Страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

56.39 a) $2^{5x-1} \left(\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \log_{0,5}(x + 4) = 0;$

б) $(\sin 2x + \cos 2x)(x - 8\sqrt{2x - 15}) = 0.$

а) Решим уравнение $2^{5x-1} \left( \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \log_{0,5}(x+4) = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x+4 > 0$, откуда $x > -4$. ОДЗ: $x \in (-4, +\infty)$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены. Рассмотрим каждый множитель по отдельности.

1. $2^{5x-1} = 0$. Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция $a^y$ всегда строго положительна при $a > 0$.

2. $\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Отсюда следует, что $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решениями этого тригонометрического уравнения являются серии корней, которые можно записать в общей форме: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. $\log_{0,5}(x+4) = 0$. По определению логарифма, это равенство эквивалентно $x+4 = (0,5)^0$, то есть $x+4 = 1$. Отсюда получаем $x = -3$.

Теперь необходимо отобрать корни, которые удовлетворяют ОДЗ, то есть $x > -4$.

Корень $x = -3$ удовлетворяет условию $-3 > -4$, следовательно, он является решением исходного уравнения.

Для серии корней $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$ проверим, при каких целых значениях $k$ выполняется неравенство $x > -4$.
При $k \ge 0$ все корни будут удовлетворять условию. Например, при $k=0, x = \frac{\pi}{3} > -4$; при $k=1, x = \frac{2\pi}{3} > -4$.
При $k = -1$, $x = (-1)^{-1}\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4.19$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $-4.19 < -4$.
При $k < -1$ значения $x$ будут еще меньше, поэтому они также не входят в ОДЗ.
Таким образом, для этой серии подходят только целые неотрицательные значения $k$, то есть $k \ge 0$.

Ответ: $x = -3; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

б) Решим уравнение $(\sin 2x + \cos 2x)(x - 8\sqrt{2x-15}) = 0$.

ОДЗ уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $2x-15 \ge 0$, откуда $2x \ge 15$, то есть $x \ge 7.5$. ОДЗ: $x \in [7.5, +\infty)$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определен. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $\sin 2x + \cos 2x = 0$

2) $x - 8\sqrt{2x-15} = 0$

Решим первое уравнение: $\sin 2x + \cos 2x = 0$.
Это однородное тригонометрическое уравнение. Так как значения $x$, при которых $\cos 2x = 0$, не являются решениями (в этом случае $\sin 2x = \pm 1 \neq 0$), можно разделить обе части на $\cos 2x$:
$\tan 2x + 1 = 0 \implies \tan 2x = -1$
$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($x \ge 7.5$):
$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \ge 7.5 \implies \frac{\pi(4k-1)}{8} \ge \frac{15}{2} \implies \pi(4k-1) \ge 60 \implies 4k-1 \ge \frac{60}{\pi}$.
Используя приближение $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{60}{\pi} \approx 19.1$.
$4k-1 \ge 19.1 \implies 4k \ge 20.1 \implies k \ge 5.025$.
Поскольку $k$ — целое число, наименьшее подходящее значение $k=6$.

Решим второе уравнение: $x - 8\sqrt{2x-15} = 0 \implies x = 8\sqrt{2x-15}$.
В соответствии с ОДЗ $x \ge 7.5$, поэтому обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = (8\sqrt{2x-15})^2 \implies x^2 = 64(2x-15) \implies x^2 = 128x - 960 \implies x^2 - 128x + 960 = 0$.
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 16384 - 3840 = 12544 = 112^2$.
$x_1 = \frac{128 - 112}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$x_2 = \frac{128 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120$.
Оба корня $x=8$ и $x=120$ удовлетворяют ОДЗ ($8 \ge 7.5$ и $120 \ge 7.5$). Проверка подстановкой в исходное иррациональное уравнение подтверждает, что оба корня подходят.

Объединяя все найденные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $8; \quad 120; \quad -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}, k \ge 6$.

