Страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

57.3 Данное неравенство замените равносильным рациональным неравенством:

a) $\lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4)$;

б) $1,4^{7x-9} \le 1,4^{x^2-6}$;

в) $\sqrt[5]{4x - 9} \ge \sqrt[5]{7x + 9}$;

г) $\log_{0,2}(16x^2 + 8) < \log_{0,2}(x^2 + 1)$.

а)

Дано логарифмическое неравенство $\lg(x^2 + 9) > \lg(2x^2 + 4)$.

Основание десятичного логарифма $a = 10$, что больше 1 ($a > 1$). Логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей. Следовательно, при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 9 > 2x^2 + 4 \\ 2x^2 + 4 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим второе неравенство системы: $2x^2 + 4 > 0$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), поэтому $2x^2 \ge 0$. Тогда $2x^2 + 4 \ge 4$. Это означает, что неравенство $2x^2 + 4 > 0$ выполняется при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, система равносильна первому неравенству.

Ответ: $x^2 + 9 > 2x^2 + 4$.

б)

Дано показательное неравенство $1,4^{7x - 9} \le 1,4^{x^2 - 6}$.

Основание степени $a = 1,4$, что больше 1 ($a > 1$). Показательная функция с основанием больше 1 является возрастающей. Поэтому при переходе от неравенства степеней к неравенству их показателей знак неравенства сохраняется. Область определения показателей ($7x-9$ и $x^2-6$) — все действительные числа.

Следовательно, данное неравенство равносильно рациональному неравенству:

$7x - 9 \le x^2 - 6$

Ответ: $7x - 9 \le x^2 - 6$.

в)

Дано иррациональное неравенство $\sqrt[5]{4x - 9} \ge \sqrt[5]{7x + 9}$.

Показатель корня $n = 5$ является нечетным числом. Функция $y = \sqrt[5]{t}$ является возрастающей на всей числовой прямой и определена для любых действительных значений аргумента $t$. Поэтому для решения неравенства можно просто сравнить подкоренные выражения, сохранив знак неравенства.

Исходное неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:

$4x - 9 \ge 7x + 9$

Ответ: $4x - 9 \ge 7x + 9$.

г)

Дано логарифмическое неравенство $\log_{0,2}(16x^2 + 8) < \log_{0,2}(x^2 + 1)$.

Основание логарифма $a = 0,2$, что находится в интервале $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Учтем ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 16x^2 + 8 > x^2 + 1 \\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим второе неравенство $x^2 + 1 > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Неравенство $x^2 + 1 > 0$ выполняется при любых действительных $x$. (Условие $16x^2 + 8 > 0$ также выполняется всегда).

Таким образом, система равносильна первому неравенству.

Ответ: $16x^2 + 8 > x^2 + 1$.

57.5 a) ${ \begin{cases} (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \geq 12, \\ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9; \end{cases} }$

б) ${ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x, \\ 3x - 16 \leq x. \end{cases} }$

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12, \\ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x + 1) - (x - 1))((x + 1) + (x - 1)) \ge 12$

$(x + 1 - x + 1)(x + 1 + x - 1) \ge 12$

$(2)(2x) \ge 12$

$4x \ge 12$

Разделим обе части на 4:

$x \ge 3$

Решение первого неравенства: $x \in [3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9$.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x^2 - 16) - (x^2 + 4x + 4) < 9$

Раскроем скобки:

$x^2 - 16 - x^2 - 4x - 4 < 9$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x - 20 < 9$

$-4x < 29$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > -\frac{29}{4}$

$x > -7.25$

Решение второго неравенства: $x \in (-7.25; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение промежутков $x \in [3; +\infty)$ и $x \in (-7.25; +\infty)$.

Следовательно, решение системы: $x \ge 3$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x, \\ 3x - 16 \le x. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x$.

Выражение $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(x^3 - 2^3) - x^3 < 8x$

$x^3 - 8 - x^3 < 8x$

$-8 < 8x$

$-1 < x$

Решение первого неравенства: $x \in (-1; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $3x - 16 \le x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$3x - x \le 16$

$2x \le 16$

$x \le 8$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 8]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение промежутков $x \in (-1; +\infty)$ и $x \in (-\infty; 8]$.

Следовательно, решение системы: $-1 < x \le 8$.

Ответ: $x \in (-1; 8]$.

