Страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

57.11 a) $\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2 - 5x) \ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x - 3);$

б) $\lg(5x^2 - 15x) \le \lg(2x - 6).$

а)

Дано логарифмическое неравенство:

$\log_{\frac{1}{\pi}}(2x^2 - 5x) \ge \log_{\frac{1}{\pi}}(2x - 3)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14159$, то $0 < \frac{1}{\pi} < 1$. Логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе неравенств:

$$ \begin{cases} 2x^2 - 5x \le 2x - 3 \\ 2x - 3 > 0 \end{cases}$$

Обратите внимание, что условие $2x^2 - 5x > 0$ также должно выполняться. Однако, если мы решим систему выше, то из $2x^2 - 5x \le 2x - 3$ и $2x-3>0$ может не следовать $2x^2 - 5x > 0$. Поэтому правильнее рассмотреть полную систему с областью допустимых значений (ОДЗ):

$$ \begin{cases} 2x^2 - 5x \le 2x - 3 & (1) \\ 2x^2 - 5x > 0 & (2) \\ 2x - 3 > 0 & (3) \end{cases}$$

1. Решим неравенство (3) из ОДЗ:

$2x - 3 > 0 \implies 2x > 3 \implies x > 1.5$

2. Решим неравенство (2) из ОДЗ:

$2x^2 - 5x > 0 \implies x(2x - 5) > 0$

Корни соответствующего уравнения $x(2x - 5)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2.5$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty)$.

Общая ОДЗ является пересечением решений (2) и (3): $x \in (1.5, +\infty) \cap ((-\infty, 0) \cup (2.5, +\infty))$, что дает $x \in (2.5, +\infty)$.

3. Решим неравенство (1):

$2x^2 - 5x \le 2x - 3$

$2x^2 - 7x + 3 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2x^2 - 7x + 3 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Парабола $y=2x^2 - 7x + 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 7x + 3 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [0.5, 3]$.

4. Найдем пересечение решения неравенства (1) с общей ОДЗ:

$x \in [0.5, 3] \cap (2.5, +\infty)$

Итоговое решение: $x \in (2.5, 3]$.

Ответ: $(2.5, 3]$.

б)

Дано логарифмическое неравенство:

$\lg(5x^2 - 15x) \le \lg(2x - 6)$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм, основание которого $a=10$. Так как $a=10 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} 5x^2 - 15x \le 2x - 6 \\ 5x^2 - 15x > 0 \end{cases}$$

Здесь условие $2x-6>0$ автоматически выполняется, так как $2x-6 \ge 5x^2 - 15x$ и $5x^2 - 15x > 0$. Однако, для ясности, найдем ОДЗ отдельно.

ОДЗ определяется системой:

$$ \begin{cases} 5x^2 - 15x > 0 \\ 2x - 6 > 0 \end{cases}$$

1. Решим первое неравенство ОДЗ:

$5x^2 - 15x > 0 \implies 5x(x - 3) > 0$

Корни $x_1=0$, $x_2=3$. Парабола с ветвями вверх, значит решение $x \in (-\infty, 0) \cup (3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство ОДЗ:

$2x - 6 > 0 \implies 2x > 6 \implies x > 3$.

Пересечение решений дает общую ОДЗ: $x \in (3, +\infty)$.

3. Теперь решим основное неравенство:

$5x^2 - 15x \le 2x - 6$

$5x^2 - 17x + 6 \le 0$

Найдем корни уравнения $5x^2 - 17x + 6 = 0$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 289 - 120 = 169 = 13^2$

$x_{1,2} = \frac{17 \pm 13}{2 \cdot 5} = \frac{17 \pm 13}{10}$

$x_1 = \frac{17 - 13}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

$x_2 = \frac{17 + 13}{10} = \frac{30}{10} = 3$

Парабола $y=5x^2 - 17x + 6$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $5x^2 - 17x + 6 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [0.4, 3]$.

4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \in [0.4, 3] \cap (3, +\infty)$

Эти два множества не имеют общих точек, так как первое заканчивается в точке 3 (включительно), а второе начинается после точки 3 (не включая ее). Следовательно, их пересечение пусто.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

57.13 a) $(x^2 - 6x)^5 \ge (2x - 7)^5;$

б) $(x^2 - 2x)^9 \le (2x - x^2 - 2)^9.$

а) $(x^2 - 6x)^5 \ge (2x - 7)^5$

Поскольку функция $y = t^5$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно неравенству для оснований степеней:

$x^2 - 6x \ge 2x - 7$

Перенесем все члены в левую часть неравенства и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 6x - 2x + 7 \ge 0$

$x^2 - 8x + 7 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, выражение $x^2 - 8x + 7$ принимает неотрицательные значения на промежутках, где $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня (включая сами корни).