56.41 a) $\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \log_3 \sqrt{x^3 - 2x + 10} = 2;$

б) $(x - 7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1.$

а) $\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \log_3 \sqrt{x^3 - 2x + 10} = 2$

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под первым корнем: $x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$. Так как $(x - 1)^2 \ge 0$, то $(x - 1)^2 + 1 \ge 1$. Это выражение всегда положительно.
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $\sqrt{x^3 - 2x + 10} > 0$, что равносильно $x^3 - 2x + 10 > 0$.Исследуем функцию $h(x) = x^3 - 2x + 10$. Ее производная $h'(x) = 3x^2 - 2$.Критические точки: $3x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm\sqrt{2/3}$.Локальный минимум функции $h(x)$ достигается в точке $x = \sqrt{2/3}$.Значение в этой точке: $h(\sqrt{2/3}) = (\sqrt{2/3})^3 - 2\sqrt{2/3} + 10 = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} - 2\sqrt{\frac{2}{3}} + 10 = 10 - \frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = 10 - \frac{4\sqrt{6}}{9}$.Так как $10 > \frac{4\sqrt{6}}{9}$ (поскольку $90 > 4\sqrt{6} \iff 8100 > 96$), то $h(\sqrt{2/3}) > 0$.Поскольку локальный минимум функции положителен, $h(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.Следовательно, ОДЗ уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть уравнения как сумму двух функций: $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 2}$ и $g(x) = \log_3 \sqrt{x^3 - 2x + 10}$.Проанализируем функцию $f(x) = \sqrt{(x - 1)^2 + 1}$.Минимальное значение подкоренного выражения равно 1 и достигается при $x=1$.Следовательно, $f(x) \ge \sqrt{1} = 1$. Равенство $f(x)=1$ выполняется только при $x=1$.

Проанализируем функцию $g(x)$. Рассмотрим, при каких значениях $x$ выполняется условие $g(x) \ge 1$.$ \log_3 \sqrt{x^3 - 2x + 10} \ge 1 $
$ \sqrt{x^3 - 2x + 10} \ge 3^1 $
$ x^3 - 2x + 10 \ge 9 $
$ x^3 - 2x + 1 \ge 0 $
Разложим многочлен $x^3 - 2x + 1$ на множители. Заметим, что $x=1$ является корнем: $1^3 - 2(1) + 1 = 0$.$ (x-1)(x^2+x-1) \ge 0 $
Корни уравнения $x^2+x-1=0$ равны $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.Таким образом, неравенство $g(x) \ge 1$ выполняется для $x \in \left[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right] \cup [1, \infty)$.

На множестве $x \in \left[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right] \cup [1, \infty)$ мы имеем $f(x) \ge 1$ и $g(x) \ge 1$.Следовательно, на этом множестве их сумма $f(x) + g(x) \ge 1 + 1 = 2$.Равенство $f(x) + g(x) = 2$ возможно только в том случае, если одновременно $f(x)=1$ и $g(x)=1$.Условие $f(x)=1$ выполняется только при $x=1$.Условие $g(x)=1$ выполняется при $x=1$, $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ и $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=1$.Проверим: $\sqrt{1^2 - 2(1) + 2} + \log_3 \sqrt{1^3 - 2(1) + 10} = \sqrt{1} + \log_3\sqrt{9} = 1 + \log_3 3 = 1+1=2$.Таким образом, $x=1$ является решением уравнения.

Ответ: $1$

б) $(x - 7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1$

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $\sqrt{x^2 - 14x + 74} > 0$, что равносильно $x^2 - 14x + 74 > 0$.Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 14x + 74$. Его дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 74 = 196 - 296 = -100$.Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, квадратный трехчлен всегда положителен.Следовательно, ОДЗ уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть уравнения как сумму двух функций: $f(x) = (x-7)^6$ и $g(x) = \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74}$.Проанализируем каждое слагаемое.

1. Функция $f(x) = (x-7)^6$. Поскольку показатель степени четный, $f(x) \ge 0$ для любого $x$. Минимальное значение $f(x)=0$ достигается при $x=7$.

