Страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

54.8 Найдите вероятность $P(A+B)$ суммы двух независимых событий A и B, если известно, что:

а) $P(A) = 0,5, P(B) = 0,5;$

б) $P(A) = 0,9, P(B) = 0,1;$

в) $P(A) = 0,9, P(B) = 0,9;$

г) $P(A) = 0,99, P(B) = 0,01.$

Вероятность суммы двух событий A и B (то есть вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих событий) вычисляется по общей формуле сложения вероятностей:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A \cdot B)$

где $P(A \cdot B)$ — вероятность совместного наступления событий A и B (их произведения).

Поскольку в условии задачи события A и B являются независимыми, вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$

Таким образом, для независимых событий формула для вероятности суммы принимает вид:

$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$

Используем эту формулу для решения каждого пункта.

а)

Дано: $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,5$.

Подставляем значения в формулу:

$P(A + B) = 0,5 + 0,5 - 0,5 \cdot 0,5 = 1 - 0,25 = 0,75$.

Ответ: 0,75.

б)

Дано: $P(A) = 0,9$, $P(B) = 0,1$.

Подставляем значения в формулу:

$P(A + B) = 0,9 + 0,1 - 0,9 \cdot 0,1 = 1 - 0,09 = 0,91$.

Ответ: 0,91.

в)

Дано: $P(A) = 0,9$, $P(B) = 0,9$.

Подставляем значения в формулу:

$P(A + B) = 0,9 + 0,9 - 0,9 \cdot 0,9 = 1,8 - 0,81 = 0,99$.

Ответ: 0,99.

г)

Дано: $P(A) = 0,99$, $P(B) = 0,01$.

Подставляем значения в формулу:

$P(A + B) = 0,99 + 0,01 - 0,99 \cdot 0,01 = 1 - 0,0099 = 0,9901$.

Ответ: 0,9901.

54.10 Пусть вероятность «успеха» в одном испытании Бернулли равна 0,7. Пользуясь теоремой Бернулли, составьте формулы для следующих событий:

а) при трёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «успеха»;

$P_3(2) = C_3^2 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^1$

б) при четырёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «неудачи»;

$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^2$

в) при пяти независимых повторениях испытания будет ровно 3 «успеха».

$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,7)^3 \cdot (0,3)^2$

Вычислите вероятности в а) — в).

Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли. Она позволяет найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний некоторое событие («успех»), вероятность которого в каждом испытании равна p, произойдет ровно k раз.

Формула Бернулли имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:

• n — общее число испытаний;
• k — число «успехов»;
• p — вероятность «успеха» в одном испытании;
• q — вероятность «неудачи» в одном испытании, $q = 1 - p$;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по k).

По условию задачи, вероятность «успеха» $p = 0.7$. Тогда вероятность «неудачи» $q = 1 - 0.7 = 0.3$.

а) при трёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «успеха»

В этом случае имеем следующие параметры: n = 3 (общее число испытаний), k = 2 (число «успехов»), p = 0.7, q = 0.3.

Составим формулу для вероятности этого события:

$P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^{3-2}$

Теперь вычислим значение вероятности:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot 1} = 3$

$P_3(2) = 3 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^1 = 3 \cdot 0.49 \cdot 0.3 = 0.441$

Ответ: формула $P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^1$, вероятность равна 0.441.

б) при четырёх независимых повторениях испытания будет ровно 2 «неудачи»

Если при 4 испытаниях было 2 «неудачи», это означает, что было $4 - 2 = 2$ «успеха».Параметры для формулы Бернулли: n = 4 (общее число испытаний), k = 2 (число «успехов»), p = 0.7, q = 0.3.

Составим формулу для вероятности этого события:

$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^{4-2}$

Вычислим значение вероятности:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

$P_4(2) = 6 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^2 = 6 \cdot 0.49 \cdot 0.09 = 0.2646$

Ответ: формула $P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^2$, вероятность равна 0.2646.

в) при пяти независимых повторениях испытания будет ровно 3 «успеха»

В этом случае параметры следующие: n = 5 (общее число испытаний), k = 3 (число «успехов»), p = 0.7, q = 0.3.

Составим формулу для вероятности этого события:

$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^{5-3}$

Вычислим значение вероятности:

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

$P_5(3) = 10 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^2 = 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087$

Ответ: формула $P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^2$, вероятность равна 0.3087.

