Страница 205, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

50.11 Выполните задания, исходя из данных, приведённых перед задач 50.8:

а) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по литературе.

б) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по русскому языку.

в) По какому предмету отметки в среднем выше?

г) По какому предмету отметки имеют более устойчивый характер?

Для решения задачи воспользуемся данными об отметках, приведёнными перед задачей 50.8 (данные об успеваемости ученика 9 класса):

• Отметки по литературе: 4, 4, 3, 5.
• Отметки по русскому языку: 3, 4, 4, 5, 4, 3, 4.

а) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по литературе.

Имеем ряд отметок по литературе: 4, 4, 3, 5. Общее количество отметок $n = 4$.

1. Найдем среднее арифметическое (математическое ожидание) ряда отметок:
$\bar{x}_{лит} = \frac{4 + 4 + 3 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

2. Вычислим дисперсию $D$. Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего.
Формула дисперсии: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$.
Отклонения от среднего: $(4-4)$, $(4-4)$, $(3-4)$, $(5-4)$, то есть 0, 0, -1, 1.
Квадраты отклонений: $0^2=0$, $0^2=0$, $(-1)^2=1$, $1^2=1$.
Сумма квадратов отклонений: $0 + 0 + 1 + 1 = 2$.
Дисперсия: $D_{лит} = \frac{2}{4} = 0.5$.

3. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma$ (в задаче названо "среднее квадратичное распределения"), которое равно квадратному корню из дисперсии:
$\sigma_{лит} = \sqrt{D_{лит}} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$.

Ответ: дисперсия равна 0.5, среднее квадратичное отклонение приблизительно равно 0.707.

б) Вычислите дисперсию и среднее квадратичное распределения отметок по русскому языку.

Имеем ряд отметок по русскому языку: 3, 4, 4, 5, 4, 3, 4. Общее количество отметок $n = 7$.

1. Найдем среднее арифметическое ряда отметок:
$\bar{x}_{рус} = \frac{3 + 4 + 4 + 5 + 4 + 3 + 4}{7} = \frac{27}{7}$.

2. Вычислим дисперсию $D_{рус}$.
Найдем сумму квадратов отклонений от среднего ($\bar{x}_{рус} = \frac{27}{7}$):
$\sum(x_i - \bar{x})^2 = 2 \cdot (3 - \frac{27}{7})^2 + 4 \cdot (4 - \frac{27}{7})^2 + 1 \cdot (5 - \frac{27}{7})^2$
$= 2 \cdot (-\frac{6}{7})^2 + 4 \cdot (\frac{1}{7})^2 + 1 \cdot (\frac{8}{7})^2$
$= 2 \cdot \frac{36}{49} + 4 \cdot \frac{1}{49} + \frac{64}{49} = \frac{72 + 4 + 64}{49} = \frac{140}{49} = \frac{20}{7}$.
Теперь вычислим дисперсию по формуле $D = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}$:
$D_{рус} = \frac{20/7}{7} = \frac{20}{49}$.

3. Вычислим среднее квадратичное отклонение $\sigma_{рус}$:
$\sigma_{рус} = \sqrt{D_{рус}} = \sqrt{\frac{20}{49}} = \frac{\sqrt{20}}{7} = \frac{2\sqrt{5}}{7} \approx 0.639$.

Ответ: дисперсия равна $\frac{20}{49}$, среднее квадратичное отклонение приблизительно равно 0.639.

в) По какому предмету отметки в среднем выше?

Для ответа на этот вопрос сравним средние арифметические отметок по двум предметам.
Средняя отметка по литературе: $\bar{x}_{лит} = 4$.
Средняя отметка по русскому языку: $\bar{x}_{рус} = \frac{27}{7} \approx 3.857$.
Сравним значения: $4 > \frac{27}{7}$, так как $4 = \frac{28}{7}$.
Следовательно, средняя отметка по литературе выше.

Ответ: по литературе.

г) По какому предмету отметки имеют более устойчивый характер?