2. Функция $g(x) = \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74}$. Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:$x^2 - 14x + 74 = (x^2 - 14x + 49) + 25 = (x-7)^2 + 25$.Таким образом, $g(x) = \log_5 \sqrt{(x-7)^2 + 25}$.Выражение под корнем $(x-7)^2 + 25$ имеет минимальное значение 25, которое достигается при $x=7$.Соответственно, выражение $\sqrt{(x-7)^2 + 25}$ имеет минимальное значение $\sqrt{25}=5$.Функция логарифма с основанием 5 является возрастающей, поэтому $g(x)$ достигает своего минимального значения тогда же, когда и ее аргумент.Минимальное значение $g(x)$ равно $\log_5 5 = 1$ и достигается при $x=7$.Итак, $g(x) \ge 1$ для любого $x$.

Сложим оценки для обеих функций:$f(x) + g(x) = (x-7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} \ge 0 + 1 = 1$.Левая часть уравнения всегда больше или равна 1. Равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно принимают свои минимальные значения:$(x-7)^6 = 0$ и $\log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1$.Оба эти условия выполняются при $x=7$.

Ответ: $7$

56.38 a) $2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50;$

б) $3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24;$

в) $3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}} = 225;$

г) $5^x \cdot 2^{\frac{2-x}{x}} = 40.$

а) $2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.
Преобразуем показатель степени у числа 5: $\frac{1+x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} = \frac{1}{x} + 1$.
Подставим это в исходное уравнение:
$2^x \cdot 5^{\frac{1}{x} + 1} = 50$
Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:
$2^x \cdot 5^{\frac{1}{x}} \cdot 5^1 = 50$
Разделим обе части уравнения на 5:
$2^x \cdot 5^{\frac{1}{x}} = 10$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
$\lg(2^x \cdot 5^{\frac{1}{x}}) = \lg(10)$
$x \lg 2 + \frac{1}{x} \lg 5 = 1$
Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):
$x^2 \lg 2 + \lg 5 = x$
$x^2 \lg 2 - x + \lg 5 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем дискриминант $D$:
$D = (-1)^2 - 4(\lg 2)(\lg 5) = 1 - 4\lg 2 \lg 5$
Так как $\lg 5 = \lg(10/2) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - \lg 2$, то:
$D = 1 - 4\lg 2 (1 - \lg 2) = 1 - 4\lg 2 + 4(\lg 2)^2 = (1 - 2\lg 2)^2$
Найдем корни уравнения:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(1-2\lg 2)^2}}{2\lg 2} = \frac{1 \pm (1-2\lg 2)}{2\lg 2}$
Первый корень:
$x_1 = \frac{1 + (1 - 2\lg 2)}{2\lg 2} = \frac{2 - 2\lg 2}{2\lg 2} = \frac{1 - \lg 2}{\lg 2} = \frac{\lg 5}{\lg 2} = \log_2 5$
Второй корень:
$x_2 = \frac{1 - (1 - 2\lg 2)}{2\lg 2} = \frac{2\lg 2}{2\lg 2} = 1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \log_2 5$.

б) $3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Представим правую часть уравнения в виде произведения степеней с основаниями 3 и 2:
$24 = 3 \cdot 8 = 3^1 \cdot 2^3$
Тогда уравнение примет вид:
$3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 3^1 \cdot 2^3$
Сравнивая показатели степеней при одинаковых основаниях, можно предположить, что решением является система:
$\begin{cases} x = 1 \\ \frac{3}{x} = 3 \end{cases}$
Подставляя $x=1$ во второе уравнение, получаем $\frac{3}{1}=3$, что является верным равенством. Значит, $x=1$ является корнем уравнения.
Чтобы найти все возможные корни, прологарифмируем обе части исходного уравнения по основанию 10:
$x \lg 3 + \frac{3}{x} \lg 2 = \lg 24$
Умножим на $x$ ($x \neq 0$):
$x^2 \lg 3 + 3 \lg 2 = x \lg 24$
$x^2 \lg 3 - x \lg 24 + 3 \lg 2 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = (\lg 24)^2 - 4(\lg 3)(3\lg 2) = (\lg(3 \cdot 8))^2 - 12\lg 3 \lg 2 = (\lg 3 + 3\lg 2)^2 - 12\lg 3 \lg 2$
$D = (\lg 3)^2 + 6\lg 3 \lg 2 + 9(\lg 2)^2 - 12\lg 3 \lg 2 = (\lg 3)^2 - 6\lg 3 \lg 2 + 9(\lg 2)^2 = (\lg 3 - 3\lg 2)^2$
Корни уравнения:
$x = \frac{\lg 24 \pm \sqrt{(\lg 3 - 3\lg 2)^2}}{2\lg 3} = \frac{\lg 3 + 3\lg 2 \pm (\lg 3 - 3\lg 2)}{2\lg 3}$
Первый корень:
$x_1 = \frac{(\lg 3 + 3\lg 2) + (\lg 3 - 3\lg 2)}{2\lg 3} = \frac{2\lg 3}{2\lg 3} = 1$
Второй корень:
$x_2 = \frac{(\lg 3 + 3\lg 2) - (\lg 3 - 3\lg 2)}{2\lg 3} = \frac{6\lg 2}{2\lg 3} = 3 \frac{\lg 2}{\lg 3} = 3\log_3 2 = \log_3 (2^3) = \log_3 8$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; \log_3 8$.