57.7 a)

$\left\{ \begin{aligned}\frac{x}{x + 2} - \frac{24}{(x + 2)^2} < 0, \\-3x < 9;\end{aligned} \right.$

б) $\left\{ \begin{aligned}\frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x - 4)^2} > 0, \\x^2 < 25.\end{aligned} \right.$

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{x+2} - \frac{24}{(x+2)^2} < 0, \\ -3x < 9. \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство:

$\frac{x}{x+2} - \frac{24}{(x+2)^2} < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+2)^2$:

$\frac{x(x+2) - 24}{(x+2)^2} < 0$

$\frac{x^2 + 2x - 24}{(x+2)^2} < 0$

Знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен при $x \neq -2$. Поэтому знак всей дроби определяется знаком числителя. Таким образом, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x - 24 < 0, \\ x \neq -2. \end{cases} $

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 24 = 0$. Используя теорему Виета (или формулу для корней), находим корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 24$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $x \in (-6, 4)$.

Учитывая ограничение $x \neq -2$, получаем решение первого неравенства: $x \in (-6, -2) \cup (-2, 4)$.

2. Теперь решим второе неравенство:

$-3x < 9$

Разделим обе части на -3, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:

$x > -3$

Решение второго неравенства: $x \in (-3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы получить решение системы.

Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-6, -2) \cup (-2, 4)$ и $x \in (-3, +\infty)$.

Графически это выглядит как пересечение интервалов на числовой оси. В результате получаем: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x-4)^2} > 0, \\ x^2 < 25. \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство:

$\frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x-4)^2} > 0$

Знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен при $x \neq 4$. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 1,5x - 7 > 0, \\ x \neq 4. \end{cases} $

Найдем корни уравнения $x^2 - 1,5x - 7 = 0$. Для удобства умножим уравнение на 2: $2x^2 - 3x - 14 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 11}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 11}{4} = \frac{14}{4} = 3,5$.

Графиком функции $y = x^2 - 1,5x - 7$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями, то есть при $x \in (-\infty, -2) \cup (3,5, +\infty)$.

Учитывая ограничение $x \neq 4$, которое находится в интервале $(3,5, +\infty)$, мы должны исключить эту точку. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (3,5, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Теперь решим второе неравенство:

$x^2 < 25$

Это неравенство равносильно $|x| < 5$, что означает $-5 < x < 5$.

Решение второго неравенства: $x \in (-5, 5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-\infty, -2) \cup (3,5, 4) \cup (4, +\infty)$ и $x \in (-5, 5)$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $(-\infty, -2)$ дает интервал $(-5, -2)$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $(3,5, 4)$ дает интервал $(3,5, 4)$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $(4, +\infty)$ дает интервал $(4, 5)$.

Объединяя полученные интервалы, получаем окончательное решение системы.

Ответ: $x \in (-5, -2) \cup (3,5, 4) \cup (4, 5)$.

57.9 а) $ \begin{cases} (x+3)^3 \ge 27, \\ 4x-1 < 12x; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x+3)(x^2-3x+9) < 54, \\ x^2-9 > 0. \end{cases} $

а) Сначала решим первое неравенство $(x + 3)^3 \ge 27$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x + 3 \ge 3$, откуда следует, что $x \ge 0$. Решение этого неравенства — промежуток $[0, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство $4x - 1 < 12x$. Перенесем члены с $x$ в одну сторону: $-1 < 12x - 4x$, что дает $-1 < 8x$. Разделив на 8, получаем $x > -\frac{1}{8}$. Решение этого неравенства — промежуток $(-\frac{1}{8}, +\infty)$.

Решение системы — это пересечение полученных промежутков: $[0, +\infty) \cap (-\frac{1}{8}, +\infty)$. Пересечением является промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б) Сначала решим первое неравенство $(x + 3)(x^2 - 3x + 9) < 54$. Левая часть представляет собой формулу суммы кубов, $x^3 + 3^3$. Неравенство преобразуется в $x^3 + 27 < 54$, или $x^3 < 27$. Извлекая кубический корень, получаем $x < 3$. Решение — промежуток $(-\infty, 3)$.

