Страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
ч. 2. Cтраница 216

№54.20 (с. 216)
Условие. №54.20 (с. 216)
скриншот условия

54.20 Вероятность $P(A + B)$ суммы двух независимых событий $A$ и $B$ равна 0,9. Найдите, чему равна вероятность $P(B)$ события $B$, если известно, что вероятность $P(A)$ события $A$ равна:
a) 0,1;
б) 0,5;
в) 0,8;
г) 0,89.
Решение 1. №54.20 (с. 216)

Решение 2. №54.20 (с. 216)


Решение 5. №54.20 (с. 216)


Решение 6. №54.20 (с. 216)
Для решения задачи воспользуемся формулой вероятности суммы двух независимых событий A и B:
$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$
Так как события A и B независимы, то вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:
$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$
Подставив это в первую формулу, получим:
$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$
Из этой формулы нам нужно выразить $P(B)$.
$P(A + B) - P(A) = P(B) - P(A) \cdot P(B)$
$P(A + B) - P(A) = P(B) \cdot (1 - P(A))$
$P(B) = \frac{P(A + B) - P(A)}{1 - P(A)}$
По условию задачи $P(A + B) = 0,9$. Теперь найдем $P(B)$ для каждого случая.
а) если $P(A) = 0,1$:
Подставляем известные значения в выведенную формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,1}{1 - 0,1} = \frac{0,8}{0,9} = \frac{8}{9}$
Ответ: $\frac{8}{9}$
б) если $P(A) = 0,5$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,5}{1 - 0,5} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$
Ответ: 0,8
в) если $P(A) = 0,8$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,8}{1 - 0,8} = \frac{0,1}{0,2} = 0,5$
Ответ: 0,5
г) если $P(A) = 0,89$:
Подставляем известные значения в формулу:
$P(B) = \frac{0,9 - 0,89}{1 - 0,89} = \frac{0,01}{0,11} = \frac{1}{11}$
Ответ: $\frac{1}{11}$
№54.22 (с. 216)
Условие. №54.22 (с. 216)
скриншот условия


54.22 Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит 5 выстрелов.
а) Заполните таблицу распределения вероятностей $P_5(k)$ того, что из 5 выстрелов будет ровно $k$ попаданий:
Число попаданий, $k$
$P_5(k) = C_5^k \cdot 0,4^k \cdot 0,6^{5-k}$
б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет.
в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз.
г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?
Решение 1. №54.22 (с. 216)

Решение 2. №54.22 (с. 216)

Решение 5. №54.22 (с. 216)