Таким образом, решение неравенства: $x \le 1$ или $x \ge 7$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

б) $(x^2 - 2x)^9 \le (2x - x^2 - 2)^9$

Так как функция $y = t^9$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно следующему неравенству:

$x^2 - 2x \le 2x - x^2 - 2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 2x - 2x + x^2 + 2 \le 0$

$2x^2 - 4x + 2 \le 0$

Разделим обе части неравенства на 2 (положительное число, знак неравенства не меняется):

$x^2 - 2x + 1 \le 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Следовательно, неравенство $(x - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(x - 1)^2 = 0$.

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Ответ: $1$.

57.15 a) $(3 - 3 \log_{0.2}x)^{13} < (\log_{0.2}x + 7)^{13};$

б) $(3 \log_{7}x - 24)^{5} > (2 \log_{7}x - 22)^{5}.$

a) $(3 - 3\log_{0,2}x)^{13} < (\log_{0,2}x + 7)^{13}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

2. Функция $y = t^{13}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, так как ее показатель степени — нечетное число. Поэтому, если $a^{13} < b^{13}$, то и $a < b$. Следовательно, мы можем извлечь корень 13-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак неравенства:

$3 - 3\log_{0,2}x < \log_{0,2}x + 7$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,2}x$. Неравенство примет вид:

$3 - 3t < t + 7$

4. Решим полученное линейное неравенство относительно $t$:

$3 - 7 < t + 3t$

$-4 < 4t$

$-1 < t$ или $t > -1$

5. Выполним обратную замену:

$\log_{0,2}x > -1$

6. Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,2:

$-1 = -1 \cdot \log_{0,2}{0,2} = \log_{0,2}{(0,2)^{-1}} = \log_{0,2}{\frac{1}{0,2}} = \log_{0,2}{5}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0,2}x > \log_{0,2}5$

7. Так как основание логарифма $0,2$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция $y = \log_{0,2}x$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 5$

8. Объединим полученное решение с ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} x > 0 \\ x < 5 \end{array} \right.$

Следовательно, $0 < x < 5$.

Ответ: $(0; 5)$

б) $(3\log_{7}x - 24)^5 > (2\log_{7}x - 22)^5$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x > 0$

2. Функция $y = t^5$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому, если $a^5 > b^5$, то и $a > b$. Извлечем корень 5-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак:

$3\log_{7}x - 24 > 2\log_{7}x - 22$

3. Введем замену переменной. Пусть $t = \log_{7}x$. Неравенство примет вид:

$3t - 24 > 2t - 22$

4. Решим линейное неравенство относительно $t$:

$3t - 2t > 24 - 22$

$t > 2$

5. Выполним обратную замену:

$\log_{7}x > 2$

6. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 7:

$2 = 2 \cdot \log_{7}{7} = \log_{7}{7^2} = \log_{7}{49}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{7}x > \log_{7}{49}$

7. Так как основание логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{7}x$ является возрастающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$x > 49$

8. Полученное решение $x > 49$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), поэтому оно и является окончательным решением.

Ответ: $(49; +\infty)$

57.17 a) $3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5;$

б) $2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \ge 2,8.$

a) $3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$):

$3^1 \cdot 3^x \cdot 2^1 \cdot 2^{-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

Сгруппируем множители и вынесем общий множитель $3^x \cdot 2^{-x}$ за скобки:

$6 \cdot (3^x \cdot 2^{-x}) + 1 \cdot (3^x \cdot 2^{-x}) \le 10,5$

$(6 + 1) \cdot 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

$7 \cdot \frac{3^x}{2^x} \le 10,5$

$7 \cdot (\frac{3}{2})^x \le 10,5$

Разделим обе части неравенства на 7:

$(\frac{3}{2})^x \le \frac{10,5}{7}$

$(\frac{3}{2})^x \le 1,5$

Представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Получаем неравенство:

$(\frac{3}{2})^x \le (\frac{3}{2})^1$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x \le 1$

Ответ: $x \le 1$

б) $2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней:

$2^x \cdot 5^1 \cdot 5^{-x} + 2^x \cdot 2^1 \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

Сгруппируем множители и вынесем общий множитель $2^x \cdot 5^{-x}$ за скобки:

$5 \cdot (2^x \cdot 5^{-x}) + 2 \cdot (2^x \cdot 5^{-x}) \ge 2,8$

$(5 + 2) \cdot 2^x \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

$7 \cdot \frac{2^x}{5^x} \ge 2,8$

$7 \cdot (\frac{2}{5})^x \ge 2,8$

Разделим обе части неравенства на 7:

$(\frac{2}{5})^x \ge \frac{2,8}{7}$

$(\frac{2}{5})^x \ge 0,4$

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Получаем неравенство:

$(\frac{2}{5})^x \ge (\frac{2}{5})^1$

Так как основание степени $\frac{2}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 1$

Ответ: $x \le 1$

57.19 a) $3^x + 3^{-x+1} \le 4;$

б) $25^{-x} - 50 > 5^{-x+1}.$

а) $3^x + 3^{-x+1} \le 4$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$3^x + 3^{-x} \cdot 3^1 \le 4$

$3^x + \frac{3}{3^x} \le 4$

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, имеем условие $t > 0$.