Устойчивость (или стабильность) ряда данных характеризуется мерой разброса. Чем меньше разброс (дисперсия или среднее квадратичное отклонение), тем более устойчивым является ряд.
Сравним дисперсии отметок по двум предметам:
Дисперсия по литературе: $D_{лит} = 0.5 = \frac{1}{2}$.
Дисперсия по русскому языку: $D_{рус} = \frac{20}{49}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 98, чтобы их сравнить: $D_{лит} = \frac{1}{2} = \frac{49}{98}$, а $D_{рус} = \frac{20}{49} = \frac{40}{98}$.
Так как $\frac{40}{98} < \frac{49}{98}$, то $D_{рус} < D_{лит}$.
Это означает, что разброс отметок по русскому языку меньше, следовательно, они имеют более устойчивый характер.

Ответ: по русскому языку.

51.2 На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: $-4, -1, 1, 4, 8$ (повторения допускаются). Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что она лежит:

а) правее оси ординат;

б) ниже оси абсцисс;

в) в четвёртой координатной четверти;

г) ниже прямой $y = x$.

По условию задачи, абсцисса $x$ и ордината $y$ каждой точки выбираются из множества чисел $S = \{-4, -1, 1, 4, 8\}$. Это множество состоит из 5 элементов.

Так как выбор абсциссы и ординаты происходит независимо и с повторениями, общее число всех возможных точек $(x, y)$ равно произведению числа вариантов для $x$ и числа вариантов для $y$.

Общее число исходов $N = 5 \times 5 = 25$.

Вероятность любого события $A$ будем вычислять по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число равновозможных исходов.

а) правее оси ординат
Точка лежит правее оси ординат (оси $Oy$), если её абсцисса $x$ является положительным числом, то есть $x > 0$. Из множества $S$ этому условию удовлетворяют три числа: $\{1, 4, 8\}$. Ордината $y$ при этом может быть любой из пяти чисел в множестве $S$.
Таким образом, число благоприятных исходов $m_a$ равно: $m_a = 3 \times 5 = 15$.
Вероятность того, что выбранная точка лежит правее оси ординат, равна:
$P_a = \frac{m_a}{N} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

б) ниже оси абсцисс
Точка лежит ниже оси абсцисс (оси $Ox$), если её ордината $y$ является отрицательным числом, то есть $y < 0$. Из множества $S$ этому условию удовлетворяют два числа: $\{-4, -1\}$. Абсцисса $x$ может быть любой из пяти чисел в множестве $S$.
Число благоприятных исходов $m_б$ равно: $m_б = 5 \times 2 = 10$.
Вероятность того, что выбранная точка лежит ниже оси абсцисс, равна:
$P_б = \frac{m_б}{N} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

в) в четвёртой координатной четверти
Точка находится в четвёртой координатной четверти, если её абсцисса положительна ($x > 0$), а ордината отрицательна ($y < 0$).
Количество возможных положительных значений для $x$: 3 (числа $1, 4, 8$).
Количество возможных отрицательных значений для $y$: 2 (числа $-4, -1$).
Число благоприятных исходов $m_в$ равно произведению этих количеств: $m_в = 3 \times 2 = 6$.
Вероятность того, что выбранная точка лежит в четвёртой координатной четверти, равна:
$P_в = \frac{m_в}{N} = \frac{6}{25}$.
Ответ: $\frac{6}{25}$.

г) ниже прямой $y = x$
Точка $(x, y)$ лежит ниже прямой $y = x$, если её координаты удовлетворяют неравенству $y < x$. Найдём количество пар $(x,y)$, удовлетворяющих этому условию, перебирая возможные значения $x$ из множества $S$.
- если $x = -4$, то нет значений $y \in S$, которые меньше $-4$ (0 пар);
- если $x = -1$, то подходит $y = -4$ (1 пара);
- если $x = 1$, то подходят $y \in \{-4, -1\}$ (2 пары);
- если $x = 4$, то подходят $y \in \{-4, -1, 1\}$ (3 пары);
- если $x = 8$, то подходят $y \in \{-4, -1, 1, 4\}$ (4 пары).
Суммарное число благоприятных исходов $m_г$ равно: $m_г = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.
Вероятность того, что выбранная точка лежит ниже прямой $y = x$, равна:
$P_г = \frac{m_г}{N} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

51.3 В круге радиусом $\sqrt{3}$ с центром в начале координат отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых являются целыми числами.

