Страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

56.23 a) $ (x - 1)^2 = \log_2 x; $

б) $ \log_{\frac{1}{2}} x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2. $

а) $(x - 1)^2 = \log_2 x$

Для решения этого уравнения рассмотрим две функции: $y_1(x) = (x-1)^2$ и $y_2(x) = \log_2 x$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Логарифмическая функция $\log_2 x$ определена только для $x > 0$, поэтому ОДЗ: $x \in (0, \infty)$.Проанализируем поведение функций. Функция $y_1(x) = (x-1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вверх. Функция $y_2(x) = \log_2 x$ — это логарифмическая функция, которая монотонно возрастает на всей своей области определения.Найдем решения методом подбора, проверяя значения $x$, которые являются степенью двойки или близки к вершине параболы.При $x=1$: левая часть $(1-1)^2 = 0$, правая часть $\log_2 1 = 0$. Так как $0=0$, $x=1$ является корнем.При $x=2$: левая часть $(2-1)^2 = 1$, правая часть $\log_2 2 = 1$. Так как $1=1$, $x=2$ также является корнем.Докажем отсутствие других корней.На интервале $(0, 1)$ левая часть $(x-1)^2$ положительна, а правая часть $\log_2 x$ отрицательна, поэтому равенство невозможно.Рассмотрим поведение функций на интервале $(1, \infty)$. Функция $y_1(x)=(x-1)^2$ является выпуклой вниз (ее вторая производная равна $2 > 0$). Функция $y_2(x)=\log_2 x$ является выпуклой вверх (ее вторая производная равна $-\frac{1}{x^2 \ln 2} < 0$). График выпуклой вниз функции и график выпуклой вверх функции могут пересекаться не более двух раз. Мы уже нашли две точки пересечения, соответствующие корням $x=1$ и $x=2$. Следовательно, других корней нет.

Ответ: $1; 2$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$

Рассмотрим функции $y_1(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$. Решения — это абсциссы точек их пересечения.ОДЗ уравнения определяется условием существования логарифма: $x>0$.Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x>0$).Функция $y_1(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ является монотонно убывающей, так как ее основание $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$.Функция $y_2(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$ на интервале $(0, \infty)$ является монотонно возрастающей (это правая ветвь параболы с вершиной в точке $x = -1/2$).Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересечься не более одного раза.Найдем этот корень подбором. Проверим $x = \frac{1}{2}$.Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = 1$.Правая часть: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$.Так как $1=1$, то $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.Поскольку мы установили, что корень может быть только один, и мы его нашли, то других решений у уравнения нет.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Решите уравнение:

56.25 a) $(x - 1)^4 + 36 = 13(x^2 - 2x + 1)$;

б) $(2x + 3)^4 - 9 = 8(4x^2 + 12x + 9)$.

а) $(x - 1)^4 + 36 = 13(x^2 - 2x + 1)$

Заметим, что выражение в скобках в правой части уравнения является полным квадратом разности:

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$(x - 1)^4 + 36 = 13(x - 1)^2$

Это биквадратное уравнение относительно $(x - 1)$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = (x - 1)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 36 = 13t$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 + t_2 = 13$ и $t_1 \cdot t_2 = 36$. Корнями являются числа 4 и 9.

$t_1 = 4$

$t_2 = 9$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

1) Если $t = 4$, то:

$(x - 1)^2 = 4$

$x - 1 = 2$ или $x - 1 = -2$

$x = 3$ или $x = -1$

2) Если $t = 9$, то:

$(x - 1)^2 = 9$

$x - 1 = 3$ или $x - 1 = -3$

$x = 4$ или $x = -2$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-2; -1; 3; 4$.

б) $(2x + 3)^4 - 9 = 8(4x^2 + 12x + 9)$

Заметим, что выражение в скобках в правой части уравнения является полным квадратом суммы:

$4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x + 3)^2$

Подставим это в исходное уравнение:

$(2x + 3)^4 - 9 = 8(2x + 3)^2$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (2x + 3)^2$. Учитывая, что $y$ является квадратом, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 - 9 = 8y$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - 8y - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2} = 9$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

$y_1 = 9$ - удовлетворяет условию.

$y_2 = -1$ - не удовлетворяет условию ($y_2 < 0$), поэтому этот корень является посторонним.

Вернемся к исходной переменной $x$, используя единственный подходящий корень $y=9$.

$(2x + 3)^2 = 9$

$2x + 3 = 3$ или $2x + 3 = -3$

1) $2x + 3 = 3$

$2x = 0$

$x = 0$

2) $2x + 3 = -3$

$2x = -6$

$x = -3$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-3; 0$.

56.27 а) $\sqrt{2x^2 - 11x + 6} = 2x - 9;$

б) $\sqrt{x^2 + 2x - 8} = 2x - 4.$

а) $\sqrt{2x^2 - 11x + 6} = 2x - 9$

Решение иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно решению системы, включающей условие неотрицательности правой части и уравнение, полученное возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения.