54.9 Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности равны соответственно 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что мишень:

а) будет поражена дважды;

б) не будет поражена ни разу;

в) будет поражена хотя бы один раз;

г) будет поражена ровно один раз.

Для решения задачи введем обозначения событий:

Событие $A$ — первый стрелок попал в мишень. Вероятность этого события по условию $P(A) = 0,8$.

Событие $B$ — второй стрелок попал в мишень. Вероятность этого события по условию $P(B) = 0,6$.

Так как выстрелы независимы друг от друга, события $A$ и $B$ являются независимыми.

Найдем вероятности противоположных событий (промахов):

Событие $\bar{A}$ — первый стрелок промахнулся. Вероятность $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Событие $\bar{B}$ — второй стрелок промахнулся. Вероятность $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$.

а) будет поражена дважды

Это событие означает, что и первый, и второй стрелок попали в мишень. Это соответствует совместному наступлению независимых событий $A$ и $B$. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,8 \times 0,6 = 0,48$.

Ответ: 0,48

б) не будет поражена ни разу

Это событие означает, что оба стрелка промахнулись. Это соответствует совместному наступлению независимых событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$.

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,2 \times 0,4 = 0,08$.

Ответ: 0,08

в) будет поражена хотя бы один раз

Событие "мишень поражена хотя бы один раз" является противоположным событию "мишень не поражена ни разу" (вероятность которого мы рассчитали в пункте б). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Поэтому искомая вероятность равна:

$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{ни одного попадания}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B})$

$1 - 0,08 = 0,92$.

Ответ: 0,92

г) будет поражена ровно один раз

Это событие означает, что либо первый стрелок попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. Эти два исхода являются несовместными, поэтому их вероятности можно сложить.

Вероятность того, что первый попал, а второй промахнулся: $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,8 \times 0,4 = 0,32$.

Вероятность того, что первый промахнулся, а второй попал: $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,2 \times 0,6 = 0,12$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(\text{ровно одно попадание}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0,32 + 0,12 = 0,44$.

Ответ: 0,44

54.11 Каждый из четырёх приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачёту. На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что:

а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;

б) никому не достался вопрос, который он выучил;

в) только одному из них достался тот вопрос, который он не выучил;

г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который он выучил.

Для решения задачи сначала определим вероятности основных событий для одного приятеля. Всего вопросов 20, из них 5 выучено и $20 - 5 = 15$ не выучено.

Вероятность того, что приятелю достанется вопрос, который он выучил (назовем это событием «успех»), равна $p = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Вероятность того, что ему достанется вопрос, который он не выучил (назовем это событием «неудача»), равна $q = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$. Заметим, что $p + q = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Так как все четыре приятеля получают вопросы независимо друг от друга, мы имеем дело с серией из $n=4$ независимых испытаний Бернулли. Вероятность наступления ровно $k$ «успехов» в $n$ испытаниях вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;

Это событие означает, что все 4 приятеля получили выученные вопросы. То есть, произошло 4 «успеха» из 4 возможных ($k=4, n=4$). Вероятность этого события можно вычислить как произведение вероятностей «успеха» для каждого из приятелей:

$P_4(4) = p^4 = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$

б) никому не достался вопрос, который он выучил;

Это событие означает, что все 4 приятеля получили невыученные вопросы. То есть, произошло 0 «успехов» из 4 ($k=0, n=4$). Вероятность этого события — произведение вероятностей «неудачи» для каждого:

$P_4(0) = q^4 = (\frac{3}{4})^4 = \frac{81}{256}$.

Ответ: $\frac{81}{256}$

в) только одному из них достался тот вопрос, который он не выучил;

Это событие означает, что ровно у одного приятеля была «неудача», а у остальных трёх — «успехи». Это соответствует $k=3$ «успехам» в $n=4$ испытаниях. Используем формулу Бернулли:

$P_4(3) = C_4^3 p^3 q^{4-3} = \frac{4!}{3!1!} \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{3}{4})^1 = 4 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}$.

Ответ: $\frac{3}{64}$

г) хотя бы одному из них достался тот вопрос, который он выучил.

Событие «хотя бы одному достался выученный вопрос» является противоположным событию «никому не достался выученный вопрос». Вероятность второго мы уже вычислили в пункте б), она равна $\frac{81}{256}$.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, поэтому искомая вероятность равна:

$P(\text{хотя бы 1 успех}) = 1 - P(\text{0 успехов}) = 1 - \frac{81}{256} = \frac{256 - 81}{256} = \frac{175}{256}$.

