Страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

55.1 Равносильно ли уравнение $2^x = 256$ уравнению:

a) $\log_2 x = 3$;

б) $x^2 - 9x + 8 = 0$;

в) $3x^2 - 24x = 0$;

г) $\frac{16}{x} = 2?$;

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений (корней) полностью совпадают. Сначала найдем корень исходного уравнения $2^x = 256$.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2: $256 = 2^8$.

Тогда уравнение принимает вид: $2^x = 2^8$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x = 8$.

Таким образом, множество решений исходного уравнения — это $\{8\}$. Теперь необходимо проверить, имеют ли предложенные уравнения такое же множество решений.

а) $\log_2 x = 3$

Для решения этого логарифмического уравнения воспользуемся определением логарифма: $x$ равен основанию $2$, возведенному в степень $3$.

$x = 2^3$

$x = 8$

Множество решений этого уравнения — $\{8\}$. Оно совпадает с множеством решений исходного уравнения, значит, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильно.

б) $x^2 - 9x + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Его можно решить, например, по теореме Виета.

Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-9) = 9$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 8$.

Подбором находим, что корнями являются числа $1$ и $8$.

Множество решений этого уравнения — $\{1, 8\}$. Поскольку оно содержит корень $x=1$, который отсутствует в решении исходного уравнения, эти уравнения не являются равносильными.

Ответ: нет, не равносильно.

в) $3x^2 - 24x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобку:

$3x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 8 = 0 \implies x_2 = 8$

Множество решений этого уравнения — $\{0, 8\}$. Оно не совпадает с множеством решений исходного уравнения $\{8\}$, так как содержит посторонний корень $x=0$. Уравнения не равносильны.

Ответ: нет, не равносильно.

г) $\frac{16}{x} = 2$

Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.

Для решения умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$16 = 2x$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на $2$:

$x = \frac{16}{2}$

$x = 8$

Полученный корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ. Множество решений данного уравнения — $\{8\}$. Оно совпадает с множеством решений исходного уравнения, следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, равносильно.

55.3 Придумайте три уравнения, равносильные уравнению:

а) $\sqrt{2x - 1} = 3$;

б) $\cos x = 3$;

в) $\lg x^2 = 4$;

г) $x^{\frac{3}{5}} = -1$.

Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одинаковые множества решений. Чтобы составить три равносильных уравнения для каждого из заданных, мы сначала найдем множество решений исходного уравнения, а затем придумаем три новых уравнения с таким же множеством решений.

а)

Решим исходное уравнение $\sqrt{2x - 1} = 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $2x - 1 \ge 0$, что означает $x \ge 0.5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x - 1})^2 = 3^2$

$2x - 1 = 9$

$2x = 10$

$x = 5$

Корень $x = 5$ удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, множество решений данного уравнения — $\{5\}$.

Примеры равносильных уравнений (с единственным корнем $x=5$):
1. Линейное уравнение: $x - 5 = 0$.
2. Квадратное уравнение: $(x-5)^2 = 0$, или $x^2 - 10x + 25 = 0$.
3. Показательное уравнение: $7^{x-5} = 1$.

Ответ: $x-5=0$; $x^2-10x+25=0$; $7^{x-5}=1$.

б)

Рассмотрим уравнение $\cos x = 3$.

Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Так как число $3$ не принадлежит этому отрезку, уравнение не имеет действительных решений. Множество решений пусто ($\emptyset$).

Примеры равносильных уравнений (не имеющих решений):
1. Алгебраическое уравнение: $x^2 + 1 = 0$.
2. Иррациональное уравнение: $\sqrt{x} = -2$.
3. Показательное уравнение: $e^x = -1$.

Ответ: $x^2+1=0$; $\sqrt{x}=-2$; $e^x=-1$.

в)

Решим уравнение $\lg x^2 = 4$.

ОДЗ: $x^2 > 0$, что выполняется для всех $x \ne 0$.

По определению десятичного логарифма:

$x^2 = 10^4$

$x^2 = 10000$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 100$ и $x_2 = -100$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Множество решений — $\{-100, 100\}$.

Примеры равносильных уравнений (с корнями $x = 100$ и $x = -100$):
1. Алгебраическое уравнение: $x^2 = 10000$.
2. Уравнение с модулем: $|x| = 100$.
3. Дробно-рациональное уравнение: $\frac{x^2}{100} = 100$.

