Страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите, что уравнение не имеет корней:

55.7 a) $\sqrt{3x - 5} = \sqrt{9 - 7x}$;

б) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 4.

а) $ \sqrt{3x - 5} = \sqrt{9 - 7x} $

Для того чтобы уравнение имело смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Запишем систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ 9 - 7x \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $ 3x - 5 \ge 0 \implies 3x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{3} $

2) $ 9 - 7x \ge 0 \implies 9 \ge 7x \implies x \le \frac{9}{7} $

Таким образом, мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют двум условиям: $ x \ge \frac{5}{3} $ и $ x \le \frac{9}{7} $. Сравним дроби $ \frac{5}{3} $ и $ \frac{9}{7} $. Приведем их к общему знаменателю 21:

$ \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{35}{21} $

$ \frac{9}{7} = \frac{9 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{27}{21} $

Поскольку $ \frac{35}{21} > \frac{27}{21} $, то $ \frac{5}{3} > \frac{9}{7} $. Не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно большему числу ($ \frac{5}{3} $) и меньше или равно меньшему числу ($ \frac{9}{7} $). Следовательно, система неравенств не имеет решений, а область допустимых значений уравнения является пустым множеством.

Так как не существует значений $x$, при которых уравнение определено, оно не имеет корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

б) $ \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{1 - x^2} = 4 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $ x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 $. Это неравенство выполняется при $ |x| \ge 2 $, то есть $ x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty) $.

2) $ 1 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 1 $. Это неравенство выполняется при $ |x| \le 1 $, то есть $ x \in [-1, 1] $.

Область допустимых значений $x$ — это пересечение множеств решений этих двух неравенств: $ ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap [-1, 1] $.

Данное пересечение является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно принадлежали бы промежутку $ [-1, 1] $ и одному из промежутков $ (-\infty, -2] $ или $ [2, \infty) $.

Поскольку область допустимых значений пуста, то есть не существует таких $x$, при которых левая часть уравнения имела бы смысл, уравнение не имеет корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

Решите уравнение:

55.9 a) $ \sqrt{7x - 6} = x; $

б) $ x + 3 = \sqrt{2x + 9}; $

в) $ \sqrt{6x - 11} = x - 1; $

г) $ -x - 5 = \sqrt{7x + 23}. $

а) Исходное уравнение: $\sqrt{7x - 6} = x$.
Для того, чтобы уравнение имело смысл, необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $7x - 6 \ge 0$, откуда $7x \ge 6$, то есть $x \ge \frac{6}{7}$.
2. Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{6}{7}$.
Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{7x - 6})^2 = x^2$
$7x - 6 = x^2$
Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge \frac{6}{7}$):
- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge \frac{6}{7}$.
- Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge \frac{6}{7}$.
Оба корня подходят.
Ответ: 1; 6.

б) Исходное уравнение: $x + 3 = \sqrt{2x + 9}$.
ОДЗ:
1. $2x + 9 \ge 0 \implies 2x \ge -9 \implies x \ge -4.5$.
2. $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Общая ОДЗ для уравнения: $x \ge -3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x + 3)^2 = (\sqrt{2x + 9})^2$
$x^2 + 6x + 9 = 2x + 9$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 6x - 2x + 9 - 9 = 0$
$x^2 + 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 4) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$):
- Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge -3$.
- Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 \ge -3$, следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 0.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{6x - 11} = x - 1$.
ОДЗ:
1. $6x - 11 \ge 0 \implies 6x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{6}$.
2. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Поскольку $\frac{11}{6} > 1$, то общая ОДЗ: $x \ge \frac{11}{6}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{6x - 11})^2 = (x - 1)^2$
$6x - 11 = x^2 - 2x + 1$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 2x - 6x + 1 + 11 = 0$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{11}{6}$):
- Корень $x_1 = 2$. Так как $2 = \frac{12}{6}$, то $2 \ge \frac{11}{6}$. Условие выполняется.
- Корень $x_2 = 6$. Условие $6 \ge \frac{11}{6}$ также выполняется.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: 2; 6.