Ответ: $\frac{175}{256}$

1. Для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Какое из утверждений верно:

а) функция убывает на $X$;

б) функция возрастает на $X$;

в) функция немонотонна на $X$?

Вопрос касается связи между знаком первой производной функции и ее монотонностью.

Основное правило, связывающее производную и поведение функции, заключается в следующем:

• Если производная функции $f'(x)$ положительна на некотором промежутке $X$ (то есть $f'(x) > 0$ для всех $x \in X$), то функция $y = f(x)$ возрастает на этом промежутке.
• Если производная функции $f'(x)$ отрицательна на некотором промежутке $X$ (то есть $f'(x) < 0$ для всех $x \in X$), то функция $y = f(x)$ убывает на этом промежутке.

В условии задачи дано, что на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$. Это означает, что производная функции положительна на всем рассматриваемом промежутке.

Рассмотрим предложенные варианты ответов:

а) функция убывает на X;
Это утверждение неверно. Для убывания функции необходимо, чтобы ее производная была отрицательна ($f'(x) < 0$), что прямо противоречит условию задачи.

б) функция возрастает на X;
Это утверждение верно. Поскольку $f'(x) > 0$ на всем промежутке $X$, согласно достаточному условию возрастания функции, функция $y = f(x)$ является возрастающей на этом промежутке. Это значит, что для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

в) функция немонотонна на X?
Это утверждение неверно. Немонотонная функция имеет на промежутке участки и возрастания, и убывания. В данном случае знак производной постоянен ($f'(x) > 0$), следовательно, функция строго монотонна на всем промежутке $X$.

Таким образом, единственное верное утверждение — это б).

Ответ: б) функция возрастает на X.

2. Для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Какое из утверждений верно:

a) функция убывает на $X$;

б) функция возрастает на $X$;

в) функция немонотонна на $X$?

Для определения характера монотонности функции $y = f(x)$ на заданном промежутке $X$ используется её первая производная $f'(x)$. Существует фундаментальное правило в дифференциальном исчислении, которое связывает знак производной с поведением функции (достаточное условие монотонности):

• Если во всех точках промежутка $X$ выполняется неравенство $f'(x) > 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает.
• Если во всех точках промежутка $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$, то функция $f(x)$ на этом промежутке убывает.

В условии задачи дано, что на промежутке $X$ выполняется неравенство $f'(x) < 0$. Это означает, что первая производная функции отрицательна на всем рассматриваемом промежутке.

Исходя из этого, проанализируем предложенные утверждения:

а) функция убывает на X
Это утверждение является прямым следствием правила, упомянутого выше. Поскольку $f'(x) < 0$ на всем промежутке $X$, функция является убывающей на этом промежутке. Таким образом, это утверждение верно.

б) функция возрастает на X
Это утверждение неверно. Для возрастания функции на промежутке $X$ необходимо, чтобы ее производная была положительной ($f'(x) > 0$), что противоречит условию задачи.

в) функция немонотонна на X
Это утверждение также неверно. Функция является немонотонной на промежутке, если на нем есть участки и возрастания, и убывания. Это означало бы, что производная $f'(x)$ должна менять свой знак на промежутке $X$. Однако, по условию, знак производной постоянен и отрицателен. Следовательно, функция является монотонной (конкретно, монотонно убывающей).

Ответ: а) функция убывает на X.

3. Известно, что для функции $y = f(x)$ на интервале $(2; 7)$ выполняется равенство $f'(x) = 0$ и что $f(5) = 3.7$. Вычислите:

а) $f(3)$;

б) $f(\sqrt{45})$;

в) $f(4\frac{1}{3}) - f(8 \sin \frac{\pi}{6})$.

По условию задачи, на интервале $(2; 7)$ производная функции $f'(x) = 0$. Из этого следует, что на данном интервале функция $y = f(x)$ является постоянной (константой). То есть, $f(x) = C$ для любого $x$, принадлежащего интервалу $(2; 7)$, где $C$ — некоторое число.

Нам также известно, что $f(5) = 3,7$. Поскольку точка $x = 5$ принадлежит интервалу $(2; 7)$, мы можем определить значение этой константы: $C = f(5) = 3,7$.