в) $3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}} = 225$

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
Представим числа 625 и 225 в виде степеней простых чисел:
$625 = 5^4$, $225 = 9 \cdot 25 = 3^2 \cdot 5^2$.
Подставим в уравнение:
$3^{x-1} \cdot (5^4)^{\frac{x-2}{x-1}} = 3^2 \cdot 5^2$
$3^{x-1} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}} = 3^2 \cdot 5^2$
Разделим обе части уравнения на $3^2 \cdot 5^2$ (это выражение не равно нулю):
$\frac{3^{x-1}}{3^2} \cdot \frac{5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}}{5^2} = 1$
$3^{x-1-2} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}-2} = 1$
$3^{x-3} \cdot 5^{\frac{4x-8-2(x-1)}{x-1}} = 1$
$3^{x-3} \cdot 5^{\frac{4x-8-2x+2}{x-1}} = 1$
$3^{x-3} \cdot 5^{\frac{2x-6}{x-1}} = 1$
$3^{x-3} \cdot 5^{\frac{2(x-3)}{x-1}} = 1$
Один из корней можно найти, приравняв показатель к нулю: $x-3=0 \implies x=3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Если $x \neq 3$, то мы можем преобразовать уравнение:
$3^{x-3} = (5^{\frac{2}{x-1}})^{-(x-3)} = 5^{-\frac{2(x-3)}{x-1}}$
Прологарифмируем обе части по основанию $e$ (натуральный логарифм):
$(x-3)\ln 3 = -\frac{2(x-3)}{x-1}\ln 5$
Так как мы рассматриваем случай $x \neq 3$, можно разделить обе части на $(x-3)$:
$\ln 3 = -\frac{2\ln 5}{x-1}$
$(x-1)\ln 3 = -2\ln 5$
$x-1 = -2 \frac{\ln 5}{\ln 3} = -2\log_3 5 = \log_3 (5^{-2}) = \log_3(\frac{1}{25})$
$x = 1 + \log_3(\frac{1}{25}) = \log_3 3 + \log_3(\frac{1}{25}) = \log_3(3 \cdot \frac{1}{25}) = \log_3(\frac{3}{25})$
Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $3; \log_3(\frac{3}{25})$.