г) Исходное уравнение: $-x - 5 = \sqrt{7x + 23}$.
ОДЗ:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $7x + 23 \ge 0 \implies 7x \ge -23 \implies x \ge -\frac{23}{7}$.
2. Левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому корню: $-x - 5 \ge 0 \implies -x \ge 5 \implies x \le -5$.
Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge -\frac{23}{7}$ (т.е. $x \ge -3\frac{2}{7}$) и $x \le -5$.
Эти два неравенства не имеют общих решений, так как не существует числа, которое одновременно больше $-3\frac{2}{7}$ и меньше или равно $-5$. Следовательно, ОДЗ является пустым множеством, и уравнение не имеет решений.
Для проверки можно попытаться решить уравнение, возведя обе части в квадрат:
$(-x - 5)^2 = (\sqrt{7x + 23})^2$
$(x + 5)^2 = 7x + 23$
$x^2 + 10x + 25 = 7x + 23$
$x^2 + 3x + 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Как и ожидалось, ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \le -5$, поэтому оба являются посторонними.
Ответ: корней нет.

55.11 a) $(x^2 - 9)(\sqrt{3 - 2x} - x) = 0;$

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{4 - 3x} - x) = 0.$

а) $(x^2 - 9)(\sqrt{3 - 2x} - x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Следовательно, мы должны решить совокупность уравнений при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3 - 2x \ge 0$.
$3 \ge 2x$
$x \le \frac{3}{2}$
$x \le 1.5$.
Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

2. Приравняем к нулю первый множитель:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 1.5$):
Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $3 > 1.5$. Этот корень является посторонним.
Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 \le 1.5$. Этот корень является решением уравнения.

4. Приравняем к нулю второй множитель:
$\sqrt{3 - 2x} - x = 0$
$\sqrt{3 - 2x} = x$
Для решения этого иррационального уравнения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна, то есть $x \ge 0$.
С учетом ОДЗ ($x \le 1.5$), получаем, что корень должен лежать в промежутке $0 \le x \le 1.5$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3 - 2x})^2 = x^2$
$3 - 2x = x^2$
$x^2 + 2x - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$.
$x_3 = 1$, $x_4 = -3$.

5. Проверим эти корни на соответствие условию $0 \le x \le 1.5$:
Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 1.5$. Этот корень является решением.
Корень $x_4 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$. Этот корень является посторонним для данного уравнения ($\sqrt{3 - 2x} = x$).

6. Объединим все найденные решения.
Из первого случая мы получили корень $x = -3$.
Из второго случая мы получили корень $x = 1$.
Итоговые корни уравнения: $-3$ и $1$.

Ответ: $-3; 1$.

б) $(x^2 - 16)(\sqrt{4 - 3x} - x) = 0$

Это уравнение также представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Решаем по аналогии с предыдущим пунктом.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - 3x \ge 0$.
$4 \ge 3x$
$x \le \frac{4}{3}$.
Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

2. Приравняем к нулю первый множитель:
$x^2 - 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le \frac{4}{3}$):
Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $4 > \frac{4}{3}$. Этот корень является посторонним.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 \le \frac{4}{3}$. Этот корень является решением уравнения.

4. Приравняем к нулю второй множитель:
$\sqrt{4 - 3x} - x = 0$
$\sqrt{4 - 3x} = x$
Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
С учетом ОДЗ ($x \le \frac{4}{3}$), получаем, что корень должен принадлежать отрезку $[0; \frac{4}{3}]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{4 - 3x})^2 = x^2$
$4 - 3x = x^2$
$x^2 + 3x - 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-3$, а произведение равно $-4$.
$x_3 = 1$, $x_4 = -4$.

5. Проверим эти корни на соответствие условию $0 \le x \le \frac{4}{3}$:
Корень $x_3 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le \frac{4}{3}$. Этот корень является решением.
Корень $x_4 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 0$. Этот корень является посторонним для данного уравнения ($\sqrt{4 - 3x} = x$).

6. Объединим все найденные решения.
Из первого случая мы получили корень $x = -4$.
Из второго случая мы получили корень $x = 1$.
Итоговые корни уравнения: $-4$ и $1$.

Ответ: $-4; 1$.