Из отмеченных точек случайным образом выбирают одну. Найдите вероятность того, что:

а) она лежит на оси ординат;

б) она лежит не на координатных осях;

в) она лежит в круге радиуса 1 с центром в начале координат;

г) её абсцисса и ордината отличаются более чем на 2.

Сначала определим множество всех точек с целочисленными координатами, которые находятся в круге радиусом $R = \sqrt{3}$ с центром в начале координат. Уравнение границы круга: $x^2 + y^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$. Точки внутри и на границе круга удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \le 3$.

Так как координаты $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2$ и $y^2$ — неотрицательные целые числа. Из неравенства $x^2 \le 3$ и $y^2 \le 3$ следует, что возможные значения для $x$ и $y$ — это $-1, 0, 1$ (поскольку $2^2=4 > 3$ и $(-2)^2=4 > 3$).

Переберём все возможные комбинации целочисленных координат $(x, y)$, где $x, y \in \{-1, 0, 1\}$:

Если $x = -1$, то $(-1)^2 + y^2 \le 3 \implies 1 + y^2 \le 3 \implies y^2 \le 2$. Возможные целые $y$: $-1, 0, 1$. Точки: $(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1)$.

Если $x = 0$, то $0^2 + y^2 \le 3 \implies y^2 \le 3$. Возможные целые $y$: $-1, 0, 1$. Точки: $(0, -1), (0, 0), (0, 1)$.

Если $x = 1$, то $1^2 + y^2 \le 3 \implies 1 + y^2 \le 3 \implies y^2 \le 2$. Возможные целые $y$: $-1, 0, 1$. Точки: $(1, -1), (1, 0), (1, 1)$.

Таким образом, всего существует 9 таких точек. Это множество всех возможных исходов $S$:$S = \{(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)\}$.Общее число отмеченных точек (элементарных исходов) $N = 9$.Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

а) она лежит на оси ординат

Точка лежит на оси ординат (оси OY), если её абсцисса $x$ равна нулю. Из нашего множества точек $S$ выберем те, у которых $x = 0$.

Это точки: $(0, -1)$, $(0, 0)$, $(0, 1)$.

Количество таких точек (благоприятных исходов) $k_a = 3$.

Вероятность $P(a)$ того, что случайно выбранная точка лежит на оси ординат, равна:

$P(a) = \frac{k_a}{N} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) она лежит не на координатных осях

Точка лежит на координатных осях, если её абсцисса $x=0$ или её ордината $y=0$. Точки из множества $S$, лежащие на осях: $(-1, 0)$, $(1, 0)$ (на оси OX) и $(0, -1)$, $(0, 1)$ (на оси OY), а также точка $(0,0)$, лежащая на обеих осях. Всего 5 точек лежат на координатных осях.

Событие "точка лежит не на координатных осях" означает, что нужно найти точки, у которых и $x \neq 0$, и $y \neq 0$.

Количество таких точек (благоприятных исходов) $k_б$ равно общему числу точек минус число точек на осях: $k_б = 9 - 5 = 4$.

Эти точки: $(-1, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$.

Вероятность $P(б)$ равна:

$P(б) = \frac{k_б}{N} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

в) она лежит в круге радиуса 1 с центром в начале координат

Это событие означает, что координаты выбранной точки $(x, y)$ должны удовлетворять неравенству $x^2 + y^2 \le 1^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 1$. Проверим все точки из множества $S$ на соответствие этому условию.

Подходят точки:

$(0, 0)$, так как $0^2 + 0^2 = 0 \le 1$.

$(-1, 0)$, так как $(-1)^2 + 0^2 = 1 \le 1$.

$(1, 0)$, так как $1^2 + 0^2 = 1 \le 1$.