г) $5^x \cdot 2^{\frac{2-x}{x}} = 40$

ОДЗ: $x \neq 0$.
Преобразуем показатель степени у числа 2: $\frac{2-x}{x} = \frac{2}{x} - 1$.
$5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}-1} = 40$
$5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} \cdot 2^{-1} = 40$
Умножим обе части на 2:
$5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 80$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
$\lg(5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}}) = \lg(80)$
$x \lg 5 + \frac{2}{x} \lg 2 = \lg 80$
Умножим все члены уравнения на $x$:
$x^2 \lg 5 + 2\lg 2 = x \lg 80$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:
$x^2 \lg 5 - x \lg 80 + 2\lg 2 = 0$
Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=\lg 5$, $b=-\lg 80$, $c=2\lg 2 = \lg 4$.
Корни этого уравнения можно найти по стандартной формуле:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x = \frac{\lg 80 \pm \sqrt{(\lg 80)^2 - 4(\lg 5)(2\lg 2)}}{2\lg 5}$
$x = \frac{\lg 80 \pm \sqrt{(\lg 80)^2 - 8\lg 5 \lg 2}}{2\lg 5}$
Дискриминант $D = (\lg 80)^2 - 8\lg 5 \lg 2 > 0$, поэтому уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\frac{\lg 80 \pm \sqrt{(\lg 80)^2 - 8\lg 5 \lg 2}}{2\lg 5}$.

56.40 a) $\sin \frac{5\pi}{4}x = x^2 - 4x + 5;$

б) $-\cos 7\pi x = x^2 - 6x + 10.$

а) Рассмотрим уравнение $\sin(\frac{5\pi}{4}x) = x^2 - 4x + 5$.
Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки области значений левой и правой частей.

1. Оценим левую часть уравнения.
Функция $f(x) = \sin(\frac{5\pi}{4}x)$ является синусом. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного значения $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin(\frac{5\pi}{4}x) \le 1$.
Таким образом, левая часть уравнения не может быть больше $1$.

2. Оценим правую часть уравнения.
Функция $g(x) = x^2 - 4x + 5$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Наименьшее значение этой функции находится в вершине параболы. Найдем его, выделив полный квадрат:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 5 = (x-2)^2 + 1$.
Поскольку выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(x-2)^2 \ge 0$), то наименьшее значение всей правой части равно $1$. Это значение достигается при $x=2$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство:
$x^2 - 4x + 5 \ge 1$.

3. Сделаем вывод.
Мы установили, что левая часть уравнения $\sin(\frac{5\pi}{4}x) \le 1$, а правая часть $x^2 - 4x + 5 \ge 1$.
Равенство между ними возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $1$. Это эквивалентно решению системы уравнений:
$\begin{cases} \sin(\frac{5\pi}{4}x) = 1 \\ x^2 - 4x + 5 = 1 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы, так как оно проще:
$x^2 - 4x + 5 = 1$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
Отсюда получаем единственное решение $x=2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это значение первому уравнению системы. Подставим $x=2$ в первое уравнение:
$\sin(\frac{5\pi}{4} \cdot 2) = \sin(\frac{10\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{2})$.
Используя периодичность синуса, получаем:
$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Равенство $1=1$ выполняется. Следовательно, $x=2$ является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: $2$.

б) Рассмотрим уравнение $-\cos(7\pi x) = x^2 - 6x + 10$.
Как и в предыдущем задании, применим метод оценки.

1. Оценим левую часть уравнения.
Функция $f(x) = -\cos(7\pi x)$. Область значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(7\pi x) \le 1$. Умножив все части неравенства на $-1$ и поменяв знаки неравенства, получим:
$1 \ge -\cos(7\pi x) \ge -1$.
Таким образом, левая часть уравнения не может быть больше $1$.

2. Оценим правую часть уравнения.
Функция $g(x) = x^2 - 6x + 10$ является квадратичной с ветвями параболы вверх. Найдем ее наименьшее значение, выделив полный квадрат:
$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x-3)^2 + 1$.
Так как $(x-3)^2 \ge 0$, наименьшее значение правой части равно $1$ и достигается при $x=3$. Таким образом, для любого $x$ имеем:
$x^2 - 6x + 10 \ge 1$.

3. Сделаем вывод.
Мы получили, что левая часть уравнения $-\cos(7\pi x) \le 1$, а правая часть $x^2 - 6x + 10 \ge 1$.
Равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны $1$. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} -\cos(7\pi x) = 1 \\ x^2 - 6x + 10 = 1 \end{cases}$

Решим второе уравнение:
$x^2 - 6x + 10 = 1$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x-3)^2 = 0$
Отсюда $x=3$.