$\begin{cases} 2x - 9 \ge 0 \\ 2x^2 - 11x + 6 = (2x - 9)^2 \end{cases}$

1. Решим неравенство, чтобы найти область допустимых значений:

$2x - 9 \ge 0$

$2x \ge 9$

$x \ge 4.5$

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат и упростим:

$2x^2 - 11x + 6 = 4x^2 - 36x + 81$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$4x^2 - 2x^2 - 36x + 11x + 81 - 6 = 0$

$2x^2 - 25x + 75 = 0$

3. Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 75 = 625 - 600 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 7.5$

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4.5$:

Корень $x_1 = 5$: $5 \ge 4.5$. Условие выполняется, корень подходит.

Корень $x_2 = 7.5$: $7.5 \ge 4.5$. Условие выполняется, корень подходит.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 5; 7.5.

б) $\sqrt{x^2 + 2x - 8} = 2x - 4$

Данное уравнение равносильно следующей системе:

$\begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ x^2 + 2x - 8 = (2x - 4)^2 \end{cases}$

1. Решим неравенство:

$2x - 4 \ge 0$

$2x \ge 4$

$x \ge 2$

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^2 + 2x - 8 = (2x - 4)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 + 2x - 8 = 4x^2 - 16x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону:

$4x^2 - x^2 - 16x - 2x + 16 + 8 = 0$

$3x^2 - 18x + 24 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

3. Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$:

Корень $x_1 = 2$: $2 \ge 2$. Условие выполняется, корень подходит.

Корень $x_2 = 4$: $4 \ge 2$. Условие выполняется, корень подходит.

Оба корня являются решениями.

Ответ: 2; 4.

56.29 a) $ \sqrt[5]{x} - \sqrt[10]{x} - 2 = 0; $

б) $ \sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0; $

В) $ \sqrt[3]{x} - 6\sqrt[6]{x} + 8 = 0; $

Г) $ 3\sqrt[4]{x} - \sqrt[8]{x} - 2 = 0. $

а)

Исходное уравнение: $\sqrt[5]{x} - \sqrt[10]{x} - 2 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется наличием корня четной степени ($\sqrt[10]{x}$), поэтому $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[10]{x}$. Поскольку корень четной степени не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$

$t_1 = \frac{1+3}{2} = 2$

$t_2 = \frac{1-3}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 2$:

$\sqrt[10]{x} = 2$

Возведем обе части уравнения в 10-ю степень, чтобы найти $x$:

$x = 2^{10} = 1024$

Полученное значение $x=1024$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $1024$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x} - 3 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия корней $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt[8]{x}$).

Заметим, что $\sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{x}$, при этом $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = -2$

$t_1 \cdot t_2 = -3$

Подбором находим корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -3$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$\sqrt[8]{x} = 1$

Возведем обе части в 8-ю степень:

$x = 1^8 = 1$

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

в)

Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x} - 6\sqrt[6]{x} + 8 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия корня $\sqrt[6]{x}$).

Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$, при этом $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 6$

$t_1 \cdot t_2 = 8$

Подбором находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня.

1) $\sqrt[6]{x} = 2$

$x_1 = 2^6 = 64$

2) $\sqrt[6]{x} = 4$

$x_2 = 4^6 = (2^2)^6 = 2^{12} = 4096$

Оба значения $x_1=64$ и $x_2=4096$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $64; 4096$.

г)

Исходное уравнение: $3\sqrt[4]{x} - \sqrt[8]{x} - 2 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия корней $\sqrt[4]{x}$ и $\sqrt[8]{x}$).

Заметим, что $\sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[8]{x}$, при этом $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - t - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$

$t_1 = \frac{1+5}{6} = 1$

$t_2 = \frac{1-5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 1$ подходит.

Корень $t_2 = -2/3$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$\sqrt[8]{x} = 1$

Возведем обе части в 8-ю степень:

$x = 1^8 = 1$

Значение $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$.

56.31 a) $\sqrt{3x - 1} + \sqrt{6x + 2} = \sqrt{9x + 1};$

б) $\sqrt{6x - 14} + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5x - 9}.$

а)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{3x-1} + \sqrt{6x+2} = \sqrt{9x+1}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$3x-1 \ge 0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$
$6x+2 \ge 0 \implies 6x \ge -2 \implies x \ge -\frac{1}{3}$
$9x+1 \ge 0 \implies 9x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{9}$

Пересечением этих трех условий является $x \ge \frac{1}{3}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:

$(\sqrt{3x-1} + \sqrt{6x+2})^2 = (\sqrt{9x+1})^2$

$(3x-1) + 2\sqrt{(3x-1)(6x+2)} + (6x+2) = 9x+1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x+1 + 2\sqrt{(3x-1)(6x+2)} = 9x+1$

Вычтем $9x+1$ из обеих частей уравнения:

$2\sqrt{(3x-1)(6x+2)} = 0$

$\sqrt{(3x-1)(6x+2)} = 0$

Возведем в квадрат еще раз:

$(3x-1)(6x+2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$3x-1=0 \implies 3x=1 \implies x = \frac{1}{3}$

или

$6x+2=0 \implies 6x=-2 \implies x = -\frac{1}{3}$

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{1}{3}$):

Корень $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию ОДЗ.