С новой переменной неравенство принимает вид:

$t + \frac{3}{t} \le 4$

Так как $t>0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:

$t^2 + 3 \le 4t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$t^2 - 4t + 3 \le 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $f(t) = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неположительны ($ \le 0 $) на отрезке между корнями, включая сами корни. Следовательно, решением неравенства для $t$ является $1 \le t \le 3$.

Данное решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену, подставив $3^x$ вместо $t$:

$1 \le 3^x \le 3$

Представим числа 1 и 3 в виде степеней с основанием 3:

$3^0 \le 3^x \le 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей:

$0 \le x \le 1$

Ответ: $x \in [0, 1]$

б) $25^{-x} - 50 > 5^{-x+1}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем степени к одному основанию 5.

$25^{-x} - 5^{-x+1} - 50 > 0$

$(5^2)^{-x} - 5^{-x} \cdot 5^1 - 50 > 0$

$(5^{-x})^2 - 5 \cdot 5^{-x} - 50 > 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = 5^{-x}$. Так как $y$ является значением показательной функции, $y > 0$.

Неравенство преобразуется к виду:

$y^2 - 5y - 50 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $y^2 - 5y - 50 = 0$. Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$

Корни уравнения равны:

$y_1 = \frac{5 - 15}{2} = -5$

$y_2 = \frac{5 + 15}{2} = 10$

Графиком функции $f(y) = y^2 - 5y - 50$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны ($ > 0 $) вне отрезка между корнями. Таким образом, решением неравенства являются $y < -5$ или $y > 10$.

Учитывая ограничение $y > 0$, отбрасываем решение $y < -5$. Остается только $y > 10$.

Выполним обратную замену:

$5^{-x} > 10$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция логарифма возрастающая, и знак неравенства сохраняется.

$\log_5(5^{-x}) > \log_5(10)$

Используем свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$:

$-x \cdot \log_5(5) > \log_5(10)$

$-x > \log_5(10)$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\log_5(10)$

Ответ: $x \in (-\infty, -\log_5(10))$

57.21 a) $\log_2^2(x - 1) + 3 \log_2(x - 1) + 2 \ge 0;$

б) $9^{\log_{0.1} x} - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 0.1^{\log_{0.1} 3} < 0.$

а) $\log_2^2(x - 1) + 3\log_2(x - 1) + 2 \ge 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x - 1 > 0$
$x > 1$
ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(x - 1)$. Неравенство примет вид:
$t^2 + 3t + 2 \ge 0$

3. Решим квадратное неравенство относительно $t$. Найдем корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем корни $t_1 = -2$ и $t_2 = -1$.
Графиком функции $y = t^2 + 3t + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при $t$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, $t \le -2$ или $t \ge -1$.

4. Выполним обратную замену и решим совокупность неравенств:
$\log_2(x - 1) \le -2$ или $\log_2(x - 1) \ge -1$.

5. Решим первое логарифмическое неравенство:
$\log_2(x - 1) \le -2$
$\log_2(x - 1) \le \log_2(2^{-2})$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x - 1 \le 2^{-2}$
$x - 1 \le \frac{1}{4}$
$x \le 1 + \frac{1}{4}$
$x \le \frac{5}{4}$

6. Решим второе логарифмическое неравенство:
$\log_2(x - 1) \ge -1$
$\log_2(x - 1) \ge \log_2(2^{-1})$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x - 1 \ge 2^{-1}$
$x - 1 \ge \frac{1}{2}$
$x \ge 1 + \frac{1}{2}$
$x \ge \frac{3}{2}$

7. Объединим полученные решения и учтем ОДЗ ($x > 1$).
Из $x \le \frac{5}{4}$ и $x > 1$ следует $1 < x \le \frac{5}{4}$.
Из $x \ge \frac{3}{2}$ и $x > 1$ следует $x \ge \frac{3}{2}$.
Итоговое решение является объединением этих двух множеств.

Ответ: $x \in (1; \frac{5}{4}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

б) $9^{\log_{0.1} x} - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 0.1^{\log_{0.1} 3} < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x > 0$
ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

2. Упростим неравенство. Заметим, что $9^{\log_{0.1} x} = (3^2)^{\log_{0.1} x} = (3^{\log_{0.1} x})^2$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим последнее слагаемое:
$0.1^{\log_{0.1} 3} = 3$.
Неравенство принимает вид:
$(3^{\log_{0.1} x})^2 - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 3 < 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\log_{0.1} x}$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 4t + 3 < 0$

4. Решим квадратное неравенство относительно $t$. Корнями уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$ являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Графиком функции $y = t^2 - 4t + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны при $t$, находящихся между корнями.
$1 < t < 3$.