Проверим найденное значение $x=3$, подставив его в первое уравнение системы:
$-\cos(7\pi \cdot 3) = -\cos(21\pi)$.
Используя свойство четности и периодичность косинуса, находим:
$\cos(21\pi) = \cos(20\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Тогда левая часть равна:
$-\cos(21\pi) = -(-1) = 1$.
Равенство $1=1$ истинно. Значит, $x=3$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $3$.

56.42 a) $\log_2(x^2 - 4x + 8) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2};$

б) $\log_3(x^2 + 4x + 13) = \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4}.$

а) $ \log_2(x^2 - 4x + 8) = \sin\frac{5\pi x}{4} - \cos\frac{\pi x}{2} $

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения по отдельности.

1. Левая часть: $ f(x) = \log_2(x^2 - 4x + 8) $.

Выражение под знаком логарифма представляет собой квадратичную функцию $ y = x^2 - 4x + 8 $. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее вершину, чтобы определить наименьшее значение.

Координата вершины по оси $x$: $ x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 $.

Наименьшее значение квадратного трехчлена равно значению функции в вершине: $ y_{min} = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4 $.

Так как $ x^2 - 4x + 8 \ge 4 $ и функция $ \log_2(t) $ является возрастающей, то наименьшее значение левой части уравнения равно:

$ \log_2(4) = 2 $.

Таким образом, для левой части уравнения справедливо неравенство: $ \log_2(x^2 - 4x + 8) \ge 2 $.

2. Правая часть: $ g(x) = \sin\frac{5\pi x}{4} - \cos\frac{\pi x}{2} $.

Оценим множество значений этой функции. Известно, что $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $ и $ -1 \le \cos\beta \le 1 $. Тогда максимальное значение выражения $ \sin\alpha - \cos\beta $ достигается, когда $ \sin\alpha $ принимает максимальное значение (1), а $ \cos\beta $ - минимальное (-1).

Максимальное значение правой части: $ 1 - (-1) = 2 $.

Таким образом, для правой части уравнения справедливо неравенство: $ \sin\frac{5\pi x}{4} - \cos\frac{\pi x}{2} \le 2 $.

3. Решение уравнения.

Исходное уравнение $ f(x) = g(x) $ может иметь решение только в том случае, если обе его части одновременно равны 2, то есть:

$ \begin{cases} \log_2(x^2 - 4x + 8) = 2 \\ \sin\frac{5\pi x}{4} - \cos\frac{\pi x}{2} = 2 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \log_2(x^2 - 4x + 8) = 2 $

$ x^2 - 4x + 8 = 2^2 $

$ x^2 - 4x + 4 = 0 $

$ (x-2)^2 = 0 $

$ x = 2 $

Теперь проверим, обращается ли правая часть в 2 при $ x = 2 $.

$ \sin\frac{5\pi \cdot 2}{4} - \cos\frac{\pi \cdot 2}{2} = \sin\frac{5\pi}{2} - \cos\pi = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) - (-1) = \sin\frac{\pi}{2} + 1 = 1 + 1 = 2 $.

Условие для правой части выполняется. Следовательно, $ x = 2 $ является единственным решением уравнения.

Ответ: $ 2 $

б) $ \log_3(x^2 + 4x + 13) = \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} $

Решим это уравнение методом оценки, аналогично предыдущему пункту.

1. Левая часть: $ f(x) = \log_3(x^2 + 4x + 13) $.

Рассмотрим выражение под знаком логарифма $ y = x^2 + 4x + 13 $. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение в вершине.

Координата вершины по оси $x$: $ x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 $.

Наименьшее значение квадратного трехчлена: $ y_{min} = (-2)^2 + 4(-2) + 13 = 4 - 8 + 13 = 9 $.

Так как $ x^2 + 4x + 13 \ge 9 $ и функция $ \log_3(t) $ возрастающая, то наименьшее значение левой части уравнения:

$ \log_3(9) = 2 $.

Следовательно, $ \log_3(x^2 + 4x + 13) \ge 2 $.

2. Правая часть: $ g(x) = \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} $.