55.6 а) $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$ и $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3;$

б) $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$ и $\sin x + 1 = 0,5\sin x + 1?$

а) Чтобы определить, равносильны ли уравнения $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$ и $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$, проанализируем их.

Первое уравнение — дробно-рациональное: $\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1} = 3$.

Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x^2 + 1 \neq 0$.

Для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, из чего следует, что $x^2 + 1 \ge 1$. Таким образом, знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен и никогда не обращается в ноль. ОДЗ первого уравнения — множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Второе уравнение — квадратное: $x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$. Его ОДЗ также является множеством всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Теперь преобразуем первое уравнение. Поскольку знаменатель $x^2 + 1$ не равен нулю ни при каких значениях $x$, мы можем умножить обе части уравнения на это выражение. Такое преобразование является равносильным, так как мы умножаем на выражение, не равное нулю.

$(\frac{x^2 + 3x - 1}{x^2 + 1}) \cdot (x^2 + 1) = 3 \cdot (x^2 + 1)$

$x^2 + 3x - 1 = 3(x^2 + 1)$

$x^2 + 3x - 1 = 3x^2 + 3$

В результате равносильного преобразования первого уравнения мы получили в точности второе уравнение. Так как их ОДЗ совпадают, и одно уравнение получается из другого равносильным преобразованием, эти уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.

б) Чтобы определить, равносильны ли уравнения $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$ и $\sin x + 1 = 0,5\sin x + 1$, проанализируем их.

Первое уравнение — тригонометрическое, содержащее дробь: $\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2} = 0,5$.

Его ОДЗ определяется условием неравенства нулю знаменателя: $\sin x + 2 \neq 0$.

Известно, что функция синуса ограничена: $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Тогда для знаменателя $\sin x + 2$ получаем: $-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$, то есть $1 \le \sin x + 2 \le 3$. Знаменатель всегда является положительным числом и никогда не равен нулю. Следовательно, ОДЗ первого уравнения — множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).

Второе уравнение — также тригонометрическое: $\sin x + 1 = 0,5\sin x + 1$. Его ОДЗ — также множество всех действительных чисел.

Преобразуем первое уравнение, умножив обе его части на знаменатель $\sin x + 2$. Так как это выражение никогда не равно нулю, данное преобразование является равносильным.

$(\frac{\sin x + 1}{\sin x + 2}) \cdot (\sin x + 2) = 0,5 \cdot (\sin x + 2)$

$\sin x + 1 = 0,5(\sin x + 2)$

Раскроем скобки в правой части:

$\sin x + 1 = 0,5\sin x + 0,5 \cdot 2$

$\sin x + 1 = 0,5\sin x + 1$

Полученное уравнение в точности совпадает со вторым уравнением. Поскольку второе уравнение было получено из первого путем равносильного преобразования, и их ОДЗ совпадают, эти уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.

55.8 a) $\lg(x^2 - 9) + \lg(4 - x^2) = 1;$

б) $\lg(x^2 - 3x) - \lg(2x - x^2) = 0,5.$

а) $\lg(x^2 - 9) + \lg(4 - x^2) = 1$

Для решения логарифмического уравнения сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9 > 0 \\ 4 - x^2 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x^2 > 9 \\ x^2 < 4 \end{cases}$

Из первого неравенства $x^2 > 9$ следует, что $|x| > 3$, то есть $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Из второго неравенства $x^2 < 4$ следует, что $|x| < 2$, то есть $x \in (-2, 2)$.

Теперь найдем пересечение этих двух множеств, чтобы определить ОДЗ: $(-\infty, -3) \cup (3, \infty) \cap (-2, 2)$.

Эти множества не имеют общих точек, их пересечение пусто. Следовательно, система неравенств не имеет решений, и область допустимых значений уравнения пуста.

Поскольку не существует значений $x$, при которых уравнение имело бы смысл, у него нет решений.

Ответ: решений нет.

б) $\lg(x^2 - 3x) - \lg(2x - x^2) = 0,5$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ 2x - x^2 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности:

1) $x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x(x - 3) > 0$. Корни $x=0$ и $x=3$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

2) $2x - x^2 > 0 \Rightarrow x(2 - x) > 0$. Корни $x=0$ и $x=2$. Ветви параболы направлены вниз, поэтому неравенство выполняется при $x \in (0, 2)$.