Корень $x = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию ОДЗ.

Следовательно, единственным решением является $x = \frac{1}{3}$.

Выполним проверку, подставив $x = \frac{1}{3}$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3 \cdot \frac{1}{3} - 1} + \sqrt{6 \cdot \frac{1}{3} + 2} = \sqrt{9 \cdot \frac{1}{3} + 1}$

$\sqrt{1 - 1} + \sqrt{2 + 2} = \sqrt{3 + 1}$

$\sqrt{0} + \sqrt{4} = \sqrt{4}$

$0 + 2 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

б)

Решим иррациональное уравнение $\sqrt{6x-14} + \sqrt{5-x} = \sqrt{5x-9}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$6x-14 \ge 0 \implies 6x \ge 14 \implies x \ge \frac{14}{6} \implies x \ge \frac{7}{3}$
$5-x \ge 0 \implies x \le 5$
$5x-9 \ge 0 \implies 5x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{5}$

Сравним $\frac{7}{3}$ и $\frac{9}{5}$: $\frac{7}{3} = \frac{35}{15}$, а $\frac{9}{5} = \frac{27}{15}$. Так как $\frac{35}{15} > \frac{27}{15}$, то $x \ge \frac{7}{3}$ является более строгим ограничением. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $\frac{7}{3} \le x \le 5$.

Заметим, что подкоренное выражение в правой части является суммой подкоренных выражений в левой: $(6x-14) + (5-x) = 5x-9$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6x-14} + \sqrt{5-x})^2 = (\sqrt{5x-9})^2$

$(6x-14) + 2\sqrt{(6x-14)(5-x)} + (5-x) = 5x-9$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$5x-9 + 2\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 5x-9$

Вычтем $5x-9$ из обеих частей:

$2\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 0$

$\sqrt{(6x-14)(5-x)} = 0$

$(6x-14)(5-x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$6x-14=0 \implies 6x=14 \implies x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

или

$5-x=0 \implies x = 5$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($\frac{7}{3} \le x \le 5$):

Корень $x = \frac{7}{3}$ принадлежит ОДЗ.

Корень $x = 5$ принадлежит ОДЗ.

Оба корня являются решениями. Проведем проверку.

При $x = \frac{7}{3}$:

$\sqrt{6(\frac{7}{3})-14} + \sqrt{5-\frac{7}{3}} = \sqrt{5(\frac{7}{3})-9}$

$\sqrt{14-14} + \sqrt{\frac{15-7}{3}} = \sqrt{\frac{35-27}{3}}$

$\sqrt{0} + \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}}$ (верно)

При $x=5$:

$\sqrt{6(5)-14} + \sqrt{5-5} = \sqrt{5(5)-9}$

$\sqrt{30-14} + \sqrt{0} = \sqrt{25-9}$

$\sqrt{16} + 0 = \sqrt{16}$ (верно)

Ответ: $x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = 5$.

56.33 a) $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1;$

б) $\cos^2 3x - \sin^2 3x - \cos 4x = 0.$

Дано уравнение $ \sin^2 x + \cos^2 2x = 1 $.
Перенесем $ \sin^2 x $ в правую часть уравнения: $ \cos^2 2x = 1 - \sin^2 x $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, заменим правую часть: $ \cos^2 2x = \cos^2 x $
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $ \cos 2x = \cos x $ и $ \cos 2x = -\cos x $.
Также можно перенести $ \cos^2 x $ в левую часть и применить формулу разности квадратов: $ \cos^2 2x - \cos^2 x = 0 $
$ (\cos 2x - \cos x)(\cos 2x + \cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1) $ \cos 2x - \cos x = 0 \implies \cos 2x = \cos x $.
Решения этого уравнения имеют вид $ 2x = \pm x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
- $ 2x = x + 2\pi k \implies x = 2\pi k $
- $ 2x = -x + 2\pi k \implies 3x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{3} $
Решения $ x = 2\pi k $ являются частью серии $ x = \frac{2\pi k}{3} $ (при $ k $, кратном 3), поэтому общим решением для этого случая является $ x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 2x + \cos x = 0 \implies \cos 2x = -\cos x $.
Используя формулу приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $, получаем $ \cos 2x = \cos(\pi - x) $.
Решения этого уравнения имеют вид $ 2x = \pm (\pi - x) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
- $ 2x = \pi - x + 2\pi n \implies 3x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} $
- $ 2x = -(\pi - x) + 2\pi n \implies 2x = x - \pi + 2\pi n \implies x = -\pi + 2\pi n $, что эквивалентно $ x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Объединим все полученные серии решений:
- $ x = \frac{2\pi k}{3} $ (дает точки $0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, ...$)
- $ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} $ (дает точки $\frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, ...$)
Серия $ x = \pi + 2\pi m $ является частью второй серии (при $n=1, 4, ...$).
Вместе эти решения образуют множество всех точек, кратных $ \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Дано уравнение $ \cos^2 3x - \sin^2 3x - \cos 4x = 0 $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Для $ \alpha = 3x $ выражение $ \cos^2 3x - \sin^2 3x $ равно $ \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x) $.
Уравнение принимает вид: $ \cos(6x) - \cos 4x = 0 $
$ \cos(6x) = \cos 4x $
Для решения этого уравнения можно использовать формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $: $ -2\sin\frac{6x+4x}{2}\sin\frac{6x-4x}{2} = 0 $
$ -2\sin(5x)\sin(x) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $ \sin(x) = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

Сравним полученные серии решений. Первая серия $ x = \pi k $ является подмножеством второй серии $ x = \frac{\pi n}{5} $. Это происходит, когда $n$ кратно 5 (т.е. $n = 5k$).
Таким образом, все решения уравнения описываются более общей второй формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

56.35 a) $\cos 6x - \cos 2x + \cos 8x - \cos 4x = 0;$

б) $\sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0.$

а) $\cos 6x - \cos 2x + \cos 8x - \cos 4x = 0$

Сгруппируем члены уравнения для применения формул преобразования суммы и разности в произведение:

$(\cos 8x + \cos 6x) - (\cos 4x + \cos 2x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой паре:

$2 \cos \frac{8x+6x}{2} \cos \frac{8x-6x}{2} - 2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 0$

Упростим полученное выражение:

$2 \cos 7x \cos x - 2 \cos 3x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:

$2 \cos x (\cos 7x - \cos 3x) = 0$

Теперь применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$2 \cos x (-2 \sin \frac{7x+3x}{2} \sin \frac{7x-3x}{2}) = 0$

Упростим:

$-4 \cos x \sin 5x \sin 2x = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin 5x = 0 \implies 5x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

3) $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi m, m \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$

Заметим, что первая серия корней ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) является частным случаем третьей серии корней ($x = \frac{\pi m}{2}$) при нечетных $m$. Поэтому достаточно объединить вторую и третью серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}.$

б) $\sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(\sin 3x - \sin x) + (\cos 3x - \cos x) = 0$

Применим формулы разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ и разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2 \sin \frac{3x-x}{2} \cos \frac{3x+x}{2} - 2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} = 0$

Упростим выражения в аргументах функций:

$2 \sin x \cos 2x - 2 \sin 2x \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:

$2 \sin x (\cos 2x - \sin 2x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x - \sin 2x = 0$

$\cos 2x = \sin 2x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 2x$. Это возможно, так как если $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin 2x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

$\tan 2x = 1$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}.$

56.37 a) $\sin x \cos x - 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0$;

б) $5 \sin 2x - 11 \sin x = 11 \cos x - 7$.

а) $ \sin x \cos x - 6\sin x + 6\cos x + 6 = 0 $

Сгруппируем слагаемые в уравнении:

$ \sin x \cos x + 6(\cos x - \sin x) + 6 = 0 $

Введем замену переменной. Пусть $ t = \cos x - \sin x $.

Чтобы выразить $ \sin x \cos x $ через $ t $, возведем обе части замены в квадрат:

$ t^2 = (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:

$ t^2 = 1 - 2\sin x \cos x $

Отсюда выражаем $ \sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x = 1 - t^2 \implies \sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2} $

Подставим выражения для $ \cos x - \sin x $ и $ \sin x \cos x $ в исходное уравнение:

$ \frac{1 - t^2}{2} + 6t + 6 = 0 $

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$ 1 - t^2 + 12t + 12 = 0 $

$ -t^2 + 12t + 13 = 0 $

$ t^2 - 12t - 13 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем дискриминант: $ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196 = 14^2 $.

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{12 - 14}{2} = -1 $

$ t_2 = \frac{12 + 14}{2} = 13 $

Вернемся к исходной переменной $ x $.

1) $ \cos x - \sin x = 13 $.

Наибольшее значение выражения $ a\cos x + b\sin x $ равно $ \sqrt{a^2 + b^2} $. В нашем случае $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $. Поскольку $ 13 > \sqrt{2} $, это уравнение не имеет решений.

2) $ \cos x - \sin x = -1 $.

Умножим обе части на -1:

$ \sin x - \cos x = 1 $.

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1 $

Поскольку $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $, уравнение принимает вид:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Применяя формулу синуса разности, получаем:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решения этого уравнения имеют вид:

$ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $.

Рассмотрим два случая для $ n $:

Если $ n $ — четное число, $ n = 2k $, где $ k \in \mathbb{Z} $:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $.

Если $ n $ — нечетное число, $ n = 2k+1 $, где $ k \in \mathbb{Z} $:

$ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ 5\sin 2x - 11\sin x = 11\cos x - 7 $

Перенесем все члены в левую часть и используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 5(2\sin x \cos x) - 11\sin x - 11\cos x + 7 = 0 $

$ 10\sin x \cos x - 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0 $

Введем замену переменной. Пусть $ t = \sin x + \cos x $.

Возведем обе части замены в квадрат:

$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x $

$ t^2 = 1 + 2\sin x \cos x $

Отсюда $ \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $.

Подставим выражения для $ \sin x + \cos x $ и $ \sin x \cos x $ в уравнение:

$ 10\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) - 11t + 7 = 0 $

$ 5(t^2 - 1) - 11t + 7 = 0 $

$ 5t^2 - 5 - 11t + 7 = 0 $

$ 5t^2 - 11t + 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2 $.

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{11 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

$ t_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 $

Вернемся к исходной переменной $ x $.

1) $ \sin x + \cos x = 2 $.

Наибольшее значение выражения $ \sin x + \cos x $ равно $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $. Поскольку $ 2 > \sqrt{2} $, это уравнение не имеет решений.

2) $ \sin x + \cos x = \frac{1}{5} $.

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим на $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $:

$ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \frac{1}{5} $

Поскольку $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $, уравнение принимает вид:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5\sqrt{2}} $

Применяя формулу синуса суммы, получаем:

$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $

Решения этого уравнения имеют вид:

$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

56.24 а) $1 - \sqrt{x} = \ln x;$

б) $\sqrt{x} - 2 = \frac{9}{x}.$

а)

Дано уравнение $1 - \sqrt{x} = \ln x$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а аргумент логарифма — строго положительным ($x > 0$). Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x > 0$.

Этот тип уравнений, где переменная находится и под знаком корня, и под знаком логарифма, обычно решается графически или с помощью анализа свойств функций. Рассмотрим две функции: $f(x) = 1 - \sqrt{x}$ и $g(x) = \ln x$. Решение уравнения — это точка пересечения их графиков.

Исследуем монотонность этих функций на области $x > 0$.
1. Для функции $f(x) = 1 - \sqrt{x}$ найдем производную: $f'(x) = (1 - x^{1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Поскольку на всей ОДЗ ($x > 0$) знаменатель $2\sqrt{x}$ положителен, производная $f'(x)$ всегда отрицательна. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей на интервале $(0; +\infty)$.
2. Для функции $g(x) = \ln x$ найдем производную: $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$. На ОДЗ ($x > 0$) производная $g'(x)$ всегда положительна. Следовательно, функция $g(x)$ является строго возрастающей на интервале $(0; +\infty)$.

Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора. Проверим значение $x = 1$:
Левая часть: $1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $\ln 1 = 0$.
Поскольку левая и правая части равны ($0 = 0$), $x = 1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение не может иметь более одного корня, то $x = 1$ — это единственное решение.

Ответ: $x = 1$.

б)

Дано уравнение $\sqrt{x} - 2 = \frac{9}{x}$.

Определим ОДЗ. Из-за наличия квадратного корня $x \ge 0$. Из-за наличия $x$ в знаменателе $x \neq 0$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Поскольку $x > 0$, то и $y > 0$. Из замены следует, что $x = y^2$. Подставим это в исходное уравнение:

$y - 2 = \frac{9}{y^2}$

Так как $y > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $y^2$:

$y^2(y - 2) = 9$

$y^3 - 2y^2 = 9$

$y^3 - 2y^2 - 9 = 0$

Получилось кубическое уравнение. Его целые корни, если они есть, являются делителями свободного члена (-9). Возможные корни: $\pm1, \pm3, \pm9$. Так как $y>0$, проверяем только положительные делители.

Проверим $y = 1$: $1^3 - 2(1)^2 - 9 = 1 - 2 - 9 = -10 \neq 0$.
Проверим $y = 3$: $3^3 - 2(3)^2 - 9 = 27 - 2 \cdot 9 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0$.
Значит, $y = 3$ является корнем уравнения.

Теперь разделим многочлен $y^3 - 2y^2 - 9$ на $(y - 3)$, чтобы найти остальные корни. Используя деление столбиком или схему Горнера, получаем:

$(y - 3)(y^2 + y + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:
1) $y - 3 = 0 \implies y = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $y > 0$.
2) $y^2 + y + 3 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, единственное действительное решение для $y$ — это $y = 3$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = y = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 3^2 = 9$

Корень $x = 9$ принадлежит ОДЗ ($x > 0$). Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{9} - 2 = \frac{9}{9}$

$3 - 2 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $x = 9$.