Максимальное значение функции $ \cos\alpha $ равно 1, а минимальное значение функции $ \sin\beta $ равно -1. Поэтому максимальное значение разности $ \cos\alpha - \sin\beta $ равно $ 1 - (-1) = 2 $.

Таким образом, для правой части справедливо неравенство: $ \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} \le 2 $.

3. Решение уравнения.

Равенство $ f(x) = g(x) $ возможно только тогда, когда обе части равны 2:

$ \begin{cases} \log_3(x^2 + 4x + 13) = 2 \\ \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} = 2 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$ \log_3(x^2 + 4x + 13) = 2 $

$ x^2 + 4x + 13 = 3^2 $

$ x^2 + 4x + 13 = 9 $

$ x^2 + 4x + 4 = 0 $

$ (x+2)^2 = 0 $

$ x = -2 $

Проверим, выполняется ли второе условие системы при $ x = -2 $.

Второе равенство $ \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} = 2 $ достигается только при $ \cos(\pi x) = 1 $ и $ \sin\frac{\pi x}{4} = -1 $.

Подставим $ x = -2 $:

$ \cos(\pi(-2)) = \cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1 $.

$ \sin\frac{\pi(-2)}{4} = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $.

Оба условия выполняются. Следовательно, правая часть равна $ 1 - (-1) = 2 $ при $ x = -2 $.

Так как $ x = -2 $ является единственным значением, при котором левая часть достигает своего минимума (2), а правая — своего максимума (2), то это единственное решение уравнения.

Ответ: $ -2 $

57.1 Придумайте три неравенства, равносильные неравенству:

а) $x^2 - 9 \le 0;$

б) $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}.$

а)

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы придумать три неравенства, равносильные исходному $x^2 - 9 \le 0$, мы можем выполнять равносильные преобразования или находить другие неравенства с таким же множеством решений.

Сначала решим исходное неравенство. Разложим левую часть на множители:

$(x - 3)(x + 3) \le 0$

Корнями соответствующего уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$ являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями. Таким образом, множество решений исходного неравенства: $x \in [-3, 3]$.

Теперь придумаем три равносильных неравенства:

1. Перенесем 9 в правую часть неравенства $x^2 - 9 \le 0$. Это равносильное преобразование, которое не изменяет множество решений.

   $x^2 \le 9$

2. Умножим обе части исходного неравенства $x^2 - 9 \le 0$ на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Это также равносильное преобразование.

   $-(x^2 - 9) \ge -1 \cdot 0$

   $9 - x^2 \ge 0$

3. Неравенство $x^2 \le 9$ равносильно неравенству $|x| \le 3$. Множеством решений этого неравенства является промежуток от -3 до 3 включительно, то есть $x \in [-3, 3]$, что совпадает с множеством решений исходного неравенства.

   $|x| \le 3$

Ответ: $x^2 \le 9$; $9 - x^2 \ge 0$; $|x| \le 3$.

б)

Найдем множество решений для исходного неравенства $\frac{1}{x} < \frac{1}{3}$. Для этого перенесем все члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$

$\frac{3 - x}{3x} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $3 - x = 0 \Rightarrow x = 3$. Нули знаменателя: $3x = 0 \Rightarrow x = 0$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{3-x}{3x}$ в каждом интервале.

• При $x < 0$ (например, $x = -1$): $\frac{3 - (-1)}{3(-1)} = \frac{4}{-3} < 0$. Интервал подходит.
• При $0 < x < 3$ (например, $x = 1$): $\frac{3 - 1}{3(1)} = \frac{2}{3} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x > 3$ (например, $x = 4$): $\frac{3 - 4}{3(4)} = \frac{-1}{12} < 0$. Интервал подходит.

Таким образом, множество решений исходного неравенства: $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Теперь придумаем три равносильных неравенства:

1. Первое равносильное неравенство мы уже получили в процессе решения: перенос члена $\frac{1}{3}$ в левую часть.

   $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$

2. Второе равносильное неравенство — это результат приведения к общему знаменателю в предыдущем неравенстве.

   $\frac{3-x}{3x} < 0$

3. Умножим обе части неравенства $\frac{3-x}{3x} < 0$ на -3. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный. Это равносильное преобразование.