Найдем пересечение полученных множеств для определения ОДЗ: $((-\infty, 0) \cup (3, \infty)) \cap (0, 2)$.

Множества $(-\infty, 0) \cup (3, \infty)$ и $(0, 2)$ не имеют общих точек, их пересечение пусто.

Так как область допустимых значений пуста, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

55.10 a) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1;$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2;$

В) $\sqrt{x^4 + x - 9} = 1 - x^2;$

Г) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1.$

а) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения $f(x) = (g(x))^2$ и неравенства $g(x) \ge 0$.

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $x^2 - 1 \ge 0$.

$(x-1)(x+1) \ge 0$, что выполняется для $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Это область допустимых значений для корней уравнения.

2. Решим уравнение:

$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x = 2$ принадлежит промежутку $[1; +\infty)$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Корень $x = -0.5$ не принадлежит области допустимых значений. Это посторонний корень.

Ответ: $2$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $1 - x^2 \ge 0$.

$x^2 \le 1$, что выполняется для $x \in [-1; 1]$.

2. Решим уравнение:

$x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2$

Так как $(1 - x^2)^2 = (-(x^2-1))^2 = (x^2-1)^2$, уравнение совпадает с уравнением из пункта а):

$x^4 - 3x - 1 = 1 - 2x^2 + x^4$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -0.5$.

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \in [-1; 1]$.

Корень $x = 2$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Это посторонний корень.

Корень $x = -0.5$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, следовательно, является решением исходного уравнения.

Ответ: $-0.5$

в) $\sqrt{x^4 + x - 9} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 + x - 9 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

1. Область допустимых значений определяется неравенством $1 - x^2 \ge 0$, откуда $x \in [-1; 1]$.

2. Решим уравнение:

$x^4 + x - 9 = 1 - 2x^2 + x^4$

$x - 9 = 1 - 2x^2$

$2x^2 + x - 10 = 0$

Найдем корни с помощью дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 9}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 9}{4} = -\frac{10}{4} = -2.5$

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \in [-1; 1]$.

Корень $x = 2$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Корень $x = -2.5$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Оба корня являются посторонними, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет

г) $\sqrt{x^4 + x - 9} = x^2 - 1$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 + x - 9 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

1. Область допустимых значений определяется неравенством $x^2 - 1 \ge 0$, откуда $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

2. Решим уравнение:

$x^4 + x - 9 = x^4 - 2x^2 + 1$

Уравнение совпадает с уравнением из пункта в):

$2x^2 + x - 10 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2.5$.

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Корень $x = 2$ принадлежит промежутку $[1; +\infty)$, следовательно, является решением.

Корень $x = -2.5$ принадлежит промежутку $(-\infty; -1]$, следовательно, также является решением.

Ответ: $-2.5; 2$

55.12 a) $ \sin 2x \cdot \sqrt{4 - x^2} = 0; $

б) $ (\cos 2x - 1) \cdot \sqrt{9 - x^2} = 0; $

В) $ (\cos^2 x - \sin^2 x) \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0; $

Г) $ \operatorname{tg} x \cdot \sqrt{16 - x^2} = 0. $

а)

Данное уравнение имеет вид $f(x) \cdot g(x) = 0$. Оно равносильно совокупности двух уравнений $f(x)=0$ или $g(x)=0$ при условии, что оба выражения $f(x)$ и $g(x)$ определены.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 4$ $-2 \le x \le 2$ ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а второй при этом существует. $\sin 2x = 0$ или $\sqrt{4 - x^2} = 0$.

3. Решаем первое уравнение: $\sin 2x = 0$ $2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем корни, принадлежащие ОДЗ, то есть отрезку $[-2, 2]$. $-2 \le \frac{\pi k}{2} \le 2$ $-4 \le \pi k \le 4$ $-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$ Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем: $-1.27 \le k \le 1.27$ Целые значения $k$, удовлетворяющие этому неравенству: $-1, 0, 1$. Находим соответствующие значения $x$: при $k = -1, x = -\frac{\pi}{2}$ при $k = 0, x = 0$ при $k = 1, x = \frac{\pi}{2}$

5. Решаем второе уравнение: $\sqrt{4 - x^2} = 0$ $4 - x^2 = 0$ $x^2 = 4$ $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

6. Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-2; -\frac{\pi}{2}; 0; \frac{\pi}{2}; 2$.