5. Выполним обратную замену:
$1 < 3^{\log_{0.1} x} < 3$
Представим границы интервала в виде степеней с основанием 3:
$3^0 < 3^{\log_{0.1} x} < 3^1$

6. Так как основание степени $3 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знаки:
$0 < \log_{0.1} x < 1$

7. Решим двойное логарифмическое неравенство. Представим 0 и 1 в виде логарифмов с основанием 0.1:
$\log_{0.1}(1) < \log_{0.1} x < \log_{0.1}(0.1)$
Так как основание логарифма $0.1 \in (0; 1)$, при переходе к аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:
$1 > x > 0.1$, что эквивалентно $0.1 < x < 1$.

8. Полученное решение $x \in (0.1; 1)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (0.1; 1)$.

Решите неравенство, применяя функционально-графические методы:

57.23 а) $3^x > 12 - 1.5x;$

б) $2^x > \sqrt{x};$

в) $3^x \le 12 - 1.5x;$

г) $2^x \le \sqrt{x}.

а)

Для решения неравенства $3^x > 12 - 1,5x$ используем функционально-графический метод. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 12 - 1,5x$.

Функция $y_1(x) = 3^x$ — это показательная функция, её график — возрастающая кривая. Она определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и проходит через точку $(0, 1)$.

Функция $y_2(x) = 12 - 1,5x$ — это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдем две точки: если $x=0$, то $y=12$; если $y=0$, то $12 - 1,5x = 0$, откуда $x=8$. Так как угловой коэффициент $k=-1,5$ отрицателен, функция является убывающей.

Неравенство $3^x > 12 - 1,5x$ будет выполняться для тех значений $x$, при которых график функции $y_1(x)$ расположен выше графика функции $y_2(x)$.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $3^x = 12 - 1,5x$. Методом подбора легко определить, что $x=2$ является корнем:

$y_1(2) = 3^2 = 9$

$y_2(2) = 12 - 1,5 \cdot 2 = 12 - 3 = 9$

Так как функция $y_1(x)$ строго возрастает, а функция $y_2(x)$ строго убывает, их графики могут пересечься только в одной точке. Таким образом, $x=2$ — единственная точка пересечения.

Поскольку при $x > 2$ возрастающая функция $y_1(x)$ принимает значения больше $9$, а убывающая функция $y_2(x)$ — значения меньше $9$, то для всех $x > 2$ выполняется неравенство $y_1(x) > y_2(x)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $2^x > \sqrt{x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Рассмотрим функции $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \sqrt{x}$ на ОДЗ $x \in [0, +\infty)$.

$y_1(x) = 2^x$ — возрастающая показательная функция. Ее график является выпуклым вниз (вогнутым). Проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

$y_2(x) = \sqrt{x}$ — возрастающая функция квадратного корня. Ее график является выпуклым вверх (выпуклым). Проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Неравенство $2^x > \sqrt{x}$ выполняется, когда график $y_1(x)$ лежит выше графика $y_2(x)$.

Сравним значения функций в некоторых точках на ОДЗ:

При $x=0$: $y_1(0) = 2^0 = 1$, $y_2(0) = \sqrt{0} = 0$. Имеем $1 > 0$.

При $x=1$: $y_1(1) = 2^1 = 2$, $y_2(1) = \sqrt{1} = 1$. Имеем $2 > 1$.

Поскольку график $y_1(x)$ является выпуклым вниз, а график $y_2(x)$ — выпуклым вверх, они могут пересечься не более двух раз. Однако, анализ показывает, что график показательной функции $y=2^x$ всегда находится выше графика функции $y=\sqrt{x}$ при $x \ge 0$. Это можно строго доказать, проанализировав функцию разности $f(x) = 2^x - \sqrt{x}$ и показав, что её минимальное значение на $[0, +\infty)$ положительно.

Следовательно, неравенство $2^x > \sqrt{x}$ выполняется для всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в)

Рассмотрим неравенство $3^x \le 12 - 1,5x$.

Воспользуемся анализом и графиками функций $y_1(x) = 3^x$ и $y_2(x) = 12 - 1,5x$ из пункта а).

Данное неравенство выполняется, когда график функции $y_1(x)$ находится на одном уровне или ниже графика функции $y_2(x)$.

Как было установлено, графики пересекаются в единственной точке $x=2$. Поскольку функция $y_1(x)$ возрастает, а $y_2(x)$ убывает, то при $x \le 2$ значения $y_1(x)$ будут меньше или равны значениям $y_2(x)$.

Следовательно, решение неравенства — это все значения $x$, не превосходящие 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

г)

Рассмотрим неравенство $2^x \le \sqrt{x}$.

Воспользуемся анализом и графиками функций $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \sqrt{x}$ из пункта б). Область определения неравенства $x \ge 0$.

Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1(x)$ лежит на одном уровне или ниже графика функции $y_2(x)$.

Как было показано в пункте б), для всех $x$ из области определения $x \ge 0$ выполняется строгое неравенство $2^x > \sqrt{x}$. Это означает, что график $y=2^x$ всегда расположен строго выше графика $y=\sqrt{x}$.