$(0, -1)$, так как $0^2 + (-1)^2 = 1 \le 1$.

$(0, 1)$, так как $0^2 + 1^2 = 1 \le 1$.

Остальные точки не подходят, например, для точки $(1, 1)$ имеем $1^2 + 1^2 = 2 > 1$.

Количество точек, удовлетворяющих условию (благоприятных исходов), $k_в = 5$.

Вероятность $P(в)$ равна:

$P(в) = \frac{k_в}{N} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

г) её абсцисса и ордината отличаются более чем на 2

Это событие означает, что для координат выбранной точки $(x, y)$ должно выполняться условие $|x - y| > 2$.

Наше множество точек $S$ состоит из пар $(x, y)$, где $x, y \in \{-1, 0, 1\}$.

Максимальное возможное значение разности $|x - y|$ достигается, когда одна координата максимальна (равна 1), а другая минимальна (равна -1). В этом случае $|1 - (-1)| = 2$. Во всех остальных случаях разность будет меньше 2.

Таким образом, для любой точки из нашего множества $S$ выполняется неравенство $|x - y| \le 2$.

Следовательно, нет ни одной точки, для которой $|x - y| > 2$. Количество благоприятных исходов $k_г = 0$.

Вероятность $P(г)$ равна:

$P(г) = \frac{k_г}{N} = \frac{0}{9} = 0$

Ответ: $0$

51.1 Перед новогодним праздником Деду Морозу выдали набор подарков. Все подарки сделаны в виде одинаковых по размеру пластмассовых шаров. Всего в мешок Деда Мороза положили 12 красных, 14 белых, 13 синих и 11 оранжевых шаров. Какова вероятность того, что первый вытащенный подарок будет:

а) белого цвета;

б) красный или оранжевый;

в) одного из цветов российского флага;

г) не оранжевого цвета?

Для решения задачи сперва найдем общее количество шаров в мешке Деда Мороза. Это будет общее число равновозможных исходов, которое мы обозначим как $n$.

$n = 12 \text{ (красных)} + 14 \text{ (белых)} + 13 \text{ (синих)} + 11 \text{ (оранжевых)} = 50$ шаров.

Вероятность любого события $A$ будем вычислять по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $n$ – общее число равновозможных исходов.

а) белого цвета;

Событие A – вытащили шар белого цвета. Число благоприятных исходов $m$ равно количеству белых шаров в мешке, то есть $m = 14$.

Вероятность того, что первый вытащенный подарок будет белого цвета, равна:

$P(A) = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} = 0,28$

Ответ: $0,28$.

б) красный или оранжевый;

Событие B – вытащили шар красного или оранжевого цвета. Число благоприятных исходов $m$ равно сумме красных и оранжевых шаров:

$m = 12 + 11 = 23$

Вероятность того, что первый вытащенный подарок будет красным или оранжевым, равна:

$P(B) = \frac{23}{50} = 0,46$

Ответ: $0,46$.

в) одного из цветов российского флага;

Событие C – вытащили шар одного из цветов российского флага (белый, синий, красный). Число благоприятных исходов $m$ равно сумме шаров этих трех цветов:

$m = 14 \text{ (белых)} + 13 \text{ (синих)} + 12 \text{ (красных)} = 39$

Вероятность того, что первый вытащенный подарок будет одного из цветов российского флага, равна:

$P(C) = \frac{39}{50} = 0,78$

Ответ: $0,78$.

г) не оранжевого цвета?

Событие D – вытащили шар не оранжевого цвета. Это означает, что вытащили шар любого другого цвета (красный, белый или синий). Число благоприятных исходов $m$ равно сумме шаров этих цветов, что мы уже посчитали в пункте "в":

$m = 12 \text{ (красных)} + 14 \text{ (белых)} + 13 \text{ (синих)} = 39$

Также это число можно найти, вычтя из общего количества шаров количество оранжевых:

$m = 50 - 11 = 39$

Вероятность того, что первый вытащенный подарок будет не оранжевого цвета, равна:

$P(D) = \frac{39}{50} = 0,78$

Ответ: $0,78$.