Страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

53.5 В разложении $(x + \frac{1}{x})^{10}$ по степеням переменной $x$ укажите:

а) одночлен, содержащий $x^8$;

б) одночлен, содержащий $x^4$;

в) одночлен, содержащий $x^{-2}$;

г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий $x$).

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения выражения $(a+b)^n$:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

В данном случае $a = x$, $b = \frac{1}{x}$ и $n=10$. Общий член разложения $(x + \frac{1}{x})^{10}$, который мы обозначим как $T_{k+1}$, имеет вид:

$T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_{10}^k x^{10-k} x^{-k} = C_{10}^k x^{10-2k}$

Здесь $C_{10}^k = \frac{10!}{k!(10-k)!}$ — биномиальный коэффициент, а $k$ — целое число от 0 до 10.

а) одночлен, содержащий $x^8$

Чтобы найти одночлен, содержащий $x^8$, необходимо найти такое значение $k$, при котором показатель степени $x$ равен 8. Составим и решим уравнение:

$10 - 2k = 8$

$2k = 10 - 8$

$2k = 2$

$k = 1$

Поскольку $k=1$ — допустимое значение ($0 \le 1 \le 10$), такой член существует. Найдем его коэффициент:

$C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1!9!} = 10$.

Таким образом, искомый одночлен равен $10x^8$.

Ответ: $10x^8$.

о) одночлен, содержащий $x^4$

Найдем значение $k$, для которого показатель степени $x$ равен 4:

$10 - 2k = 4$

$2k = 10 - 4$

$2k = 6$

$k = 3$

Значение $k=3$ является допустимым. Вычислим соответствующий коэффициент:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Следовательно, искомый одночлен равен $120x^4$.

Ответ: $120x^4$.

в) одночлен, содержащий $x^{-2}$

Найдем значение $k$, для которого показатель степени $x$ равен -2:

$10 - 2k = -2$

$2k = 10 + 2$

$2k = 12$

$k = 6$

Значение $k=6$ является допустимым. Вычислим коэффициент:

$C_{10}^6 = C_{10}^{10-6} = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.

Следовательно, искомый одночлен равен $210x^{-2}$.

Ответ: $210x^{-2}$.

г) свободный коэффициент (одночлен, не содержащий x)

Свободный коэффициент — это член разложения, не содержащий $x$, то есть член с $x^0$. Найдем соответствующее значение $k$:

$10 - 2k = 0$

$2k = 10$

$k = 5$

Значение $k=5$ является допустимым. Вычислим коэффициент, который и является свободным членом:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$.

Таким образом, свободный коэффициент разложения равен 252.

Ответ: $252$.

53.7 Докажите, что для любого натурального числа $n > 1$ и любого положительного числа $x$ справедливо неравенство $(1 + x)^n > 1 + nx$.

Для доказательства данного неравенства, известного как неравенство Бернулли, воспользуемся методом математической индукции по $n$. Требуется доказать, что для любого натурального числа $n > 1$ (то есть $n \ge 2$) и любого положительного числа $x > 0$ справедливо неравенство:$(1 + x)^n > 1 + nx$

Сначала проверим базу индукции для наименьшего возможного значения $n$, а именно для $n=2$. Подставив $n=2$ в неравенство, получим:$(1 + x)^2 > 1 + 2x$Раскроем скобки в левой части выражения:$1 + 2x + x^2 > 1 + 2x$Вычтем из обеих частей неравенства $1 + 2x$:$x^2 > 0$Поскольку по условию $x$ является положительным числом ($x > 0$), его квадрат $x^2$ также будет строго больше нуля. Таким образом, для $n=2$ неравенство верно.