Теперь решим второе неравенство $x^2 - 9 > 0$. Разложив на множители, получаем $(x-3)(x+3) > 0$. Корнями соответствующего уравнения являются $x = -3$ и $x = 3$. Так как парабола $y=x^2-9$ имеет ветви вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями, то есть при $x < -3$ или $x > 3$. Решение — объединение промежутков $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств: $(-\infty, 3) \cap ((-\infty, -3) \cup (3, +\infty))$. Пересечением является промежуток $(-\infty, -3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3)$.

Решите систему неравенств:

57.4 a) $ \begin{cases} 3x - 11 > 2x + 13, \\ 17x + 9 < 9x + 99; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 6x + 2 \le 4x + 24, \\ 2x - 1 \ge x + 7. \end{cases} $

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3x - 11 > 2x + 13$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$3x - 2x > 13 + 11$

Приведем подобные слагаемые:

$x > 24$

Решением первого неравенства является промежуток $(24; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$17x + 9 < 9x + 99$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$17x - 9x < 99 - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$8x < 90$

Разделим обе части неравенства на 8:

$x < \frac{90}{8}$

$x < \frac{45}{4}$

$x < 11.25$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; 11.25)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x > 24$ и $x < 11.25$.

$\begin{cases} x > 24 \\ x < 11.25 \end{cases}$

Таких значений $x$ не существует, так как нет числа, которое было бы одновременно больше 24 и меньше 11.25. Следовательно, система неравенств не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$6x + 2 \le 4x + 24$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - 4x \le 24 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x \le 22$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \le 11$

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty; 11]$.

2. Решим второе неравенство:

$2x - 1 \ge x + 7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - x \ge 7 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$x \ge 8$

Решением второго неравенства является промежуток $[8; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \le 11$ и $x \ge 8$.

$\begin{cases} x \le 11 \\ x \ge 8 \end{cases}$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $8 \le x \le 11$.

Решением системы является числовой промежуток, в котором значения $x$ больше или равны 8 и одновременно меньше или равны 11.

Ответ: $[8; 11]$.

57.6 a) $\begin{cases} x^3 < x, \\ 3x^2 - x > 5 - 15x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{x+5}{x-7} < 1, \\ \frac{3x+4}{4x-2} > -1. \end{cases}$

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство:

$x^3 < x$

$x^3 - x < 0$

$x(x^2 - 1) < 0$

$x(x - 1)(x + 1) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни многочлена $x(x - 1)(x + 1)$ равны $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения на каждом интервале.

Выражение $x(x - 1)(x + 1)$ отрицательно, когда $x \in (-\infty, -1)$ и когда $x \in (0, 1)$.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

2. Решим второе неравенство:

$3x^2 - x > 5 - 15x$

$3x^2 - x + 15x - 5 > 0$

$3x^2 + 14x - 5 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 + 14x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm 16}{2 \cdot 3}$

$x_1 = \frac{-14 - 16}{6} = \frac{-30}{6} = -5$

$x_2 = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$), ветви параболы $y = 3x^2 + 14x - 5$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 + 14x - 5 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне корней.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

Пересекая эти два множества, получаем:

$((-\infty, -1) \cup (0, 1)) \cap ((-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)) = (-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, 1)$.

Ответ: $(-\infty, -5) \cup (\frac{1}{3}, 1)$.

Решим систему неравенств:

1. Решим первое неравенство:

$\frac{x+5}{x-7} < 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x+5}{x-7} - 1 < 0$

$\frac{x+5 - (x-7)}{x-7} < 0$

$\frac{x+5-x+7}{x-7} < 0$

$\frac{12}{x-7} < 0$

Числитель $12$ является положительным числом. Дробь будет отрицательной, если ее знаменатель отрицателен:

$x-7 < 0$

$x < 7$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 7)$.

2. Решим второе неравенство:

$\frac{3x+4}{4x-2} > -1$

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{3x+4}{4x-2} + 1 > 0$

$\frac{3x+4 + (4x-2)}{4x-2} > 0$

$\frac{7x+2}{4x-2} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $7x+2 = 0 \implies x = -\frac{2}{7}$

Нуль знаменателя: $4x-2 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$

Отметим точки $x = -\frac{2}{7}$ и $x = \frac{1}{2}$ на числовой прямой и определим знаки дроби на интервалах. Выражение положительно, когда $x \in (-\infty, -\frac{2}{7})$ и когда $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, 7)$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

Пересекая эти два множества, получаем:

$((-\infty, 7)) \cap ((-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)) = (-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, 7)$.

