Страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

52.15 Три клавиши из семи клавиш, соответствующих нотам до, ре, ми, фа, соль, ля, си одной октавы, можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочерёдно (трезвучие).

а) Найдите число всех возможных трезвучий.

б) Найдите число всех возможных аккордов.

в) Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту соль.

г) Найдите число всех возможных аккордов, в которых нет подряд идущих нот.

а) Трезвучие — это последовательное нажатие трех клавиш из семи. Поскольку порядок нажатия клавиш важен, а ноты не повторяются, мы имеем дело с размещениями без повторений. Нам нужно найти число размещений из 7 элементов по 3. Это можно вычислить по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В данном случае $n=7$ и $k=3$, поэтому число трезвучий равно $A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

Ответ: 210

б) Аккорд — это одновременное нажатие трех клавиш, поэтому порядок нот в нем не важен. Нам нужно выбрать 3 ноты из 7. Это задача на нахождение числа сочетаний из 7 элементов по 3. Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. При $n=7$ и $k=3$ получаем $C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

Ответ: 35

в) Мы ищем аккорды, содержащие ноту "соль". Это значит, что одна из трех нот в аккорде уже выбрана. Нам остается выбрать еще $3 - 1 = 2$ ноты из оставшихся $7 - 1 = 6$ нот. Так как это аккорд, порядок выбора не имеет значения, поэтому мы снова используем сочетания. Число способов выбрать 2 ноты из 6 равно $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.

Ответ: 15

г) Нам нужно найти число аккордов (сочетаний) из 3 нот, в которых нет подряд идущих нот. Семь нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) можно представить как числа от 1 до 7. Задача сводится к тому, чтобы выбрать 3 числа из этого набора так, чтобы никакие два из них не были соседними. Количество таких выборов $k$ элементов из $n$ можно найти по формуле $C_{n-k+1}^k$. В нашем случае $n=7$ и $k=3$. Подставляя значения в формулу, получаем: $C_{7-3+1}^3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Ответ: 10

52.17 За четверть в классе прошли 5 тем по алгебре. Для подготовки к контрольной работе составлено по 10 задач к каждой теме. На контрольной будет по одной задаче из каждой темы. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите:

а) общее число всех вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

Для решения этой задачи воспользуемся правилом умножения в комбинаторике, так как выбор задачи по каждой из 5 тем является независимым событием.

а) общее число всех вариантов контрольной работы;

Контрольная работа состоит из 5 задач, по одной из каждой темы. По каждой теме составлено 10 задач. Следовательно, для выбора задачи по первой теме есть 10 вариантов, по второй — 10, и так далее. Общее число всех возможных вариантов контрольной работы равно произведению числа вариантов для каждой задачи:

$N_{общ} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 100000$

Ответ: 100000 вариантов.

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

Ученик умеет решать 8 из 10 задач в каждой теме. Чтобы вариант контрольной был полностью решаемым для ученика, задача по каждой из 5 тем должна быть выбрана из числа этих 8 задач. Таким образом, для каждой темы есть 8 "успешных" вариантов выбора.

Число таких вариантов равно:

$N_{решает\_все} = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^5 = 32768$

Ответ: 32768 вариантов.

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

В каждой теме ученик не умеет решать $10 - 8 = 2$ задачи. Чтобы ученик не мог решить ни одной задачи, необходимо, чтобы каждая из 5 задач контрольной была выбрана именно из этих двух "нерешаемых" задач для каждой темы.

Число таких вариантов равно:

$N_{не\_решает} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$

Ответ: 32 варианта.

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

Для такого варианта необходимо, чтобы первая задача была из тех, которые ученик решать не умеет (2 варианта выбора), а остальные четыре задачи — из тех, которые он решать умеет (по 8 вариантов выбора для каждой из четырех тем).

Число таких вариантов рассчитывается как произведение:

$N_{кроме\_первой} = 2 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 2 \times 8^4 = 2 \times 4096 = 8192$

Ответ: 8192 варианта.

52.19 Из 20 вопросов к экзамену ученик 12 выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Найдите количество возможных вариантов билета.

б) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?

в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трёх типов?

г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство ответов на вопросы?