б)

1. Найдем ОДЗ: $9 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 9$ $-3 \le x \le 3$ ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

2. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $\cos 2x - 1 = 0$ или $\sqrt{9 - x^2} = 0$.

3. Решаем первое уравнение: $\cos 2x - 1 = 0$ $\cos 2x = 1$ $2x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем корни, принадлежащие ОДЗ $[-3, 3]$. $-3 \le \pi k \le 3$ $-\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{3}{\pi}$ Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем: $-0.95 \le k \le 0.95$ Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее неравенству, это $k=0$. При $k = 0, x = 0$.

5. Решаем второе уравнение: $\sqrt{9 - x^2} = 0$ $9 - x^2 = 0$ $x^2 = 9$ $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

6. Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-3; 0; 3$.

в)

1. Упростим уравнение, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$: $\cos 2x \cdot \sqrt{1 - x^2} = 0$.

2. Найдем ОДЗ: $1 - x^2 \ge 0$ $x^2 \le 1$ $-1 \le x \le 1$ ОДЗ: $x \in [-1, 1]$.

3. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $\cos 2x = 0$ или $\sqrt{1 - x^2} = 0$.

4. Решаем первое уравнение: $\cos 2x = 0$ $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

5. Выберем корни, принадлежащие ОДЗ $[-1, 1]$. $-1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \le 1$ $-1 \le \frac{\pi(1+2k)}{4} \le 1$ $-\frac{4}{\pi} \le 1+2k \le \frac{4}{\pi}$ $-1.27 \le 1+2k \le 1.27$ $-2.27 \le 2k \le 0.27$ $-1.135 \le k \le 0.135$ Целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству: $-1, 0$. При $k = -1, x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$. При $k = 0, x = \frac{\pi}{4}$.

6. Решаем второе уравнение: $\sqrt{1 - x^2} = 0$ $1 - x^2 = 0$ $x^2 = 1$ $x_1 = 1$, $x_2 = -1$. Оба корня принадлежат ОДЗ.

7. Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-1; -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}; 1$.

г)

1. Найдем ОДЗ. Оно определяется двумя условиями: а) Подрадикальное выражение неотрицательно: $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4$. б) Тангенс должен быть определен, то есть $\cos x \ne 0$. Это значит, что $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. В интервале $[-4, 4]$ лежат точки $x = \frac{\pi}{2}$ (при $n=0$) и $x = -\frac{\pi}{2}$ (при $n=-1$), которые нужно исключить. ОДЗ: $x \in [-4, 4], x \ne \pm \frac{\pi}{2}$.

2. Решим уравнение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. $\tan x = 0$ или $\sqrt{16 - x^2} = 0$.

3. Решаем первое уравнение: $\tan x = 0$ $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

4. Выберем корни, принадлежащие ОДЗ. $-4 \le \pi k \le 4$ $-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$ $-1.27 \le k \le 1.27$ Целые значения $k$, удовлетворяющие неравенству: $-1, 0, 1$. Находим соответствующие значения $x$: при $k = -1, x = -\pi$ при $k = 0, x = 0$ при $k = 1, x = \pi$ Все эти корни входят в ОДЗ, так как они не равны $\pm \frac{\pi}{2}$.

5. Решаем второе уравнение: $\sqrt{16 - x^2} = 0$ $16 - x^2 = 0$ $x^2 = 16$ $x_1 = 4$, $x_2 = -4$. Эти корни входят в ОДЗ, так как $\cos(4) \ne 0$ и $\cos(-4) \ne 0$.

6. Объединяем все найденные решения.

Ответ: $-4; -\pi; 0; \pi; 4$.

