки экстремума на каждом из интервалов.
  • Точка "стыка" участков: $x = 1$.

1. Участок $y = x^2$ при $-2 \le x \le 1$.

Это парабола с вершиной в точке $x=0$. Поскольку $0 \in [-2, 1]$, эта точка является точкой локального минимума.

Вычислим значения функции на границах этого участка и в точке минимума:

  • При $x=-2$: $y(-2) = (-2)^2 = 4$.
  • При $x=0$: $y(0) = 0^2 = 0$.
  • При $x=1$: $y(1) = 1^2 = 1$.

2. Участок $y = 2 - x$ при $1 < x \le 3$.

Это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-1$), следовательно, она монотонно убывает на всей своей области определения. Наименьшее значение будет на правом конце отрезка.

Вычислим значение функции на правой границе участка:

  • При $x=3$: $y(3) = 2 - 3 = -1$.

Проверим значение в точке стыка $x=1$. Функция непрерывна в этой точке, так как $\lim_{x\to1^-} x^2 = 1$ и $\lim_{x\to1^+} (2-x) = 1$, и $y(1)=1$.

3. Сравнение значений.

Соберем все найденные значения в ключевых точках: $y(-2)=4$, $y(0)=0$, $y(1)=1$, $y(3)=-1$.

Сравнивая эти значения, находим:

  • Наибольшее значение функции: $y_{max} = 4$.
  • Наименьшее значение функции: $y_{min} = -1$.

Ответ: Наименьшее значение функции на отрезке $[-2, 3]$ равно -1 (при $x=3$), а наибольшее значение равно 4 (при $x=-2$).

Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной? строить график функции?

Использование производной. Стандартный алгоритм нахождения экстремумов на отрезке требует использования производной.

  • На участке $[-2, 1]$ производная $y'=(x^2)'=2x$. При $2x=0$ получаем критическую точку $x=0$.
  • На участке $(1, 3]$ производная $y'=(2-x)'=-1$. Она не равна нулю, значит, на этом интервале нет точек экстремума.
  • В точке $x=1$ функция непрерывна, но производная не существует, так как левая производная $y'_{-}(1) = 2$, а правая $y'_{+}(1) = -1$. Точка $x=1$ является критической.

Таким образом, применение производной является формально правильным и строгим методом. Однако, так как функция состоит из простых, хорошо известных частей (парабола и прямая), их свойства можно использовать напрямую без вычисления производных.

Построение графика. Построение графика не является обязательным для получения численного ответа. Тем не менее, эскиз графика — очень мощный инструмент для визуализации задачи. Он помогает понять поведение функции, проверить правильность рассуждений и избежать ошибок. График наглядно показывает, что максимум достигается в точке $(-2, 4)$, а минимум — в точке $(3, -1)$.

Ответ: Использование производной является стандартным методом, но в данном случае можно обойтись и без него. Построение графика не обязательно, но крайне рекомендуется для самопроверки и наглядного представления решения.

№10 (с. 229)
Условие. №10 (с. 229)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Задачник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Тульчинская Елена Ефимовна, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 1, страница 229, номер 10, Условие

10. Функция $y = f(x)$ непрерывна на интервале $(2; 5)$. Может ли она на этом интервале достигать и своего наименьшего, и своего наибольшего значения? Приведите пример.

Решение 6. №10 (с. 229)

Да, функция, непрерывная на открытом интервале, может достигать на этом интервале и своего наименьшего, и своего наибольшего значения. Хотя знаменитая теорема Вейерштрасса гарантирует это свойство для функции, непрерывной на замкнутом отрезке (например, $[2; 5]$), она не запрещает такого поведения на открытом интервале. Для того чтобы функция достигала своих экстремумов на открытом интервале $(a; b)$, необходимо, чтобы точки, в которых принимаются наибольшее и наименьшее значения, находились строго внутри этого интервала.

Приведем пример такой функции.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$.

Эта функция является непрерывной на всей числовой оси, и, следовательно, она непрерывна на интервале $(2; 5)$. Область значений для функции синус – это отрезок $[-1; 1]$, поэтому наибольшее значение функции $f(x)$ не может быть больше 1, а наименьшее – меньше -1.

1. Поиск наибольшего значения.
Наибольшее значение, равное 1, функция $f(x) = \sin(\pi x)$ принимает в точках $x$, для которых $\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Отсюда $x = \frac{1}{2} + 2k$.
Найдем такое целое $k$, при котором точка $x$ попадет в наш интервал $(2; 5)$:
$2 < \frac{1}{2} + 2k < 5$
$2 - \frac{1}{2} < 2k < 5 - \frac{1}{2}$
$1.5 < 2k < 4.5$
$0.75 < k < 2.25$
Единственное целое число в этом промежутке – это $k=1$. При $k=1$ получаем $x = \frac{1}{2} + 2(1) = 2.5$.
Точка $x=2.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, и в этой точке функция достигает своего наибольшего значения: $f(2.5) = \sin(2.5\pi) = 1$.

2. Поиск наименьшего значения.
Наименьшее значение, равное -1, функция $f(x) = \sin(\pi x)$ принимает в точках $x$, для которых $\pi x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число. Отсюда $x = \frac{3}{2} + 2k$.
Найдем такое целое $k$, при котором точка $x$ попадет в наш интервал $(2; 5)$:
$2 < \frac{3}{2} + 2k < 5$
$2 - \frac{3}{2} < 2k < 5 - \frac{3}{2}$
$0.5 < 2k < 3.5$
$0.25 < k < 1.75$
Единственное целое число в этом промежутке – это $k=1$. При $k=1$ получаем $x = \frac{3}{2} + 2(1) = 3.5$.
Точка $x=3.5$ принадлежит интервалу $(2; 5)$, и в этой точке функция достигает своего наименьшего значения: $f(3.5) = \sin(3.5\pi) = -1$.

Таким образом, мы показали, что непрерывная на интервале $(2; 5)$ функция $f(x) = \sin(\pi x)$ достигает на этом интервале как своего наибольшего значения (1), так и своего наименьшего значения (-1).

Ответ: Да, может. Пример: функция $f(x) = \sin(\pi x)$ на интервале $(2; 5)$. Она достигает своего наибольшего значения $1$ в точке $x=2.5$ и своего наименьшего значения $-1$ в точке $x=3.5$, обе точки лежат внутри интервала.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться