Страница 208, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

52.3 Вычислите:

a) $\frac{7! + 8!}{5! + 6!}$;

б) $\frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!}$;

В) $\frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} - \frac{49}{7!}$;

Г) $\frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 - (9!)^2}{(8!)^2 - (7!)^2}$.

а) Вычислим значение выражения $ \frac{7! + 8!}{5! + 6!} $. Воспользуемся свойством факториала $ n! = n \cdot (n-1)! $. Преобразуем числитель, вынеся за скобки $ 7! $: $ 7! + 8! = 7! + 8 \cdot 7! = 7! \cdot (1 + 8) = 9 \cdot 7! $ Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки $ 5! $: $ 5! + 6! = 5! + 6 \cdot 5! = 5! \cdot (1 + 6) = 7 \cdot 5! $ Подставим полученные выражения в дробь: $ \frac{9 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} $ Теперь сократим факториалы: $ \frac{9 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{7 \cdot 5!} = 9 \cdot 6 = 54 $
Ответ: 54

б) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{4!} + \frac{10}{5!} + \frac{630}{6!} $. Приведем все дроби к общему знаменателю $ 6! $. Напомним, что $ 5! = 5 \cdot 4! $ и $ 6! = 6 \cdot 5! = 6 \cdot 5 \cdot 4! = 30 \cdot 4! $. $ \frac{1}{4!} = \frac{1 \cdot 5 \cdot 6}{6!} = \frac{30}{6!} $ $ \frac{10}{5!} = \frac{10 \cdot 6}{6!} = \frac{60}{6!} $ Теперь сложим дроби: $ \frac{30}{6!} + \frac{60}{6!} + \frac{630}{6!} = \frac{30 + 60 + 630}{6!} = \frac{720}{6!} $ Так как $ 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720 $, то: $ \frac{720}{720} = 1 $
Ответ: 1

в) Вычислим значение выражения $ \frac{1}{6!} + \frac{1}{5!} - \frac{49}{7!} $. Приведем все дроби к общему знаменателю $ 7! $. $ 7! = 7 \cdot 6! $ и $ 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5! = 42 \cdot 5! $. $ \frac{1}{6!} = \frac{7}{7 \cdot 6!} = \frac{7}{7!} $ $ \frac{1}{5!} = \frac{7 \cdot 6}{7 \cdot 6 \cdot 5!} = \frac{42}{7!} $ Подставим полученные дроби в выражение: $ \frac{7}{7!} + \frac{42}{7!} - \frac{49}{7!} = \frac{7 + 42 - 49}{7!} = \frac{49 - 49}{7!} = \frac{0}{7!} = 0 $
Ответ: 0

г) Вычислим значение выражения $ \frac{7}{11} \cdot \frac{(10!)^2 - (9!)^2}{(8!)^2 - (7!)^2} $. Используем формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя и знаменателя дроби. Числитель: $ (10!)^2 - (9!)^2 = (10! - 9!)(10! + 9!) $. $ 10! - 9! = (10 \cdot 9!) - 9! = 9!(10 - 1) = 9 \cdot 9! $ $ 10! + 9! = (10 \cdot 9!) + 9! = 9!(10 + 1) = 11 \cdot 9! $ Произведение: $ (9 \cdot 9!) \cdot (11 \cdot 9!) = 99 \cdot (9!)^2 $. Знаменатель: $ (8!)^2 - (7!)^2 = (8! - 7!)(8! + 7!) $. $ 8! - 7! = (8 \cdot 7!) - 7! = 7!(8 - 1) = 7 \cdot 7! $ $ 8! + 7! = (8 \cdot 7!) + 7! = 7!(8 + 1) = 9 \cdot 7! $ Произведение: $ (7 \cdot 7!) \cdot (9 \cdot 7!) = 63 \cdot (7!)^2 $. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение: $ \frac{7}{11} \cdot \frac{99 \cdot (9!)^2}{63 \cdot (7!)^2} $ Перегруппируем множители: $ \frac{7 \cdot 99}{11 \cdot 63} \cdot \frac{(9!)^2}{(7!)^2} = \frac{7 \cdot (9 \cdot 11)}{11 \cdot (9 \cdot 7)} \cdot \left(\frac{9!}{7!}\right)^2 $ Коэффициенты сокращаются: $ \frac{693}{693} = 1 $. Вычислим отношение факториалов: $ \frac{9!}{7!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72 $ Таким образом, выражение упрощается до: $ 1 \cdot (72)^2 = 5184 $
Ответ: 5184

52.5 Сколькими нулями оканчивается число:

а) $10!$;

б) $15!$;

в) $26!$;

г) $100!$?