Таким образом, для любого значения аргумента $x$ из интервала $(2; 7)$ значение функции будет равно $3,7$.

а) Требуется вычислить $f(3)$. Аргумент $x = 3$. Проверим, принадлежит ли эта точка интервалу $(2; 7)$. Неравенство $2 < 3 < 7$ является верным, следовательно, точка принадлежит интервалу. Значит, значение функции в этой точке равно константе. $f(3) = 3,7$.
Ответ: 3,7.

б) Требуется вычислить $f(\sqrt{45})$. Аргумент $x = \sqrt{45}$. Оценим его значение, чтобы проверить принадлежность интервалу $(2; 7)$. Мы знаем, что $6^2 = 36$ и $7^2 = 49$. Так как $36 < 45 < 49$, то, извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем $\sqrt{36} < \sqrt{45} < \sqrt{49}$, то есть $6 < \sqrt{45} < 7$. Поскольку $2 < 6$, то $2 < \sqrt{45} < 7$, следовательно, точка принадлежит заданному интервалу. Значит, значение функции в этой точке также равно константе. $f(\sqrt{45}) = 3,7$.
Ответ: 3,7.

в) Требуется вычислить разность $f(4\frac{1}{3}) - f(8 \sin\frac{\pi}{6})$. Для этого найдем значение каждого из двух слагаемых.
1. Первый член: $f(4\frac{1}{3})$. Аргумент $x_1 = 4\frac{1}{3}$. Так как $2 < 4\frac{1}{3} < 7$, точка принадлежит интервалу $(2; 7)$. Следовательно, $f(4\frac{1}{3}) = 3,7$.
2. Второй член: $f(8 \sin\frac{\pi}{6})$. Сначала вычислим аргумент функции: $x_2 = 8 \sin\frac{\pi}{6}$. Значение синуса $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, поэтому $x_2 = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$. Так как $2 < 4 < 7$, эта точка также принадлежит интервалу $(2; 7)$. Следовательно, $f(8 \sin\frac{\pi}{6}) = f(4) = 3,7$.
3. Теперь вычислим итоговое выражение: $f(4\frac{1}{3}) - f(8 \sin\frac{\pi}{6}) = 3,7 - 3,7 = 0$.
Ответ: 0.

4. Что такое точка минимума функции, что такое точка максимума?

Точка минимума функции

Точка $x_0$ называется точкой минимума (или точкой локального минимума) функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ для некоторого $\delta > 0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$.

Простыми словами, это точка на оси абсцисс, в которой значение функции является наименьшим по сравнению со значениями в ближайших к ней точках. На графике функции такая точка соответствует "нижней точке впадины" или "дну ямы". Важно не путать точку минимума $x_0$ (значение аргумента) и минимум функции $f(x_0)$ (значение самой функции в этой точке).

Для нахождения точек минимума дифференцируемой функции используют производную. Необходимым условием является равенство производной нулю в этой точке: $f'(x_0)=0$ (или производная не существует). Такая точка называется критической. Достаточным условием является смена знака производной при переходе через точку $x_0$ с минуса на плюс.

Ответ: Точка минимума функции — это такое значение аргумента $x_0$, при котором значение функции $f(x_0)$ является наименьшим в некоторой локальной окрестности этой точки. На графике это точка, где убывание функции сменяется возрастанием.

Точка максимума функции

Точка $x_0$ называется точкой максимума (или точкой локального максимума) функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, например, интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ для некоторого $\delta > 0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$.

Иными словами, это точка на оси абсцисс, в которой значение функции является наибольшим по сравнению со значениями в соседних точках. На графике функции такая точка соответствует "вершине холма". Также следует различать точку максимума $x_0$ (аргумент) и максимум функции $f(x_0)$ (значение).

Точки максимума, как и точки минимума, ищут среди критических точек, где производная $f'(x_0)=0$ или не существует. Достаточным условием для того, чтобы критическая точка была точкой максимума, является смена знака производной при переходе через эту точку с плюса на минус.

Ответ: Точка максимума функции — это такое значение аргумента $x_0$, при котором значение функции $f(x_0)$ является наибольшим в некоторой локальной окрестности этой точки. На графике это точка, где возрастание функции сменяется убыванием.

Точки минимума и максимума функции объединяют общим названием — точки экстремума.