56.26 a) $\sqrt{6x^2 - 3} = \sqrt{5x - 2};$

б) $\sqrt{3x^2 - 5x} = \sqrt{x^2 + 2x - 5}.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{6x^2 - 3} = \sqrt{5x - 2}$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения приравниваются, и одно из них (любое, но обычно выбирают более простое) должно быть неотрицательным. Это гарантирует, что и второе выражение будет неотрицательным, так как они равны.
Составим равносильную систему:
$\begin{cases} 6x^2 - 3 = 5x - 2 \\ 5x - 2 \ge 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение:
$6x^2 - 3 = 5x - 2$
$6x^2 - 5x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $5x - 2 \ge 0$.
Проверка для $x_1 = 1$:
$5(1) - 2 = 3$. Так как $3 \ge 0$, условие выполняется. Значит, $x=1$ является корнем исходного уравнения.
Проверка для $x_2 = -\frac{1}{6}$:
$5(-\frac{1}{6}) - 2 = -\frac{5}{6} - 2 = -\frac{17}{6}$. Так как $-\frac{17}{6} < 0$, условие не выполняется. Значит, $x = -\frac{1}{6}$ является посторонним корнем.
Ответ: $1$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3x^2 - 5x} = \sqrt{x^2 + 2x - 5}$.
Аналогично предыдущему пункту, данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3x^2 - 5x = x^2 + 2x - 5 \\ x^2 + 2x - 5 \ge 0 \end{cases}$
(В качестве условия можно было выбрать и $3x^2 - 5x \ge 0$, результат был бы тем же).
Решим уравнение из системы:
$3x^2 - 5x - x^2 - 2x + 5 = 0$
$2x^2 - 7x + 5 = 0$
Найдем корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Теперь выполним проверку найденных корней, подставив их в неравенство $x^2 + 2x - 5 \ge 0$.
Проверка для $x_1 = 2.5$:
$(2.5)^2 + 2(2.5) - 5 = 6.25 + 5 - 5 = 6.25$. Так как $6.25 \ge 0$, условие выполняется. Значит, $x=2.5$ является корнем исходного уравнения.
Проверка для $x_2 = 1$:
$1^2 + 2(1) - 5 = 1 + 2 - 5 = -2$. Так как $-2 < 0$, условие не выполняется. Значит, $x=1$ является посторонним корнем.
Ответ: $2.5$.

56.28 a) $16x - 15\sqrt{x} - 1 = 0;$

Б) $2 - x + 3\sqrt{2 - x} = 4;$

В) $3x - 8\sqrt{x} + 5 = 0;$

Г) $5\sqrt{x + 3} + x + 3 = 6.$

а) $16x - 15\sqrt{x} - 1 = 0$

Данное уравнение является иррациональным. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как квадратный корень не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$16t^2 - 15t - 1 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289$

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 17}{2 \cdot 16} = \frac{-2}{32} = -\frac{1}{16}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 17}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1$

Теперь вернемся к условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = -1/16$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = 1$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_2 = 1$:

$\sqrt{x} = 1$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 1^2 = 1$

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Проверка: $16(1) - 15\sqrt{1} - 1 = 16 - 15 - 1 = 0$. Верно.

Ответ: $1$.

б) $2 - x + 3\sqrt{2-x} = 4$

Определим ОДЗ: $2 - x \ge 0$, что означает $x \le 2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$. Тогда $t^2 = 2-x$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 + 3t = 4$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Решим его. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -4, сумма корней равна -3. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Либо через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

$t_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$

$t_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = -4$ не подходит. Корень $t_2 = 1$ подходит.

Выполним обратную замену для $t=1$:

$\sqrt{2-x} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2 - x = 1$

$-x = 1 - 2$

$-x = -1$

$x = 1$

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \le 2$).

Проверка: $2 - 1 + 3\sqrt{2-1} = 1 + 3\sqrt{1} = 1 + 3 = 4$. Верно.

Ответ: $1$.

в) $3x - 8\sqrt{x} + 5 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Введем замену: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$3t^2 - 8t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4$

$\sqrt{D} = 2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{8 - 2}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{8 + 2}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Оба корня, $t_1 = 1$ и $t_2 = 5/3$, удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня.

1) Если $t = 1$, то $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1$.

2) Если $t = 5/3$, то $\sqrt{x} = 5/3$, откуда $x = (5/3)^2 = 25/9$.

Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Проверка для $x=1$: $3(1) - 8\sqrt{1} + 5 = 3 - 8 + 5 = 0$. Верно.

Проверка для $x=25/9$: $3(25/9) - 8\sqrt{25/9} + 5 = 25/3 - 8(5/3) + 5 = 25/3 - 40/3 + 15/3 = (25-40+15)/3 = 0$. Верно.

Ответ: $1; \frac{25}{9}$.

г) $5\sqrt{x+3} + x + 3 = 6$

ОДЗ: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Введем замену: $t = \sqrt{x+3}$, где $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x+3$.

Подставим замену в уравнение:

$5t + t^2 = 6$

Перепишем в стандартном виде:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно -6, сумма корней равна -5. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

Либо через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

$\sqrt{D} = 7$

$t_1 = \frac{-5 - 7}{2} = -6$

$t_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$

Согласно условию $t \ge 0$, корень $t_1 = -6$ является посторонним. Подходит только $t_2 = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x+3} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$x + 3 = 1$

$x = 1 - 3$

$x = -2$

Корень $x = -2$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge -3$).

Проверка: $5\sqrt{-2+3} + (-2) + 3 = 5\sqrt{1} + 1 = 5+1 = 6$. Верно.

Ответ: $-2$.

56.30 a) $ \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2} $;

б) $ \sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{3} $.

а) $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Решим уравнение.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1})^2 = (\sqrt{2})^2$

$(\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2 = 2$

$(x + 1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x - 1) = 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + 2\sqrt{x^2 - 1} = 2$

Разделим обе части на 2:

$x + \sqrt{x^2 - 1} = 1$

Уединим корень:

$\sqrt{x^2 - 1} = 1 - x$

3. Проанализируем полученное уравнение.