Далее, сделаем индукционное предположение. Предположим, что неравенство справедливо для некоторого натурального числа $k \ge 2$:$(1 + x)^k > 1 + kx$

Теперь выполним индукционный переход. Нам нужно доказать, что из справедливости неравенства для $n=k$ следует его справедливость для $n=k+1$. То есть, докажем, что:$(1 + x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$

Преобразуем левую часть этого неравенства:$(1 + x)^{k+1} = (1 + x)^k \cdot (1 + x)$

Согласно индукционному предположению, мы знаем, что $(1 + x)^k > 1 + kx$. Так как по условию $x > 0$, то и $(1+x) > 1$, то есть $(1+x)$ является положительным числом. Умножим обе части неравенства в индукционном предположении на $(1+x)$, при этом знак неравенства не изменится:$(1 + x)^k \cdot (1 + x) > (1 + kx) \cdot (1 + x)$

Следовательно, мы имеем:$(1 + x)^{k+1} > (1 + kx)(1 + x)$

Раскроем скобки в правой части:$(1 + kx)(1 + x) = 1 + x + kx + kx^2 = 1 + (k+1)x + kx^2$

Таким образом, мы установили, что:$(1 + x)^{k+1} > 1 + (k+1)x + kx^2$

Теперь сравним правую часть полученного неравенства с выражением $1 + (k+1)x$. Поскольку $k$ является натуральным числом ($k \ge 2$) и $x$ — положительное число ($x > 0$), то слагаемое $kx^2$ будет строго положительным: $kx^2 > 0$.Следовательно, справедливо неравенство:$1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x$

Используя свойство транзитивности для неравенств, из того, что $(1 + x)^{k+1} > 1 + (k+1)x + kx^2$ и $1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x$, следует, что:$(1 + x)^{k+1} > 1 + (k+1)x$

Индукционный переход доказан. Так как база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции мы заключаем, что исходное неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n > 1$ и всех положительных чисел $x$.

Ответ: Утверждение доказано.

53.6 Чему равен наибольший коэффициент в разложении $(a + b)^n$, если сумма биномиальных коэффициентов разложения равна:

а) 1024;

б) 512?

Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

Сумма биномиальных коэффициентов в разложении $(a+b)^n$ вычисляется по формуле $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$. Используя эту формулу, мы можем найти показатель степени $n$. Наибольший коэффициент в разложении зависит от четности $n$.

• Если $n$ — четное число ($n=2m$), то в разложении есть один наибольший коэффициент, равный $C_{2m}^m$.
• Если $n$ — нечетное число ($n=2m+1$), то в разложении есть два одинаковых наибольших коэффициента, равные $C_{2m+1}^m$ и $C_{2m+1}^{m+1}$.

a) Сумма биномиальных коэффициентов равна 1024

1. Найдем показатель степени $n$.

По условию, $2^n = 1024$.

Так как $1024 = 2^{10}$, то $n = 10$.

2. Найдем наибольший коэффициент.

Поскольку $n=10$ — четное число, наибольший коэффициент один, и он равен $C_{10}^{10/2} = C_{10}^5$.

Вычислим его значение:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$.

3. Найдем количество членов с наибольшим коэффициентом.

Для четного $n$ существует только один член с наибольшим коэффициентом.

Ответ: Наибольший коэффициент равен 252. В разложении один член с этим коэффициентом.

б) Сумма биномиальных коэффициентов равна 512

1. Найдем показатель степени $n$.

По условию, $2^n = 512$.

Так как $512 = 2^9$, то $n = 9$.

2. Найдем наибольший коэффициент.

Поскольку $n=9$ — нечетное число, существует два равных наибольших коэффициента: $C_9^{(9-1)/2} = C_9^4$ и $C_9^{(9+1)/2} = C_9^5$.

Вычислим значение $C_9^4$ (значение $C_9^5$ будет таким же):

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.

3. Найдем количество членов с наибольшим коэффициентом.

Для нечетного $n$ существует два члена с наибольшим коэффициентом ($C_9^4$ и $C_9^5$).

Ответ: Наибольший коэффициент равен 126. В разложении два члена с этим коэффициентом.

54.2 Из колоды в 36 карт одновременно выбирают две карты. Найдите вероятность того, что:

a) обе карты чёрной масти;

б) обе карты пиковой масти;

в) обе карты крестовой масти;

г) одна из карт пиковой масти, а другая — крестовой.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

В колоде 36 карт. Одновременно выбираются 2 карты. Общее число способов выбрать 2 карты из 36 равно числу сочетаний из 36 по 2:

$N = C_{36}^2 = \frac{36!}{2!(36-2)!} = \frac{36 \cdot 35}{2 \cdot 1} = 18 \cdot 35 = 630$.