Количество нулей на конце числа $n!$ (n-факториал) равно количеству множителей 10 в его разложении на простые множители. Так как $10 = 2 \times 5$, а множителей 2 в разложении $n!$ всегда больше, чем множителей 5, то количество нулей определяется исключительно количеством множителей 5.

Для подсчета количества множителей 5 в разложении $n!$ используется формула Лежандра: $$ N = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{5^k} \rfloor = \lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{25} \rfloor + \lfloor \frac{n}{125} \rfloor + \dots $$ где $\lfloor x \rfloor$ — это целая часть числа $x$.

а) 10!

Для $n=10$ найдем количество множителей 5. $$ N = \lfloor \frac{10}{5} \rfloor + \lfloor \frac{10}{25} \rfloor + \dots = 2 + 0 = 2 $$ Это означает, что в разложении $10!$ на простые множители есть две пятерки (от чисел 5 и 10). Следовательно, число $10!$ оканчивается двумя нулями.

Ответ: 2

б) 15!

Для $n=15$ найдем количество множителей 5. $$ N = \lfloor \frac{15}{5} \rfloor + \lfloor \frac{15}{25} \rfloor + \dots = 3 + 0 = 3 $$ В разложении $15!$ есть три пятерки (от чисел 5, 10, 15). Следовательно, число $15!$ оканчивается тремя нулями.

Ответ: 3

в) 26!

Для $n=26$ найдем количество множителей 5. $$ N = \lfloor \frac{26}{5} \rfloor + \lfloor \frac{26}{25} \rfloor + \lfloor \frac{26}{125} \rfloor + \dots = 5 + 1 + 0 = 6 $$ В разложении $26!$ есть шесть пятерок: по одной от чисел 5, 10, 15, 20 и две от числа 25 (поскольку $25=5^2$). Итого $4+2=6$. Следовательно, число $26!$ оканчивается шестью нулями.

Ответ: 6

г) 100!

Для $n=100$ найдем количество множителей 5. $$ N = \lfloor \frac{100}{5} \rfloor + \lfloor \frac{100}{25} \rfloor + \lfloor \frac{100}{125} \rfloor + \dots = 20 + 4 + 0 = 24 $$ Первый член $\lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20$ дает количество чисел, кратных 5. Второй член $\lfloor \frac{100}{25} \rfloor = 4$ добавляет еще по одной пятерке для чисел, кратных 25 (это числа 25, 50, 75, 100). Следовательно, число $100!$ оканчивается 24 нулями.

Ответ: 24

52.7 Важен или нет порядок в следующих выборах:

а) капитан волейбольной команды и его заместитель;

б) три ноты в аккорде;

в) «шесть человек останутся убирать класс!»?

Придумайте 4 различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух — нет.

а) капитан волейбольной команды и его заместитель;

В данном случае порядок выбора важен. Если мы выбираем двух человек, например, Ивана и Петра, то ситуация «Иван — капитан, а Петр — его заместитель» отличается от ситуации «Петр — капитан, а Иван — его заместитель». Роли (капитан и заместитель) не являются равнозначными, поэтому перестановка выбранных людей меняет итоговый результат. В комбинаторике такие выборки, в которых важен порядок элементов, называются размещениями. Если в команде $n$ человек, то количество способов выбрать капитана и заместителя равно числу размещений из $n$ по 2: $A_n^2 = n(n-1)$.

Ответ: важен.

б) три ноты в аккорде;

В музыке аккорд — это одновременное звучание нескольких нот (в данном случае, трех). Так как ноты звучат одновременно, порядок, в котором мы их называем или выбираем, не влияет на итоговое звучание. Например, до-мажорный аккорд состоит из нот «до», «ми», «соль». Неважно, в какой последовательности мы их перечислим — итоговый аккорд будет тем же. Следовательно, порядок выбора не важен. Такие выборки, в которых порядок не важен, называются сочетаниями. Количество возможных трезвучий из 12 нот хроматической гаммы равно числу сочетаний из 12 по 3: $C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220$.