Ответ: $x^2=10000$; $|x|=100$; $\frac{x^2}{100}=100$.

г)

Решим уравнение $x^{\frac{3}{5}} = -1$.

Степень с рациональным показателем $m/n$, где знаменатель $n$ — нечетное число, определена для всех действительных $x$. Уравнение можно переписать в виде $(\sqrt[5]{x})^3 = -1$.

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$\sqrt[5]{x} = \sqrt[3]{-1}$

$\sqrt[5]{x} = -1$

Возведем обе части в пятую степень:

$x = (-1)^5$

$x = -1$

Множество решений — $\{-1\}$.

Примеры равносильных уравнений (с единственным корнем $x=-1$):
1. Линейное уравнение: $x+1=0$.
2. Кубическое уравнение: $x^3 = -1$ или $x^3+1=0$.
3. Иррациональное уравнение: $\sqrt{8-x}=3$.

Ответ: $x+1=0$; $x^3=-1$; $\sqrt{8-x}=3$.

55.5 a) $3^{\sqrt{x+4}} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^x = 1$ и $\sqrt{x+4} - x = 0;$

б) $\sqrt{0,5x} \cdot 2^{x^2} \sqrt{2} = 4$ и $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2?$

а) Чтобы определить, равносильны ли уравнения $3^{\sqrt{x}+4} \cdot (\frac{1}{3})^x = 1$ и $\sqrt{x}+4-x=0$, необходимо сравнить их множества решений. Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Область допустимых значений (ОДЗ) для обоих уравнений определяется наличием выражения $\sqrt{x}$, поэтому ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим первое уравнение: $3^{\sqrt{x}+4} \cdot (\frac{1}{3})^x = 1$.
Преобразуем его, используя свойства степеней. Представим все части уравнения как степени с основанием 3:
$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$
$1 = 3^0$
Уравнение принимает вид:
$3^{\sqrt{x}+4} \cdot 3^{-x} = 3^0$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^{\sqrt{x}+4-x} = 3^0$
Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$\sqrt{x}+4-x=0$
В результате равносильных преобразований на общей области допустимых значений мы получили второе уравнение. Следовательно, множества решений обоих уравнений совпадают.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

б) Чтобы определить, равносильны ли уравнения $\sqrt{0.5^x} \cdot 2^{x^2}\sqrt{2} = 4$ и $x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$, сравним их множества решений.
Оба уравнения определены для всех действительных чисел $x$, так как показательная функция $0.5^x$ всегда принимает положительные значения.
Рассмотрим первое уравнение и преобразуем его, приведя все множители к основанию 2.
$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$
$\sqrt{0.5^x} = \sqrt{(2^{-1})^x} = \sqrt{2^{-x}} = (2^{-x})^{1/2} = 2^{-x/2}$
$\sqrt{2} = 2^{1/2}$
$4 = 2^2$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$2^{-x/2} \cdot 2^{x^2} \cdot 2^{1/2} = 2^2$
Используя свойство степеней, сложим показатели в левой части:
$2^{x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}} = 2^2$
Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели:
$x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} = 2$
Полученное уравнение полностью совпадает со вторым уравнением. Так как все преобразования были равносильными для всех действительных $x$, уравнения имеют одинаковые множества решений.
Ответ: Да, уравнения равносильны.

55.2 Равносильно ли уравнение $\sin x = 0$ уравнению:

а) $\cos x = 1$;

б) $\operatorname{tg} x = 0$;

в) $\cos 2x = 1$;

г) $\sqrt{x - 1} \cdot \sin x = 0$?

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Сначала найдем множество решений исходного уравнения $ \sin x = 0 $.

Решением уравнения $ \sin x = 0 $ является серия корней $ x = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $). Множество решений: $ \{ \dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \} $.

Теперь проверим равносильность для каждого из предложенных уравнений.

а) $ \cos x = 1 $
Решением этого уравнения является серия корней $ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Множество решений этого уравнения: $ \{ \dots, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, \dots \} $.
Это множество не совпадает с множеством решений уравнения $ \sin x = 0 $. Например, корень $ x = \pi $ является решением уравнения $ \sin x = 0 $, но не является решением уравнения $ \cos x = 1 $, так как $ \cos \pi = -1 \neq 1 $. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

б) $ \operatorname{tg} x = 0 $
Уравнение $ \operatorname{tg} x = 0 $ по определению равносильно системе $ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} $.
Решения уравнения $ \sin x = 0 $ — это $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Проверим для этих решений условие $ \cos x \neq 0 $. Если $ x = \pi k $, то $ \cos(\pi k) = (-1)^k $. Так как $ (-1)^k $ может быть равно только $ 1 $ или $ -1 $, то $ \cos(\pi k) \neq 0 $ для любого целого $ k $.
Таким образом, множество решений уравнения $ \operatorname{tg} x = 0 $ есть $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $, что полностью совпадает с множеством решений исходного уравнения. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.