Следовательно, не существует значений $x$, удовлетворяющих неравенству $2^x \le \sqrt{x}$.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

57.12 a) $2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128};$

б) $0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \le 1.$

а) $2^{\sqrt{x+4}} \geq \frac{1}{2}\sqrt{128}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, имеем:

$x+4 \geq 0 \implies x \geq -4$

Теперь преобразуем правую часть неравенства, чтобы привести ее к степени с основанием 2, как и в левой части.

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt{128} = \sqrt{2^7} = (2^7)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{7}{2}}$

Тогда правая часть неравенства будет равна:

$\frac{1}{2}\sqrt{128} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{7}{2}} = 2^{-1+\frac{7}{2}} = 2^{\frac{-2+7}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$2^{\sqrt{x+4}} \geq 2^{\frac{5}{2}}$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$\sqrt{x+4} \geq \frac{5}{2}$

Так как обе части этого неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{x+4})^2 \geq (\frac{5}{2})^2$

$x+4 \geq \frac{25}{4}$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$x \geq \frac{25}{4} - 4$

$x \geq \frac{25}{4} - \frac{16}{4}$

$x \geq \frac{9}{4}$

Полученное решение $x \geq \frac{9}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \geq -4$), следовательно, оно и является окончательным решением.

Ответ: $x \in [\frac{9}{4}; +\infty)$.

б) $0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 1$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $0,5$:

$1 = 0,5^0$

Тогда неравенство примет вид:

$0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 0,5^0$

Поскольку основание степени $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=0,5^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение показателя степени. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \geq 0$

Перенесем слагаемое в правую часть:

$\sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого тригонометрического неравенства рассмотрим единичную окружность. Нам нужно найти все углы $x$, для которых значение синуса (ордината точки на окружности) больше или равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этими корнями являются $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности значениям $\sin x$, которые больше или равны $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствует дуга, заключенная между точками $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$ при движении против часовой стрелки.

Таким образом, решение неравенства можно записать в виде двойного неравенства, учитывая периодичность синуса:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

57.14 a) $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6;$

б) $(2 \cdot 0.1^x + 3)^{10} \ge (0.1^x + 103)^{10}.$

а) $(2^{x+1} + 1)^6 \ge (2^x + 17)^6$

Данное неравенство имеет вид $A^6 \ge B^6$. Рассмотрим основания степеней:

1. $A = 2^{x+1} + 1 = 2 \cdot 2^x + 1$. Так как показательная функция $2^x > 0$ для любого $x$, то $2 \cdot 2^x + 1 > 1$. Следовательно, основание $A$ всегда положительно.

2. $B = 2^x + 17$. Аналогично, $2^x > 0$, поэтому $2^x + 17 > 17$. Следовательно, основание $B$ также всегда положительно.

Поскольку оба основания положительны, можно извлечь корень 6-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак неравенства:

$2^{x+1} + 1 \ge 2^x + 17$

Преобразуем выражение $2^{x+1}$:

$2 \cdot 2^x + 1 \ge 2^x + 17$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2 \cdot 2^x - 2^x \ge 17 - 1$

$2^x \ge 16$

Представим 16 как степень двойки:

$2^x \ge 2^4$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge 4$

Ответ: $x \in [4, +\infty)$.

б) $(2 \cdot 0,1^x + 3)^{10} \ge (0,1^x + 103)^{10}$

Данное неравенство имеет вид $A^{10} \ge B^{10}$. Рассмотрим основания степеней:

1. $A = 2 \cdot 0,1^x + 3$. Так как $0,1^x > 0$ для любого $x$, то $2 \cdot 0,1^x + 3 > 3$. Следовательно, основание $A$ всегда положительно.

2. $B = 0,1^x + 103$. Аналогично, $0,1^x > 0$, поэтому $0,1^x + 103 > 103$. Следовательно, основание $B$ также всегда положительно.

Поскольку оба основания положительны, можно извлечь корень 10-й степени из обеих частей неравенства, сохранив знак неравенства:

$2 \cdot 0,1^x + 3 \ge 0,1^x + 103$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2 \cdot 0,1^x - 0,1^x \ge 103 - 3$

$0,1^x \ge 100$

Представим обе части неравенства как степени числа 10. Учитывая, что $0,1 = 10^{-1}$ и $100 = 10^2$:

$(10^{-1})^x \ge 10^2$

$10^{-x} \ge 10^2$

Так как основание степени $10 > 1$, показательная функция $y=10^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется:

$-x \ge 2$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -2$

Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.

Решите неравенство методом введения новой переменной:

57.16 a) $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 \ge 0;$

б) $2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 \le 0.$

a) Дано неравенство $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Это показательное неравенство. Мы можем заметить, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Это позволяет нам решить неравенство методом введения новой переменной.

Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную накладывается ограничение: $t > 0$.

Подставим $t$ в исходное неравенство и получим квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 2t - 3 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.

Графиком функции $y=t^2 - 2t - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, она принимает неотрицательные значения, когда переменная $t$ находится вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$: $t \le -1$ или $t \ge 3$.

Теперь учтем ограничение $t > 0$. Из двух полученных промежутков этому условию удовлетворяет только $t \ge 3$.