Решение 6. №54.22 (с. 216)
Данная задача описывается схемой Бернулли, где проводится серия из $n=5$ независимых испытаний (выстрелов). Вероятность «успеха» (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=0,4$. Вероятность «неудачи» (промаха) равна $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$. Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$. В нашем случае формула имеет вид: $P_5(k) = C_5^k \cdot (0,4)^k \cdot (0,6)^{5-k}$.
а) Заполните таблицу распределения вероятностей $P_5(k)$ того, что из 5 выстрелов будет ровно k попаданий:
Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $k$ от 0 до 5. Для этого нам понадобятся биномиальные коэффициенты $C_5^k$: $C_5^0 = 1$; $C_5^1 = 5$; $C_5^2 = 10$; $C_5^3 = 10$; $C_5^4 = 5$; $C_5^5 = 1$.
- При $k=0$: $P_5(0) = C_5^0 \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,07776 = 0,07776$
- При $k=1$: $P_5(1) = C_5^1 \cdot (0,4)^1 \cdot (0,6)^4 = 5 \cdot 0,4 \cdot 0,1296 = 0,2592$
- При $k=2$: $P_5(2) = C_5^2 \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^3 = 10 \cdot 0,16 \cdot 0,216 = 0,3456$
- При $k=3$: $P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^2 = 10 \cdot 0,064 \cdot 0,36 = 0,2304$
- При $k=4$: $P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,4)^4 \cdot (0,6)^1 = 5 \cdot 0,0256 \cdot 0,6 = 0,0768$
- При $k=5$: $P_5(5) = C_5^5 \cdot (0,4)^5 \cdot (0,6)^0 = 1 \cdot 0,01024 \cdot 1 = 0,01024$
Заполненная таблица распределения вероятностей:
Число попаданий, $k$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
$P_5(k)$ | 0,07776 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,01024 |
Ответ: Таблица заполнена выше.
б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет.
Событие «стрелок ни разу не промажет» означает, что все 5 выстрелов были успешными, то есть число попаданий $k=5$. Вероятность этого события была рассчитана в пункте а). $P_5(5) = 0,01024$.
Ответ: 0,01024.
в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз.
Событие «стрелок поразит мишень не менее двух раз» означает, что число попаданий $k$ будет 2, 3, 4 или 5. Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_5(2)$, $P_5(3)$, $P_5(4)$ и $P_5(5)$. $P(k \ge 2) = P_5(2) + P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$. Используя значения из таблицы: $P(k \ge 2) = 0,3456 + 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 0,66304$. Эту же вероятность можно найти через противоположное событие (число попаданий меньше 2, то есть 0 или 1): $P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - (P_5(0) + P_5(1)) = 1 - (0,07776 + 0,2592) = 1 - 0,33696 = 0,66304$.
Ответ: 0,66304.
г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?
Наиболее вероятное число попаданий — это значение $k$, для которого вероятность $P_5(k)$ максимальна. Сравнивая вероятности, вычисленные в пункте а), находим максимальное значение: $P_5(0)=0,07776$; $P_5(1)=0,2592$; $P_5(2)=0,3456$; $P_5(3)=0,2304$; $P_5(4)=0,0768$; $P_5(5)=0,01024$. Максимальная вероятность — $P_5(2) = 0,3456$. Следовательно, наиболее вероятное число попаданий равно 2.
Ответ: 2.
№54.19 (с. 216)
Условие. №54.19 (с. 216)
скриншот условия

54.19 У каждого из туристов есть или тугрики, или евро. У 100 туристов есть только тугрики, у 38 туристов есть только евро, а у 31 % туристов есть обе валюты.
а) Сколько туристов имеют только одну валюту?
б) Сколько всего туристов?
в) Сколько туристов имеют тугрики?
г) Сколько туристов имеют евро?
Решение 1. №54.19 (с. 216)

Решение 2. №54.19 (с. 216)

Решение 5. №54.19 (с. 216)


Решение 6. №54.19 (с. 216)
а) Сколько туристов имеют только одну валюту?
Чтобы найти количество туристов, имеющих только одну валюту, нужно сложить число туристов, у которых есть только тугрики, с числом туристов, у которых есть только евро.
Согласно условию, у 100 туристов есть только тугрики, а у 38 туристов — только евро.
Следовательно, количество туристов с одной валютой равно: $100 + 38 = 138$.
Ответ: 138
б) Сколько всего туристов?
Пусть $N$ — общее количество туристов. Все туристы делятся на три группы: те, у кого только тугрики; те, у кого только евро; и те, у кого обе валюты.
Из пункта (а) мы знаем, что туристов, имеющих только одну валюту, 138.
По условию, 31% туристов имеют обе валюты. Значит, туристы, имеющие только одну валюту, составляют оставшуюся часть: $100\% - 31\% = 69\%$.
Таким образом, 138 туристов составляют 69% от общего числа туристов. Чтобы найти общее число туристов $N$, составим пропорцию:
$0.69 \cdot N = 138$
$N = \frac{138}{0.69} = \frac{13800}{69} = 200$
Всего 200 туристов.
Ответ: 200
в) Сколько туристов имеют тугрики?
Тугрики имеют те туристы, у которых есть только тугрики, и те, у которых есть обе валюты.
Количество туристов, у которых есть только тугрики, равно 100.
Количество туристов, у которых есть обе валюты, составляет 31% от общего числа туристов. Ранее мы выяснили, что всего туристов 200.
Найдем это количество: $200 \cdot 0.31 = 62$ туриста.
Теперь сложим эти два значения, чтобы найти общее число туристов с тугриками: $100 + 62 = 162$.
Ответ: 162
г) Сколько туристов имеют евро?
Евро имеют те туристы, у которых есть только евро, и те, у которых есть обе валюты.
Количество туристов, у которых есть только евро, равно 38.
Количество туристов, у которых есть обе валюты, мы уже рассчитали в предыдущем пункте — их 62.
Сложим эти два значения, чтобы найти общее число туристов с евро: $38 + 62 = 100$.
Ответ: 100
№54.21 (с. 216)
Условие. №54.21 (с. 216)
скриншот условия