56.1 Будет ли уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$:

а) $3^{2-x} = 3^{x^2-4x};$

б) $(3x^2-2)^4 = (x-3)^4;$

в) $\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1};$

г) $\lg \frac{1}{x} = \lg (2x-7)?$

Уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$ тогда и только тогда, когда преобразование от первого ко второму является равносильным, то есть не приводит к потере или приобретению корней. Это выполняется при двух условиях:

1. Функция $h(t)$ является монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на своей области определения или, по крайней мере, на множестве значений функций $f(x)$ и $g(x)$. Монотонность функции $h(t)$ гарантирует ее инъективность, то есть из равенства $h(a) = h(b)$ следует равенство $a = b$.
2. Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ для уравнения $h(f(x)) = h(g(x))$ совпадает с ОДЗ для уравнения $f(x) = g(x)$. Если ОДЗ первого уравнения является более узким, то переход ко второму может привести к появлению посторонних корней.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) В уравнении $3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$ мы имеем дело с функциями $h(t) = 3^t$, $f(x) = 2 - x$ и $g(x) = x^2 - 4x$. Функция $h(t) = 3^t$ является показательной с основанием $3 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей числовой прямой. Это означает, что она инъективна, и из равенства $h(a) = h(b)$ однозначно следует $a = b$. Области определения исходного уравнения $3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$ и уравнения $2-x = x^2-4x$ совпадают (все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$), так как выражения в показателях степени определены для любого $x$. Следовательно, переход от первого уравнения ко второму является равносильным преобразованием.

Ответ: Да, будет.

б) В уравнении $(3x^2 - 2)^4 = (x - 3)^4$ мы имеем дело с функциями $h(t) = t^4$, $f(x) = 3x^2 - 2$ и $g(x) = x - 3$. Функция $h(t) = t^4$ не является монотонной на всей числовой прямой и, следовательно, не является инъективной. Например, $h(-2) = 16$ и $h(2) = 16$, но $-2 \neq 2$. Из равенства $a^4 = b^4$ следует, что либо $a=b$, либо $a=-b$. Таким образом, уравнение $(3x^2 - 2)^4 = (x - 3)^4$ равносильно совокупности двух уравнений: $3x^2 - 2 = x - 3$ и $3x^2 - 2 = -(x - 3)$. Уравнение $f(x) = g(x)$ является лишь одним из двух случаев. Переход к нему от исходного уравнения приведет к потере корней, которые являются решениями второго уравнения совокупности. Значит, уравнения не равносильны.

Ответ: Нет, не будет.

в) В уравнении $\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1}$ мы имеем дело с функциями $h(t) = \sqrt[3]{t}$, $f(x) = 7 - x$ и $g(x) = 5x + 1$. Функция $h(t) = \sqrt[3]{t}$ (кубический корень) является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, она инъективна. Область определения кубического корня — все действительные числа, поэтому области определения исходного и упрощенного уравнений ($7-x=5x+1$) совпадают ($x \in \mathbb{R}$). Таким образом, переход от уравнения $\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1}$ к уравнению $7-x = 5x+1$ является равносильным преобразованием.

Ответ: Да, будет.

г) В уравнении $\lg \frac{1}{x} = \lg(2x - 7)$ мы имеем дело с функциями $h(t) = \lg t$, $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = 2x - 7$. Функция $h(t) = \lg t$ (десятичный логарифм) является строго возрастающей на своей области определения $(0; +\infty)$, поэтому она инъективна. Однако необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ). Для исходного уравнения аргументы логарифмов должны быть строго положительными:$\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{x} > 0 \\ 2x - 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 3.5 \end{cases} \Rightarrow x > 3.5$.ОДЗ исходного уравнения: $x \in (3.5; +\infty)$.Для уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $\frac{1}{x} = 2x - 7$, ограничение только одно: $x \neq 0$. Его ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.Так как ОДЗ исходного уравнения является собственным подмножеством ОДЗ уравнения-следствия, переход не является равносильным. Уравнение $\frac{1}{x} = 2x - 7$ может иметь корни, которые не входят в ОДЗ исходного уравнения (например, отрицательные корни), и такие корни будут посторонними. Следовательно, уравнения не равносильны.

Ответ: Нет, не будет.