Выполним обратную замену, подставив $3^x$ вместо $t$:

$3^x \ge 3$

Представим правую часть как степень с основанием 3: $3^x \ge 3^1$. Поскольку основание степени $3$ больше 1, функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$x \ge 1$

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) Дано неравенство $2 \cdot 5^{2x} - 5^x - 1 \le 0$.

Аналогично предыдущему пункту, заметим, что $5^{2x} = (5^x)^2$, и введем новую переменную.

Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то для новой переменной $t$ имеем ограничение $t > 0$.

Заменим $5^x$ на $t$ в исходном неравенстве, чтобы получить квадратное неравенство:

$2t^2 - t - 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 - t - 1 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{1 - 3}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4} = -0.5$ и $t_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Графиком функции $y=2t^2 - t - 1$ является парабола с ветвями вверх, значит, она принимает неположительные значения на отрезке между корнями. Решением неравенства является промежуток $-0.5 \le t \le 1$.

Совместим полученное решение с ограничением $t > 0$. Система неравенств $\begin{cases} -0.5 \le t \le 1 \\ t > 0 \end{cases}$ имеет решение $0 < t \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

$0 < 5^x \le 1$

Неравенство $5^x > 0$ верно для всех $x$. Остается решить неравенство $5^x \le 1$.

Представим 1 как степень с основанием 5: $1 = 5^0$. Получаем $5^x \le 5^0$.

Так как основание степени $5$ больше 1, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

57.18 a) $\sqrt[3]{x} - 6\sqrt[6]{x} - 2 > 0;$

б) $\sqrt[5]{x} - 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0.$

а) $\sqrt[3]{x} - 6\sqrt[6]{x} - 2 > 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение $\sqrt[3]{x}$ определено для всех действительных чисел $x$.
Выражение $\sqrt[6]{x}$ определено только для неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего неравенства: $x \ge 0$.

2. Сделаем замену переменной.
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$.
Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Так как $x \ge 0$, то и $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное неравенство, получим квадратное неравенство: $t^2 - 6t - 2 > 0$.

3. Решим квадратное неравенство.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 6t - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.
$t_1 = \frac{6 - \sqrt{44}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{11}}{2} = 3 - \sqrt{11}$.
$t_2 = \frac{6 + \sqrt{44}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{11}}{2} = 3 + \sqrt{11}$.
Парабола $y = t^2 - 6t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 6t - 2 > 0$ выполняется при значениях $t$ вне интервала между корнями, то есть $t < 3 - \sqrt{11}$ или $t > 3 + \sqrt{11}$.

4. Учтем ограничение на переменную $t$.
Мы знаем, что $t \ge 0$.
Рассмотрим первое решение: $t < 3 - \sqrt{11}$. Так как $3 = \sqrt{9}$, то $3 - \sqrt{11} < 0$. Система $\begin{cases} t < 3 - \sqrt{11} \\ t \ge 0 \end{cases}$ не имеет решений.
Рассмотрим второе решение: $t > 3 + \sqrt{11}$. Это условие совместимо с $t \ge 0$, так как $3 + \sqrt{11}$ — положительное число.

5. Вернемся к исходной переменной $x$.
Мы получили, что $t > 3 + \sqrt{11}$.
Подставим обратно $t = \sqrt[6]{x}$:
$\sqrt[6]{x} > 3 + \sqrt{11}$.
Возведем обе части неравенства в 6-ю степень (так как обе части положительны, знак неравенства сохранится):
$x > (3 + \sqrt{11})^6$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in ((3 + \sqrt{11})^6, +\infty)$.

б) $\sqrt[5]{x} - 6\sqrt[10]{x} + 8 < 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение $\sqrt[5]{x}$ определено для всех действительных чисел $x$.
Выражение $\sqrt[10]{x}$ определено только для неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего неравенства: $x \ge 0$.

2. Сделаем замену переменной.
Заметим, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$.
Пусть $y = \sqrt[10]{x}$. Так как $x \ge 0$, то и $y \ge 0$.
Подставив $y$ в исходное неравенство, получим квадратное неравенство: $y^2 - 6y + 8 < 0$.

3. Решим квадратное неравенство.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $y^2 - 6y + 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 4$.
Парабола $z = y^2 - 6y + 8$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $y^2 - 6y + 8 < 0$ выполняется при значениях $y$ между корнями:
$2 < y < 4$.

4. Учтем ограничение на переменную $y$.
Мы знаем, что $y \ge 0$. Полученный интервал $2 < y < 4$ полностью удовлетворяет этому условию.

5. Вернемся к исходной переменной $x$.
Мы получили двойное неравенство $2 < y < 4$.
Подставим обратно $y = \sqrt[10]{x}$:
$2 < \sqrt[10]{x} < 4$.
Возведем все части неравенства в 10-ю степень (так как все части положительны, знаки неравенства сохранятся):
$2^{10} < x < 4^{10}$.
Вычислим значения: $2^{10} = 1024$.
$4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20} = (2^{10})^2 = 1024^2 = 1048576$.
Таким образом, $1024 < x < 1048576$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in (1024, 1048576)$.