Левая часть уравнения $\sqrt{x^2 - 1}$ по определению арифметического корня неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$

Учитывая ОДЗ ($x \ge 1$) и полученное условие ($x \le 1$), единственным возможным решением является $x = 1$.

4. Выполним проверку.

Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1 + 1} + \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Равенство верное, значит, $x=1$ является корнем уравнения.

Ответ: $1$.

б) $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{3}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$2x + 1 \ge 0 \implies x \ge -0.5$

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Решим уравнение.

Перенесем один из корней в правую часть, чтобы упростить возведение в квадрат:

$\sqrt{2x + 1} = \sqrt{3} + \sqrt{x - 1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 1})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{x - 1})^2$

$2x + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2$

$2x + 1 = 3 + 2\sqrt{3(x - 1)} + (x - 1)$

$2x + 1 = x + 2 + 2\sqrt{3x - 3}$

Уединим оставшийся корень:

$2x - x + 1 - 2 = 2\sqrt{3x - 3}$

$x - 1 = 2\sqrt{3x - 3}$

3. Возведем в квадрат еще раз.

Для того чтобы можно было возвести в квадрат, обе части должны быть неотрицательны. Правая часть $2\sqrt{3x - 3}$ неотрицательна. Значит, левая часть тоже должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, что соответствует нашему ОДЗ ($x \ge 1$).

$(x - 1)^2 = (2\sqrt{3x - 3})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 4(3x - 3)$

$x^2 - 2x + 1 = 12x - 12$

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$x^2 - 14x + 13 = 0$

4. Решим квадратное уравнение.

По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение равно 13. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 13$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).

5. Выполним проверку.

Проверим корень $x_1 = 1$:

$\sqrt{2(1) + 1} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} - \sqrt{0} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Корень $x_1 = 1$ подходит.

Проверим корень $x_2 = 13$:

$\sqrt{2(13) + 1} - \sqrt{13 - 1} = \sqrt{3}$

$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{3}$

$\sqrt{9 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{3}$

$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Корень $x_2 = 13$ также подходит.

Ответ: $1; 13$.

56.32 a) $x^2 - 4x - 6 = \sqrt{2x^2 - 8x + 12};$

б) $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7.$

а) $x^2 - 4x - 6 = \sqrt{2x^2 - 8x + 12}$
Заметим, что подкоренное выражение можно преобразовать: $2x^2 - 8x + 12 = 2(x^2 - 4x + 6)$.
Видно, что и в левой, и в правой части уравнения присутствует выражение $x^2 - 4x$. Сделаем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = x^2 - 4x - 6$.
Тогда $x^2 - 4x = t + 6$.
Подставим это в исходное уравнение:
$t = \sqrt{2(t+6) + 12}$
$t = \sqrt{2t + 12 + 12}$
$t = \sqrt{2t + 24}$
Для решения этого иррационального уравнения необходимо, чтобы обе его части были неотрицательны. Так как правая часть (арифметический квадратный корень) по определению неотрицательна, то и левая часть должна быть неотрицательной: $t \ge 0$.
Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2t + 24 \ge 0$, что дает $t \ge -12$.
Объединяя условия, получаем $t \ge 0$.
Возведем обе части уравнения $t = \sqrt{2t + 24}$ в квадрат:
$t^2 = 2t + 24$
$t^2 - 2t - 24 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант):
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$
$t_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6$
$t_2 = \frac{2 - 10}{2} = -4$
Проверяем корни по условию $t \ge 0$.
$t_1 = 6$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -4$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
Итак, единственное решение для $t$ - это $t=6$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
$x^2 - 4x - 6 = 6$
$x^2 - 4x - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 4$
$x_1 \cdot x_2 = -12$
Отсюда корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.
Область допустимых значений исходного уравнения определяется условием $2x^2 - 8x + 12 \ge 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 64 - 96 = -32 < 0$. Так как старший коэффициент $2>0$, то трехчлен $2x^2 - 8x + 12$ положителен при любых $x$. Таким образом, найденные корни входят в ОДЗ.
Ответ: $x = -2, x = 6$.

б) $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7$
Перенесем члены из правой части в левую, чтобы сгруппировать похожие выражения:
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 - 3x - 7 = 0$
Заметим, что выражение под корнем $x^2 - 3x + 5$ и выражение $x^2 - 3x$ очень похожи. Сделаем замену.
Пусть $y = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$. По определению арифметического корня, $y \ge 0$.
Возведем обе части замены в квадрат: $y^2 = x^2 - 3x + 5$.
Отсюда выразим $x^2 - 3x = y^2 - 5$.
Теперь подставим $y$ и $y^2 - 5$ в уравнение $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + (x^2 - 3x) - 7 = 0$:
$y + (y^2 - 5) - 7 = 0$
$y^2 + y - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета:
$y_1 + y_2 = -1$
$y_1 \cdot y_2 = -12$
Корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$.
Вспоминаем условие $y \ge 0$.
$y_1 = 3$ удовлетворяет условию.
$y_2 = -4$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
Таким образом, $y=3$.
Вернемся к переменной $x$, используя нашу замену:
$\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 3x + 5 = 3^2$
$x^2 - 3x + 5 = 9$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Проверим ОДЗ. Подкоренное выражение $x^2 - 3x + 5$ имеет дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0$. Так как старший коэффициент $1>0$, то $x^2 - 3x + 5 > 0$ для любых $x$. Следовательно, оба корня подходят.
Ответ: $x = -1, x = 4$.