Ответ: не важен.

в) «шесть человек останутся убирать класс!»?

Здесь мы выбираем группу из шести человек для выполнения одной и той же задачи — уборки класса. Внутри этой группы нет распределения ролей или обязанностей, все шестеро равноправны. Поэтому не имеет значения, в каком порядке были выбраны эти шесть человек. Группа, состоящая из учеников {А, Б, В, Г, Д, Е}, ничем не отличается от группы {Е, Д, Г, В, Б, А}. Порядок выбора не важен. Это задача на сочетания. Если в классе $n$ учеников, то количество способов выбрать 6 дежурных равно числу сочетаний из $n$ по 6: $C_n^6 = \frac{n!}{6!(n-6)!}$.

Ответ: не важен.

Придумайте 4 различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух — нет.

Ситуации, в которых порядок важен (размещения):

1. Распределение призовых мест. В финальном забеге на 100 метров участвуют 8 спортсменов. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали? Здесь важен не только состав тройки призеров, но и кто какое место займет.

2. Составление пароля. Пароль от почтового ящика состоит из определенной последовательности символов. Если поменять символы местами, пароль станет неверным. Например, «qwe123» и «321ewq» — это разные пароли.

Ситуации, в которых порядок не важен (сочетания):

1. Выбор фруктов для покупки. Для покупки нужно выбрать 4 вида фруктов из 10 имеющихся в магазине. Порядок, в котором фрукты кладут в корзину, не изменит итоговый набор продуктов.

2. Формирование туристической группы. Из 25 человек нужно выбрать 5 для поездки в другой город. Если все участники поездки имеют равные права и обязанности, то порядок их выбора не имеет значения.

Ответ:
Две ситуации, где порядок важен: 1) распределение трех призовых мест (золото, серебро, бронза) между 8 участниками; 2) составление пароля из набора символов.
Две ситуации, где порядок не важен: 1) выбор 4 видов фруктов из 10 для покупки; 2) выбор 5 туристов из 25 человек для формирования группы.

52.2 В шахматном зале — 5 столов. Для проведения игры за каждый стол садится по одному шахматисту из двух встречающихся команд. В каждой команде 5 шахматистов.

а) Найдите число всех возможных составов матча (Иванов — Петров, Сидоров — Каспаров и т. д.).

б) То же, но для двух независимо проводимых матчей.

в) То же, но если во втором матче за тремя выбранными столами играют по три лучших шахматиста из каждой команды.

г) То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой.

а)

Для составления пар на матч необходимо определить, кто из игроков первой команды будет играть за каждым из 5 столов, и кто из игроков второй команды будет их соперником за тем же столом.

Сначала рассадим игроков первой команды. У нас есть 5 игроков и 5 столов. Число способов рассадить 5 игроков по 5 разным столам равно числу перестановок из 5 элементов:
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ способов.

Аналогично, число способов рассадить 5 игроков второй команды по 5 столам также равно $5!$:
$P_5 = 5! = 120$ способов.

Поскольку выбор рассадки для первой команды и для второй независимы, общее число всех возможных составов матча находится произведением этих двух величин:
$N = 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400$.

Ответ: $14400$.

б)

Здесь речь идет о двух независимо проводимых матчах. Для каждого из матчей число возможных составов такое же, как и в пункте а), то есть $14400$.

Поскольку матчи проводятся независимо, общее число возможных составов для двух матчей будет равно произведению числа составов для каждого матча:
$N_{total} = N_1 \times N_2 = (5! \times 5!)^2 = 14400^2 = 207360000$.

Ответ: $207360000$.

в)

В этом случае мы снова имеем два независимых матча, но для второго матча есть дополнительные условия.

Число составов для первого матча остается таким же, как в пункте а):
$N_1 = 5! \times 5! = 14400$.