57.20 a) $\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 < 0;$

б) $3 \log_{1/3}^2 x - 10 \log_{1/3} x + 3 \ge 0.$

a) $ \log_2^2 x - 7\log_2 x + 12 < 0 $

Данное неравенство является логарифмическим. В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Это неравенство является квадратным относительно $ \log_2 x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_2 x $. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$ t^2 - 7t + 12 < 0 $

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $ t^2 - 7t + 12 = 0 $. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 $

$ t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3 $

$ t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4 $

Парабола $ y = t^2 - 7t + 12 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями. Таким образом, решение для $t$ есть интервал $ 3 < t < 4 $.

Теперь выполним обратную замену $ t = \log_2 x $:

$ 3 < \log_2 x < 4 $

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств. Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, логарифмическая функция является возрастающей, и знаки неравенств сохраняются при потенцировании:

$ \log_2 x > 3 \implies x > 2^3 \implies x > 8 $

$ \log_2 x < 4 \implies x < 2^4 \implies x < 16 $

Объединяя эти два условия, получаем $ 8 < x < 16 $. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($ x > 0 $).

Ответ: $ x \in (8; 16) $.

б) $ 3\log_{\frac{1}{3}}^2 x - 10\log_{\frac{1}{3}} x + 3 \ge 0 $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x > 0 $.

Данное неравенство является квадратным относительно $ \log_{\frac{1}{3}} x $. Введем замену переменной. Пусть $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $. Неравенство примет вид:

$ 3y^2 - 10y + 3 \ge 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ 3y^2 - 10y + 3 = 0 $:

$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2 $

$ y_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ y_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $

Парабола $ z = 3y^2 - 10y + 3 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Решением для $y$ будет объединение двух промежутков:

$ y \le \frac{1}{3} $ или $ y \ge 3 $.

Выполним обратную замену $ y = \log_{\frac{1}{3}} x $. Получим совокупность двух неравенств:

$ \log_{\frac{1}{3}} x \le \frac{1}{3} $

$ \log_{\frac{1}{3}} x \ge 3 $

Решим каждое неравенство. Так как основание логарифма $ \frac{1}{3} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.

1) $ \log_{\frac{1}{3}} x \le \frac{1}{3} \implies x \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}} \implies x \ge \frac{1}{\sqrt[3]{3}} $.

2) $ \log_{\frac{1}{3}} x \ge 3 \implies x \le \left(\frac{1}{3}\right)^3 \implies x \le \frac{1}{27} $.

Учитывая ОДЗ ($ x > 0 $), решение второго неравенства будет $ 0 < x \le \frac{1}{27} $.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ x \in \left(0; \frac{1}{27}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; +\infty\right) $.

57.22 a) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \le 0;$

б) $\cos^2 x - 5\cos x + 4 \le 0.$

а) $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 \le 0$

Для решения данного тригонометрического неравенства введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.

После замены исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства:
$2t^2 - 3t + 1 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 3t + 1 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Так как коэффициент при $t^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы $y = 2t^2 - 3t + 1$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2t^2 - 3t + 1 \le 0$ выполняется для значений $t$, находящихся между корнями, включая сами корни: $\frac{1}{2} \le t \le 1$.

Теперь учтем ограничение на переменную $t$: $-1 \le t \le 1$.
Найдем пересечение двух условий: $[\frac{1}{2}, 1] \cap [-1, 1]$. Результатом является промежуток $[\frac{1}{2}, 1]$.

Выполним обратную замену:
$\frac{1}{2} \le \sin x \le 1$.

Решим это двойное неравенство. На единичной окружности значениям $\sin x$, удовлетворяющим этому условию, соответствуют точки дуги от $\frac{\pi}{6}$ до $\frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, решением на одном периоде является промежуток $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.
Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде:
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos^2 x - 5\cos x + 4 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Область значений функции косинус $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le t \le 1$.

Неравенство принимает вид:
$t^2 - 5t + 4 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения:
$t_1 = 1$
$t_2 = 4$

Ветви параболы $y = t^2 - 5t + 4$ направлены вверх, значит, неравенство $t^2 - 5t + 4 \le 0$ выполняется для $t$ в промежутке между корнями: $1 \le t \le 4$.

Сопоставим полученное решение с ограничением на $t$: $-1 \le t \le 1$.
Нам нужно найти пересечение множеств $[1, 4]$ и $[-1, 1]$. Единственным значением, удовлетворяющим обоим условиям, является $t=1$.

Производим обратную замену:
$\cos x = 1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решением которого является серия:
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

57.24 a) $log_2 x < 6 - x$;

б) $log_3 x \ge x^3$;

В) $log_2 x \ge 6 - x$;

Г) $log_3 x < x^3$.

a) $\log_2 x < 6 - x$

Данное неравенство является трансцендентным, и его следует решать графическим или функционально-графическим методом. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам нужно найти интервалы, на которых график функции $f(x)$ находится ниже графика функции $g(x)$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ). Логарифмическая функция определена только для положительных аргументов, поэтому ОДЗ неравенства: $x > 0$.