56.34 a) $cos 5x + cos 7x - cos 6x = 0;$

б) $sin 9x - sin 5x + sin 4x = 0.$

а) $cos5x + cos7x - cos6x = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$(cos7x + cos5x) - cos6x = 0$
$2\cos\frac{7x+5x}{2}\cos\frac{7x-5x}{2} - \cos6x = 0$
$2\cos\frac{12x}{2}\cos\frac{2x}{2} - \cos6x = 0$
$2\cos6x \cdot \cos x - \cos6x = 0$
Теперь вынесем общий множитель $\cos6x$ за скобки:
$\cos6x(2\cos x - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
1) $\cos6x = 0$
Это частный случай тригонометрического уравнения, решения которого имеют вид:
$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $2\cos x - 1 = 0$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Решения этого уравнения:
$x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}; \ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin9x - sin5x + sin4x = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу разности синусов: $sin\alpha - sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
$(sin9x - sin5x) + sin4x = 0$
$2\sin\frac{9x-5x}{2}\cos\frac{9x+5x}{2} + sin4x = 0$
$2\sin\frac{4x}{2}\cos\frac{14x}{2} + sin4x = 0$
$2\sin2x\cos7x + sin4x = 0$
Теперь применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ к слагаемому $sin4x$:
$2\sin2x\cos7x + 2\sin2x\cos2x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin2x$ за скобки:
$2\sin2x(\cos7x + \cos2x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $\sin2x = 0$
Это частный случай, его решения:
$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $\cos7x + \cos2x = 0$
Для решения этого уравнения применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2\cos\frac{7x+2x}{2}\cos\frac{7x-2x}{2} = 0$
$2\cos\frac{9x}{2}\cos\frac{5x}{2} = 0$
Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:
2a) $\cos\frac{9x}{2} = 0$
$\frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$9x = \pi + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$
2b) $\cos\frac{5x}{2} = 0$
$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$
$5x = \pi + 2\pi m$
$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}$, где $m \in \mathbb{Z}$
Собираем все три серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}; \ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{9}; \ x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}, \text{ где } n, k, m \in \mathbb{Z}$.

56.36 a) $3 \text{tg}^2 x - 8 = 4 \cos^2 x;$

б) $4 \sin^2 x = 4 - 9 \text{tg}^2 x.$

а) $3\tg^2x - 8 = 4\cos^2x$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Используем тригонометрическое тождество, связывающее $\cos^2x$ и $\tg^2x$: $\cos^2x = \frac{1}{1 + \tg^2x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3\tg^2x - 8 = 4 \cdot \frac{1}{1 + \tg^2x}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tg^2x$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$3t - 8 = \frac{4}{1+t}$

Умножим обе части уравнения на $(1+t)$. Поскольку $t = \tg^2x \ge 0$, то $1+t > 0$, поэтому это преобразование является равносильным.

$(3t - 8)(1+t) = 4$

$3t + 3t^2 - 8 - 8t = 4$

$3t^2 - 5t - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Вернемся к замене. Корень $t_2 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_1 = 3$.

$\tg^2x = 3$

Отсюда $\tg x = \sqrt{3}$ или $\tg x = -\sqrt{3}$.

1) $\tg x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tg x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно объединить в одну: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos x \neq 0$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $4\sin^2x = 4 - 9\tg^2x$

ОДЗ уравнения: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $\tg^2x$ через $\sin^2x$, используя тождества $\tg^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x}$ и $\cos^2x = 1 - \sin^2x$:

$\tg^2x = \frac{\sin^2x}{1 - \sin^2x}$

Подставим это в исходное уравнение:

$4\sin^2x = 4 - 9 \frac{\sin^2x}{1 - \sin^2x}$

Сделаем замену. Пусть $y = \sin^2x$. Учитывая ОДЗ ($\cos^2x \neq 0 \implies 1-\sin^2x \neq 0 \implies \sin^2x \neq 1$), имеем $0 \le y < 1$.

Уравнение принимает вид:

$4y = 4 - \frac{9y}{1-y}$

Умножим обе части на $(1-y)$. Так как $y \neq 1$, это преобразование равносильно.

$4y(1-y) = 4(1-y) - 9y$

$4y - 4y^2 = 4 - 4y - 9y$

$4y - 4y^2 = 4 - 13y$

$4y^2 - 17y + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Вернемся к замене. Корень $y_1=4$ не удовлетворяет условию $0 \le y < 1$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $y_2 = \frac{1}{4}$.

$\sin^2x = \frac{1}{4}$

Отсюда $\sin x = \frac{1}{2}$ или $\sin x = -\frac{1}{2}$.

1) $\sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно объединить в одну: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos^2x = 1 - \sin^2x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \neq 0$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.