Ответ: $(-\infty, -\frac{2}{7}) \cup (\frac{1}{2}, 7)$.

Решите совокупность неравенств:

57.8 а) $\begin{cases}x^2 - 4 > 0, \\x - 6 < 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x(x + 1) \le 0, \\3x - 9 > 0.\end{cases}$

Решим первое неравенство совокупности:

$x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$. Корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Решением первого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство совокупности:

$x - 6 < 0$

Перенесем -6 в правую часть неравенства:

$x < 6$

Решением второго неравенства является интервал: $x \in (-\infty, 6)$.

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого из неравенств. Найдем объединение множеств $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ и $(-\infty, 6)$.

Объединение множеств $S_1 = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ и $S_2 = (-\infty, 6)$ включает в себя все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Можно заметить, что любой действительное число $x$ удовлетворяет хотя бы одному из неравенств:

• Если $x < 6$, то выполняется второе неравенство. Это покрывает весь интервал $(-\infty, 6)$.
• Если $x \ge 6$, то $x$ также принадлежит интервалу $(2, +\infty)$, поэтому выполняется первое неравенство.

Таким образом, объединение этих множеств покрывает всю числовую прямую.

Другой способ проверки — найти значения $x$, для которых не выполняется ни одно из неравенств. Это будет пересечение решений обратных неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 \le 0 \\ x - 6 \ge 0 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x^2 - 4 \le 0$ является отрезок $[-2, 2]$.

Решением второго неравенства $x - 6 \ge 0$ является луч $[6, +\infty)$.

Пересечение этих двух множеств $[-2, 2] \cap [6, +\infty)$ является пустым множеством ($\emptyset$). Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых оба исходных неравенства были бы ложными. Следовательно, хотя бы одно из них всегда истинно.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

Решим первое неравенство совокупности:

$x(x + 1) \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x + 1) = 0$. Корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Решением первого неравенства является отрезок: $x \in [-1, 0]$.

Теперь решим второе неравенство совокупности:

$3x - 9 > 0$

Перенесем -9 в правую часть и разделим обе части на 3:

$3x > 9$

$x > 3$

Решением второго неравенства является интервал: $x \in (3, +\infty)$.

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого из неравенств. Найдем объединение множеств $[-1, 0]$ и $(3, +\infty)$.

Поскольку эти два множества не пересекаются, их объединение — это просто оба этих множества.

Ответ: $x \in [-1, 0] \cup (3, +\infty)$.

Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности:

57.10 а) $\log_{14}(x - 1) \le \log_{14}(2x + 3)$;

б) $\log_{0,3}(2x + 1) < \log_{0,3}(x - 3)$.

а) Решим неравенство $\log_{14}(x - 1) \le \log_{14}(2x + 3)$.

Данное логарифмическое неравенство имеет вид $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$. Основание логарифма $a = 14$, и так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{14}(t)$ является возрастающей. Согласно теореме о равносильности, такое неравенство эквивалентно системе, в которой знак неравенства для аргументов сохраняется, а также учитывается область определения логарифмов (аргументы должны быть положительными). Достаточно потребовать, чтобы меньший из аргументов был больше нуля, так как это автоматически обеспечит положительность и второго аргумента.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

Решим каждое неравенство в системе:

1) $x - 1 \le 2x + 3 \implies -1 - 3 \le 2x - x \implies -4 \le x$, то есть $x \ge -4$.

2) $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \ge -4$ и $x > 1$. Общим решением является промежуток $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$

б) Решим неравенство $\log_{0,3}(2x + 1) < \log_{0,3}(x - 3)$.

Данное логарифмическое неравенство имеет вид $\log_a f(x) < \log_a g(x)$. Основание логарифма $a = 0,3$, и так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,3}(t)$ является убывающей. Согласно теореме о равносильности, такое неравенство эквивалентно системе, в которой знак неравенства для аргументов меняется на противоположный, а также учитывается область определения. Достаточно потребовать, чтобы новый меньший аргумент был больше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

Решим каждое неравенство в системе:

1) $2x + 1 > x - 3 \implies 2x - x > -3 - 1 \implies x > -4$.

2) $x - 3 > 0 \implies x > 3$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > -4$ и $x > 3$. Общим решением является промежуток $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$