2. Анализ функций. Функция $f(x) = \log_2 x$ является возрастающей на всей своей области определения, так как основание логарифма $2 > 1$. Функция $g(x) = 6 - x$ является убывающей на всей числовой прямой, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $-1$.

3. Нахождение точки пересечения. Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$: $\log_2 x = 6 - x$ Подбором можно найти корень. Проверим целые значения $x$, являющиеся степенями двойки: При $x=4$, левая часть: $\log_2 4 = 2$. Правая часть: $6 - 4 = 2$. Поскольку $2 = 2$, $x=4$ является единственным корнем уравнения. Это точка пересечения графиков.

4. Решение неравенства. Нам нужно решить неравенство $\log_2 x < 6 - x$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x > 4$ будет выполняться $f(x) > f(4)$ и $g(x) < g(4)$, то есть $\log_2 x > 6 - x$. При $x < 4$ (и с учетом ОДЗ $x > 0$) будет выполняться $f(x) < f(4)$ и $g(x) > g(4)$, то есть $\log_2 x < 6 - x$. Следовательно, решение неравенства — это интервал $(0, 4)$.

Ответ: $x \in (0; 4)$.

б) $\log_3 x \ge x^3$

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_3 x - x^3$. Неравенство можно переписать в виде $h(x) \ge 0$.

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Исследование функции на экстремумы. Найдем производную функции $h(x)$: $h'(x) = (\log_3 x - x^3)' = \frac{1}{x \ln 3} - 3x^2$. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $\frac{1}{x \ln 3} - 3x^2 = 0 \implies 1 = 3x^3 \ln 3 \implies x^3 = \frac{1}{3 \ln 3}$. Пусть $x_0 = \sqrt[3]{\frac{1}{3 \ln 3}}$. При $0 < x < x_0$, $h'(x) > 0$, значит, функция $h(x)$ возрастает. При $x > x_0$, $h'(x) < 0$, значит, функция $h(x)$ убывает. Следовательно, в точке $x_0$ функция $h(x)$ достигает своего максимума.

3. Вычисление максимального значения. Максимальное значение функции равно $h(x_0) = \log_3(x_0) - x_0^3$. $x_0^3 = \frac{1}{3 \ln 3}$. $\log_3(x_0) = \frac{\ln(x_0)}{\ln 3} = \frac{\ln((\frac{1}{3 \ln 3})^{1/3})}{\ln 3} = \frac{\frac{1}{3}\ln(\frac{1}{3 \ln 3})}{\ln 3} = \frac{-\frac{1}{3}\ln(3 \ln 3)}{\ln 3} = -\frac{\ln(3 \ln 3)}{3 \ln 3}$. $h(x_0) = -\frac{\ln(3 \ln 3)}{3 \ln 3} - \frac{1}{3 \ln 3} = -\frac{\ln(3 \ln 3) + 1}{3 \ln 3}$. Поскольку $\ln 3 > \ln e = 1$, то $3 \ln 3 > 3$, и $\ln(3 \ln 3) > \ln 3 > 1$. Значит, числитель $\ln(3 \ln 3) + 1$ и знаменатель $3 \ln 3$ положительны. Таким образом, $h(x_0)$ является отрицательным числом.

4. Вывод. Максимальное значение функции $h(x)$ отрицательно. Это означает, что $h(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, неравенство $h(x) = \log_3 x - x^3 \ge 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

в) $\log_2 x \ge 6 - x$

Это неравенство тесно связано с неравенством из пункта а). Используем тот же метод и результаты.

1. Функции и ОДЗ. Рассматриваем функции $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 6 - x$. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ и точка пересечения. Как было установлено в пункте а), $f(x)$ — строго возрастающая функция, $g(x)$ — строго убывающая, и они пересекаются в единственной точке $x=4$.

3. Решение неравенства. Нам нужно найти, где $\log_2 x \ge 6 - x$, то есть $f(x) \ge g(x)$. В точке $x=4$ функции равны, значит, $x=4$ является решением. При $x > 4$, так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, выполняется $f(x) > f(4)$ и $g(x) < g(4)$, из чего следует, что $f(x) > g(x)$. При $0 < x < 4$ выполняется $f(x) < g(x)$. Объединяя результаты, получаем, что неравенство выполняется для всех $x \ge 4$.

Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

г) $\log_3 x < x^3$

Это неравенство тесно связано с неравенством из пункта б).

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ. Как было показано при решении пункта б), разность функций $h(x) = \log_3 x - x^3$ всегда отрицательна на всей области определения. $h(x) < 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$. Переписывая это неравенство, получаем: $\log_3 x - x^3 < 0 \implies \log_3 x < x^3$.

3. Вывод. Неравенство $\log_3 x < x^3$ справедливо для всех $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.