   $-3 \cdot \frac{3-x}{3x} > -3 \cdot 0$

   $\frac{-(3-x)}{x} > 0$

   $\frac{x-3}{x} > 0$

Ответ: $\frac{1}{x} - \frac{1}{3} < 0$; $\frac{3-x}{3x} < 0$; $\frac{x-3}{x} > 0$.

57.2 Являются ли равносильными неравенства:

а) $sin x + 2 \log_3 x > 20$ и $sin x > 20 - 2 \log_3 x$;

б) $\frac{sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \ge 1$ и $sin x \ge \sqrt{x^2 + 1}$;

в) $13 - 13^{x^2 - 4} \ge 10^x$ и $13 \ge 10^x + 13^{x^2 - 4}$;

г) $10^{4x - 1} \cdot \lg(x^2 - 4) < 0$ и $\lg(x^2 - 4) < 0$?

а) Рассмотрим неравенства $\sin x + 2 \log_3 x > 20$ и $\sin x > 20 - 2 \log_3 x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для обоих неравенств определяется существованием логарифма $\log_3 x$, что требует $x > 0$. Таким образом, ОДЗ у них одинаковая: $x \in (0, +\infty)$.

Второе неравенство получается из первого путем переноса слагаемого $2 \log_3 x$ из левой части в правую с изменением знака. Это равносильное преобразование, которое не изменяет множество решений неравенства.

Поскольку ОДЗ неравенств совпадают и одно получается из другого равносильным преобразованием, они являются равносильными.

Ответ: да, являются равносильными.

б) Рассмотрим неравенства $\frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 1$ и $\sin x \geq \sqrt{x^2 + 1}$.

ОДЗ первого неравенства: подкоренное выражение $x^2+1$ должно быть неотрицательно, а знаменатель $\sqrt{x^2 + 1}$ не должен быть равен нулю. Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \geq 1$, значит, $\sqrt{x^2 + 1} \geq 1$. Таким образом, ОДЗ первого неравенства — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$. ОДЗ второго неравенства также $x \in \mathbb{R}$.

Второе неравенство можно получить из первого, умножив обе его части на выражение $\sqrt{x^2 + 1}$. Так как $\sqrt{x^2 + 1} \geq 1$ для всех $x$, это выражение всегда положительно. Умножение обеих частей неравенства на одно и то же положительное число является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства.

Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: да, являются равносильными.

в) Рассмотрим неравенства $13 - 13^{x^2-4} \geq 10^x$ и $13 \geq 10^x + 13^{x^2-4}$.

ОДЗ для обоих неравенств — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как показательные функции определены для любого действительного показателя.

Второе неравенство получается из первого путем переноса слагаемого $-13^{x^2-4}$ из левой части в правую с изменением знака на противоположный. Это равносильное преобразование (прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения $13^{x^2-4}$).

Так как ОДЗ совпадают и преобразование является равносильным, неравенства равносильны.

Ответ: да, являются равносильными.

г) Рассмотрим неравенства $10^{4x-1} \cdot \lg(x^2 - 4) < 0$ и $\lg(x^2 - 4) < 0$.

ОДЗ для обоих неравенств определяется условием существования логарифма: $x^2 - 4 > 0$. Решая это неравенство, получаем $(x-2)(x+2)>0$, откуда $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$. ОДЗ у неравенств одинаковая.

Рассмотрим первое неравенство. Оно представляет собой произведение двух множителей: $10^{4x-1}$ и $\lg(x^2 - 4)$. Множитель $10^{4x-1}$ является показательной функцией с основанием 10, которая принимает только положительные значения при любом действительном $x$. То есть, $10^{4x-1} > 0$.

Поскольку произведение двух множителей отрицательно, и один из множителей ($10^{4x-1}$) всегда положителен, то второй множитель ($\lg(x^2 - 4)$) должен быть отрицательным. Таким образом, неравенство $10^{4x-1} \cdot \lg(x^2 - 4) < 0$ равносильно неравенству $\lg(x^2 - 4) < 0$ на их общей ОДЗ.

Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: да, являются равносильными.