в) $ \cos 2x = 1 $
Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $.
Подставив в уравнение, получим: $ 1 - 2\sin^2 x = 1 \implies -2\sin^2 x = 0 \implies \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 $.
Так как уравнение $ \cos 2x = 1 $ с помощью равносильных преобразований приводится к уравнению $ \sin x = 0 $, их множества решений совпадают. Это также можно проверить, решив уравнение $ \cos 2x = 1 $ напрямую: $ 2x = 2\pi n \implies x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Это множество решений совпадает с множеством решений уравнения $ \sin x = 0 $. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.

г) $ \sqrt{x-1} \cdot \sin x = 0 $
Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $ x-1 \ge 0 $, то есть $ x \ge 1 $.
На ОДЗ произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $ \sqrt{x-1} = 0 \implies x = 1 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
2) $ \sin x = 0 \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Из этих корней нужно выбрать те, что удовлетворяют ОДЗ $ x \ge 1 $.
$ \pi k \ge 1 \implies k \ge \frac{1}{\pi} $. Так как $ \pi \approx 3.14 $ и $ k $ — целое, то $ k \ge 1 $ ($ k=1, 2, 3, \dots $).
Итак, множество решений данного уравнения состоит из $ x=1 $ и $ x=\pi k $ для всех целых $ k \ge 1 $.
Это множество $ \{1, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots\} $ не совпадает с множеством решений уравнения $ \sin x = 0 $. Например, $ x=0 $ является решением $ \sin x = 0 $, но не является решением уравнения $ \sqrt{x-1} \cdot \sin x = 0 $. Также $ x=1 $ является решением $ \sqrt{x-1} \cdot \sin x = 0 $, но не является решением $ \sin x = 0 $. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

Равносильны ли уравнения:

55.4 a) $ \sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3} $ и $ 2x^2 + 2 = x^4 + 3; $

б) $ \sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1 $ и $ \sin^2 x = 0? $

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое уравнение: $\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$2x^2 + 2 \ge 0$
$x^4 + 3 \ge 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $2x^2 + 2 \ge 2$ и $x^4 + 3 \ge 3$. Оба подкоренных выражения всегда строго положительны. Следовательно, ОДЗ для первого уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Это преобразование будет равносильным, то есть не приведет к потере или приобретению посторонних корней.
$(\sqrt{2x^2 + 2})^2 = (\sqrt{x^4 + 3})^2$
$2x^2 + 2 = x^4 + 3$

Мы получили в точности второе уравнение. Второе уравнение $2x^2 + 2 = x^4 + 3$ является целым рациональным уравнением, и его ОДЗ также все действительные числа.

Поскольку второе уравнение получено из первого с помощью равносильного преобразования (возведения в квадрат обеих неотрицательных частей), множества их решений совпадают.

Для полной уверенности можно найти корни. Перенесем все члены второго уравнения в одну сторону:
$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$):
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t - 1)^2 = 0$
$t = 1$
Вернемся к исходной переменной:
$x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Множество решений для обоих уравнений — $\{-1, 1\}$. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ и $\sin^2 x = 0$.

Проанализируем первое уравнение. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным:
$\sin^2 x + 1 \ge 0$

Мы знаем, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \sin^2 x \le 1$. Следовательно, $1 \le \sin^2 x + 1 \le 2$. Выражение под корнем всегда строго положительно, поэтому ОДЗ первого уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Поскольку обе части уравнения $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ неотрицательны, мы можем возвести их в четвертую степень. Это преобразование является равносильным.
$(\sqrt[4]{\sin^2 x + 1})^4 = 1^4$
$\sin^2 x + 1 = 1$
$\sin^2 x = 0$

В результате мы получили второе уравнение. Так как оно было получено из первого с помощью равносильного преобразования, множества решений этих уравнений совпадают.

Найдем решения уравнения $\sin^2 x = 0$:
$\sin x = 0$
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Множество решений для обоих уравнений — $\{x \mid x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Таким образом, уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.