54.21 Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень одного из них равна 0,5. Найти вероятность попадания в мишень другого стрелка, если известно, что:
а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4;
б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45;
в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,8;
г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,999.
Решение 1. №54.21 (с. 216)

Решение 2. №54.21 (с. 216)


Решение 5. №54.21 (с. 216)


Решение 6. №54.21 (с. 216)
Пусть $p_1$ — вероятность попадания в мишень первого стрелка, а $p_2$ — вероятность попадания второго стрелка. По условию, вероятность попадания одного из них равна 0,5. Пусть это будет первый стрелок, тогда $p_1 = 0,5$. Нам нужно найти $p_2$.
События, заключающиеся в попадании каждого из стрелков, являются независимыми.
а) вероятность того, что мишень будет поражена дважды, равна 0,4;
Событие "мишень поражена дважды" означает, что оба стрелка попали в цель. Вероятность этого события для независимых выстрелов равна произведению вероятностей попадания каждого стрелка.
$P(\text{оба попали}) = p_1 \cdot p_2$
Согласно условию, эта вероятность равна 0,4:
$p_1 \cdot p_2 = 0,4$
Подставляем известное значение $p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot p_2 = 0,4$
Отсюда находим $p_2$:
$p_2 = \frac{0,4}{0,5} = 0,8$
Ответ: 0,8.
б) вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна 0,45;
Событие "мишень не поражена ни разу" означает, что оба стрелка промахнулись. Вероятность промаха для первого стрелка равна $q_1 = 1 - p_1 = 1 - 0,5 = 0,5$. Вероятность промаха для второго стрелка равна $q_2 = 1 - p_2$.
Вероятность того, что оба промахнутся, равна произведению вероятностей их промахов, так как выстрелы независимы:
$P(\text{оба промахнулись}) = q_1 \cdot q_2 = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
По условию, эта вероятность равна 0,45:
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,45$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,45$
$1 - p_2 = \frac{0,45}{0,5} = 0,9$
$p_2 = 1 - 0,9 = 0,1$
Ответ: 0,1.
в) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,8;
Событие "мишень поражена хотя бы один раз" является противоположным (дополнительным) событию "мишень не поражена ни разу". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{оба промахнулись})$
$P(\text{оба промахнулись}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
По условию, $P(\text{хотя бы одно попадание}) = 0,8$.
Следовательно, $P(\text{оба промахнулись}) = 1 - 0,8 = 0,2$.
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,2$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,2$
$1 - p_2 = \frac{0,2}{0,5} = 0,4$
$p_2 = 1 - 0,4 = 0,6$
Ответ: 0,6.
г) вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз, равна 0,999.
Решение аналогично пункту в). Событие "мишень поражена хотя бы один раз" противоположно событию "оба промахнулись".
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{оба промахнулись})$
По условию, $P(\text{хотя бы одно попадание}) = 0,999$.
Значит, вероятность того, что оба промахнутся, равна:
$P(\text{оба промахнулись}) = 1 - 0,999 = 0,001$
$P(\text{оба промахнулись}) = (1 - p_1) \cdot (1 - p_2)$
$(1 - p_1) \cdot (1 - p_2) = 0,001$
Подставляем $1 - p_1 = 0,5$:
$0,5 \cdot (1 - p_2) = 0,001$
$1 - p_2 = \frac{0,001}{0,5} = 0,002$
$p_2 = 1 - 0,002 = 0,998$
Ответ: 0,998.
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.