Теперь рассчитаем число составов для второго матча.
1. Сначала нужно выбрать 3 стола из 5, за которыми будут играть лучшие шахматисты. Число способов сделать это равно числу сочетаний из 5 по 3:
$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.
2. За этими тремя столами нужно рассадить трех лучших игроков из каждой команды. Число способов рассадить 3 лучших игроков первой команды по этим 3 столам равно $3! = 6$. Число способов рассадить 3 лучших игроков второй команды равно $3! = 6$. Итого: $3! \times 3! = 36$ способов.
3. За оставшимися $5 - 3 = 2$ столами нужно рассадить оставшихся $5 - 3 = 2$ игроков из каждой команды. Число способов для игроков первой команды равно $2! = 2$. Число способов для игроков второй команды равно $2! = 2$. Итого: $2! \times 2! = 4$ способа.

Таким образом, общее число составов для второго матча ($N_2$) равно произведению этих величин:
$N_2 = C_5^3 \times (3! \times 3!) \times (2! \times 2!) = 10 \times 36 \times 4 = 1440$.

Общее число составов для двух матчей равно произведению $N_1$ и $N_2$:
$N_{total} = N_1 \times N_2 = 14400 \times 1440 = 20736000$.

Ответ: $20736000$.

г)

Этот пункт похож на предыдущий. Мы имеем два независимых матча, но с другим условием для второго матча.

Число составов для первого матча:
$N_1 = 5! \times 5! = 14400$.

Рассчитаем число составов для второго матча, где капитаны команд обязательно играют между собой.
1. Сначала выберем один стол из пяти для игры капитанов. Это можно сделать $C_5^1 = 5$ способами.
2. Капитаны садятся за этот стол (1 способ).
3. Остаются 4 стола и по 4 игрока в каждой команде. Число способов рассадить 4 игроков первой команды по 4 столам равно $4! = 24$.
4. Число способов рассадить 4 игроков второй команды по этим же 4 столам также равно $4! = 24$.

Общее число составов для второго матча ($N_2$) равно:
$N_2 = 5 \times 4! \times 4! = 5 \times 24 \times 24 = 5 \times 576 = 2880$.

Общее число составов для двух матчей равно произведению $N_1$ и $N_2$:
$N_{total} = N_1 \times N_2 = 14400 \times 2880 = 41472000$.

Ответ: $41472000$.

52.4 Найдите наименьшее натуральное число n, для которого:

а) верно неравенство $(n + 1)! > (0,99n + 5) \cdot n!$;

б) верно неравенство $(n + 1)! > (n + 333) \cdot (n - 1)!$;

в) число $\frac{2^n}{n!}$ меньше единицы;

г) число $n!$ составляет более $1000 \%$ от числа $(n - 1)!$

а) Исходное неравенство: $(n + 1)! > (0,99n + 5) \cdot n!$. Мы ищем наименьшее натуральное число $n$, для которого это неравенство верно. Используем определение факториала: $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$. Подставив это в неравенство, получаем:$(n + 1) \cdot n! > (0,99n + 5) \cdot n!$.Поскольку $n$ — натуральное число, $n!$ является положительным числом. Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $n!$, не меняя знака неравенства:$n + 1 > 0,99n + 5$.Теперь решим это линейное неравенство:$n - 0,99n > 5 - 1$$0,01n > 4$Умножим обе части на 100, чтобы избавиться от дроби:$n > 400$.Наименьшее натуральное число $n$, которое удовлетворяет условию $n > 400$, это 401.Ответ: 401

б) Исходное неравенство: $(n + 1)! > (n + 333) \cdot (n - 1)!$. Для натуральных $n \ge 1$ выражение $(n - 1)!$ определено. Используем свойство факториала: $(n + 1)! = (n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!$. Подставим это в неравенство:$(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)! > (n + 333) \cdot (n - 1)!$.Поскольку $(n - 1)! > 0$ для всех натуральных $n$, мы можем разделить обе части неравенства на $(n - 1)!$:$n(n + 1) > n + 333$.Раскроем скобки и упростим неравенство:$n^2 + n > n + 333$$n^2 > 333$.Теперь нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, квадрат которого больше 333. Проверим квадраты целых чисел, близких к $\sqrt{333}$:$18^2 = 324$$19^2 = 361$.Так как $18^2 = 324 < 333$, а $19^2 = 361 > 333$, то наименьшее натуральное число $n$, удовлетворяющее неравенству $n^2 > 333$, это 19.Ответ: 19

в) Нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, для которого число $\frac{2^n}{n!}$ меньше единицы. Запишем это в виде неравенства:$\frac{2^n}{n!} < 1$.Проверим значения этого выражения для первых нескольких натуральных чисел $n$:

• при $n=1: \frac{2^1}{1!} = \frac{2}{1} = 2$, что не меньше 1.
• при $n=2: \frac{2^2}{2!} = \frac{4}{2} = 2$, что не меньше 1.
• при $n=3: \frac{2^3}{3!} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} > 1$, что не меньше 1.
• при $n=4: \frac{2^4}{4!} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} < 1$.