Таким образом, общее число элементарных исходов равно 630.

В стандартной колоде из 36 карт 4 масти, по 9 карт каждой масти. Масти пики и крести являются чёрными. Следовательно, в колоде $9 + 9 = 18$ чёрных карт.

а) обе карты чёрной масти;

Пусть событие А заключается в том, что обе выбранные карты — чёрной масти. В колоде 18 чёрных карт. Число способов выбрать 2 чёрные карты из 18 имеющихся равно числу сочетаний из 18 по 2:

$m_а = C_{18}^2 = \frac{18!}{2!(18-2)!} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153$.

Это число благоприятствующих исходов. Вероятность события А равна:

$P(A) = \frac{m_а}{N} = \frac{153}{630} = \frac{17 \cdot 9}{70 \cdot 9} = \frac{17}{70}$.

Ответ: $\frac{17}{70}$.

б) обе карты пиковой масти;

Пусть событие Б заключается в том, что обе выбранные карты — пиковой масти. В колоде 9 карт пиковой масти. Число способов выбрать 2 пиковые карты из 9 равно:

$m_б = C_{9}^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$.

Вероятность события Б равна:

$P(Б) = \frac{m_б}{N} = \frac{36}{630} = \frac{2 \cdot 18}{35 \cdot 18} = \frac{2}{35}$.

Ответ: $\frac{2}{35}$.

в) обе карты крестовой масти;

Пусть событие В заключается в том, что обе выбранные карты — крестовой масти. В колоде 9 карт крестовой масти. Расчет аналогичен пункту б). Число способов выбрать 2 крестовые карты из 9 равно:

$m_в = C_{9}^2 = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.

Вероятность события В равна:

$P(В) = \frac{m_в}{N} = \frac{36}{630} = \frac{2}{35}$.

Ответ: $\frac{2}{35}$.

г) одна из карт пиковой масти, а другая — крестовой.

Пусть событие Г заключается в том, что одна карта пиковой масти, а другая — крестовой. В колоде 9 пиковых карт и 9 крестовых карт.

Число способов выбрать 1 пиковую карту из 9 равно $C_9^1 = 9$.

Число способов выбрать 1 крестовую карту из 9 также равно $C_9^1 = 9$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов выбрать одну пиковую и одну крестовую карту равно:

$m_г = C_9^1 \cdot C_9^1 = 9 \cdot 9 = 81$.

Вероятность события Г равна:

$P(Г) = \frac{m_г}{N} = \frac{81}{630} = \frac{9 \cdot 9}{70 \cdot 9} = \frac{9}{70}$.

Ответ: $\frac{9}{70}$.

54.1 На стойке для CD-дисков в беспорядке расположены 20 (с торца неразличимыми) дисков с компьютерными играми. Из них 12 — квесты, а остальные — аркады. Десятиклассник случайным образом выбирает два диска. Какова вероятность того, что:

а) оба они окажутся с квестами;

б) оба они — с аркадами;

в) эти диски — с играми разных типов?

г) Чему равна сумма вероятностей в пунктах а), б), в)?

Всего на стойке 20 дисков. Из них 12 — квесты, а остальные $20 - 12 = 8$ — аркады. Десятиклассник случайным образом выбирает два диска.

Для решения задачи будем использовать классическое определение вероятности $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число способов выбрать 2 диска из 20 равно числу сочетаний из 20 по 2:
$N = C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190$.
Это общее число исходов для всех пунктов задачи.

а) оба они окажутся с квестами;

Событие A: оба выбранных диска — квесты.
Число благоприятствующих исходов — это количество способов выбрать 2 диска с квестами из 12 имеющихся:
$M_a = C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
Вероятность события A:
$P(A) = \frac{M_a}{N} = \frac{66}{190} = \frac{33}{95}$.
Ответ: $\frac{33}{95}$.

б) оба они — с аркадами;

Событие Б: оба выбранных диска — аркады.
Число дисков с аркадами равно 8. Число благоприятствующих исходов — это количество способов выбрать 2 диска с аркадами из 8:
$M_б = C_{8}^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
Вероятность события Б:
$P(Б) = \frac{M_б}{N} = \frac{28}{190} = \frac{14}{95}$.
Ответ: $\frac{14}{95}$.