Впервые неравенство выполняется при $n=4$. Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее данному условию, это 4.Ответ: 4

г) Условие "число $n!$ составляет более 1000 % от числа $(n - 1)!$" означает, что $n!$ строго больше, чем 1000% от $(n - 1)!$. Переведем проценты в коэффициент: $1000\% = \frac{1000}{100} = 10$. Таким образом, условие можно записать в виде неравенства:$n! > 10 \cdot (n - 1)!$.Используя свойство факториала $n! = n \cdot (n - 1)!$, подставим его в неравенство (это справедливо для $n \ge 1$, так как $(n-1)!$ должно быть определено):$n \cdot (n - 1)! > 10 \cdot (n - 1)!$.Поскольку $(n-1)! > 0$ для $n \ge 1$, мы можем разделить обе части на $(n - 1)!$:$n > 10$.Наименьшее натуральное число $n$, которое больше 10, это 11.Ответ: 11

52.6 В правильном 17-угольнике провели все стороны и все диагонали.

а) Сколько всего провели отрезков?

б) Сколько провели сторон?

в) Сколько провели диагоналей?

г) Сколько диагоналей, которые отсекают треугольник от 17-угольника?

а) Сколько всего провели отрезков?

В правильном 17-угольнике 17 вершин. Любой отрезок, соединяющий две вершины, является либо стороной, либо диагональю. Чтобы найти общее количество таких отрезков, нужно посчитать, сколькими способами можно выбрать 2 вершины из 17. Это задача на нахождение числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле: $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае, $n=17$ (число вершин), а $k=2$ (число вершин, необходимых для построения отрезка). Подставляем значения в формулу:

$C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2!15!} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$.

Ответ: 136

б) Сколько провели сторон?

По определению, многоугольник с $n$ вершинами (n-угольник) имеет $n$ сторон. Так как дан правильный 17-угольник, у него 17 сторон. В условии сказано, что провели все стороны.

Ответ: 17

в) Сколько провели диагоналей?

Все отрезки, соединяющие вершины многоугольника, делятся на стороны и диагонали. Из пункта (а) мы знаем, что общее число отрезков равно 136. Из пункта (б) мы знаем, что число сторон равно 17.

Чтобы найти число диагоналей, нужно из общего числа отрезков вычесть число сторон:

Число диагоналей = $136 - 17 = 119$.

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа диагоналей в $n$-угольнике: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

При $n=17$ получаем: $D = \frac{17(17-3)}{2} = \frac{17 \times 14}{2} = 17 \times 7 = 119$.

Ответ: 119

г) Сколько диагоналей, которые отсекают треугольник от 17-угольника?

Диагональ отсекает от многоугольника треугольник в том случае, если она соединяет две вершины, между которыми вдоль границы многоугольника лежит ровно одна другая вершина. Такие диагонали являются самыми короткими.

Пусть вершины 17-угольника пронумерованы от 1 до 17. Диагональ, соединяющая, например, вершину 1 и вершину 3, вместе со сторонами (1, 2) и (2, 3) образует треугольник с вершинами 1, 2, 3. Этот треугольник "отсекается" от основной фигуры.

Для каждой вершины 17-угольника существует ровно одна такая диагональ, если мы будем двигаться в одном направлении по периметру (например, по часовой стрелке). Например, от вершины 1 идет диагональ к вершине 3, от вершины 2 — к вершине 4, ..., от вершины 16 — к вершине 1, от вершины 17 — к вершине 2. Каждая такая диагональ уникальна.

Таким образом, количество диагоналей, отсекающих треугольник, равно количеству вершин многоугольника.

Ответ: 17