в) эти диски — с играми разных типов?

Событие В: выбран один диск с квестом и один с аркадой.
Число способов выбрать 1 квест из 12 равно $C_{12}^1 = 12$.
Число способов выбрать 1 аркаду из 8 равно $C_{8}^1 = 8$.
По правилу произведения в комбинаторике, число благоприятствующих исходов равно:
$M_в = C_{12}^1 \times C_{8}^1 = 12 \times 8 = 96$.
Вероятность события В:
$P(В) = \frac{M_в}{N} = \frac{96}{190} = \frac{48}{95}$.
Ответ: $\frac{48}{95}$.

г) Чему равна сумма вероятностей в пунктах а), б), в)?

Сумма вероятностей событий А, Б и В:
$P(A) + P(Б) + P(В) = \frac{33}{95} + \frac{14}{95} + \frac{48}{95} = \frac{33 + 14 + 48}{95} = \frac{95}{95} = 1$.
Сумма вероятностей равна 1, потому что события «оба диска — квесты», «оба диска — аркады» и «диски разных типов» являются несовместными и образуют полную группу событий. Это означает, что при выборе двух дисков обязательно произойдет одно и только одно из этих трех событий.
Ответ: 1.

54.3 В тёмном ящике — 9 билетов, разложенных по одному в одинаковые конверты. Из них 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы наудачу вытаскиваете 3 конверта. Найдите вероятность того, что:

а) все билеты выигрышные;

б) есть ровно один проигрышный билет;

в) есть ровно один выигрышный билет;

г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

В ящике находится 9 билетов. Мы вытаскиваем 3 билета. Общее число способов выбрать 3 билета из 9 равно числу сочетаний из 9 по 3:

$n = C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Таким образом, общее число исходов $n = 84$.

а) все билеты выигрышные;

Для наступления этого события необходимо, чтобы все 3 извлеченных билета были из 5 выигрышных. Число способов выбрать 3 выигрышных билета из 5 равно:

$m_a = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Вероятность этого события:

$P(a) = \frac{m_a}{n} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42}$.

Ответ: $\frac{5}{42}$

б) есть ровно один проигрышный билет;

Это означает, что из 3 билетов 1 должен быть проигрышным, а 2 – выигрышными. Число способов выбрать 1 проигрышный билет из 4 равно $C_4^1$. Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 5 равно $C_5^2$. Общее число благоприятных исходов по правилу произведения:

$m_b = C_4^1 \cdot C_5^2 = 4 \cdot \frac{5!}{2!(5-2)!} = 4 \cdot 10 = 40$.

Вероятность этого события:

$P(b) = \frac{m_b}{n} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$.

Ответ: $\frac{10}{21}$

в) есть ровно один выигрышный билет;

Это означает, что из 3 билетов 1 должен быть выигрышным, а 2 – проигрышными. Число способов выбрать 1 выигрышный билет из 5 равно $C_5^1$. Число способов выбрать 2 проигрышных билета из 4 равно $C_4^2$. Общее число благоприятных исходов по правилу произведения:

$m_c = C_5^1 \cdot C_4^2 = 5 \cdot \frac{4!}{2!(4-2)!} = 5 \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} = 5 \cdot 6 = 30$.

Вероятность этого события:

$P(c) = \frac{m_c}{n} = \frac{30}{84} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{5}{14}$

г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Событие "есть хотя бы один выигрышный билет" является противоположным событию "все 3 билета проигрышные". Проще найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы.

Найдем вероятность того, что все 3 извлеченных билета – проигрышные. Число способов выбрать 3 проигрышных билета из 4 равно:

$m_{прот} = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$.

Вероятность вытащить 3 проигрышных билета:

$P(прот) = \frac{m_{прот}}{n} = \frac{4}{84} = \frac{1}{21}$.

Тогда вероятность того, что будет хотя бы один выигрышный билет, равна:

$P(г) = 1 - P(прот) = 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$.

Ответ: $\frac{20}{21}$