а) Для начала определим количество вопросов каждого типа. Всего 20 вопросов.
- Выучил: 12 вопросов.
- Совсем не смотрел: 5 вопросов.
- Знает частично ("остальные"): $20 - 12 - 5 = 3$ вопроса.
Экзаменационный билет состоит из 3 вопросов. Общее количество возможных вариантов билета — это число сочетаний из 20 вопросов по 3, так как порядок вопросов в билете не важен. Используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Количество возможных вариантов билета: $C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 19 \times 6 = 1140$.
Ответ: 1140

б) Условие "ученик знает ответы на все вопросы" означает, что все три вопроса в билете должны быть выбраны из тех, которые он либо выучил (12), либо знает частично (3).
Общее количество вопросов, на которые ученик "знает" ответ, составляет $12 + 3 = 15$.
Следовательно, нужно найти количество способов выбрать 3 вопроса из этих 15.
Количество таких билетов: $C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455$.
Ответ: 455

в) Чтобы в билете были вопросы всех трёх типов, необходимо выбрать по одному вопросу из каждой группы:
- 1 вопрос из 12 выученных;
- 1 вопрос из 5, которые ученик не смотрел;
- 1 вопрос из 3, которые он знает частично.
Количество способов выбрать 1 из 12 выученных: $C_{12}^1 = 12$.
Количество способов выбрать 1 из 5 не просмотренных: $C_5^1 = 5$.
Количество способов выбрать 1 из 3 частично известных: $C_3^1 = 3$.
Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество таких билетов равно произведению этих чисел:
$N = C_{12}^1 \times C_5^1 \times C_3^1 = 12 \times 5 \times 3 = 180$.
Ответ: 180

г) Условие "ученик выучил большинство ответов" для билета из 3 вопросов означает, что 2 или 3 вопроса в билете должны быть из числа 12 выученных. Рассмотрим оба случая.
1. В билете 2 выученных вопроса и 1 невыученный. Невыученных вопросов $5 + 3 = 8$.
Количество способов выбрать 2 выученных вопроса из 12: $C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 66$.
Количество способов выбрать 1 невыученный вопрос из 8: $C_8^1 = 8$.
Количество билетов для этого случая: $C_{12}^2 \times C_8^1 = 66 \times 8 = 528$.
2. В билете все 3 вопроса выученные.
Количество способов выбрать 3 выученных вопроса из 12: $C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$.
Общее количество билетов, в которых ученик выучил большинство ответов, равно сумме вариантов из этих двух случаев:
$N = 528 + 220 = 748$.
Ответ: 748

52.16 Из колоды в 36 карт одновременно выбирают 5 карт. Найдите:

а) число всех возможных вариантов открытых карт;

б) число вариантов, при которых среди открытых карт есть 4 туза;

в) число вариантов, при которых все открытые карты пиковой масти;

г) число вариантов, при которых все открытые карты одной масти.

а) Для нахождения числа всех возможных вариантов выбора 5 карт из 36 необходимо использовать формулу числа сочетаний, так как порядок выбора карт не имеет значения. Формула для числа сочетаний из n по k имеет вид: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае n = 36 (общее количество карт в колоде), а k = 5 (количество выбираемых карт).

Подставляем значения в формулу:

$C_{36}^5 = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5!31!} = \frac{36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 7 \cdot 17 \cdot 11 \cdot 32 = 376992$.

Ответ: 376992.

б) Чтобы среди 5 открытых карт было 4 туза, необходимо выбрать все 4 туза из 4 имеющихся в колоде и еще 1 любую карту из оставшихся.

Число способов выбрать 4 туза из 4 равно $C_4^4 = 1$.

Оставшуюся 1 карту нужно выбрать из карт, которые не являются тузами. Таких карт в колоде $36 - 4 = 32$.

Число способов выбрать 1 карту из 32 равно $C_{32}^1 = 32$.

Общее число вариантов, при которых среди 5 карт будет 4 туза, находится по правилу произведения: $C_4^4 \cdot C_{32}^1 = 1 \cdot 32 = 32$.

Ответ: 32.

в) В колоде из 36 карт 4 масти. Каждая масть содержит $36 / 4 = 9$ карт. Чтобы все 5 открытых карт были пиковой масти, необходимо выбрать 5 карт из 9 карт пиковой масти.

Используем формулу числа сочетаний, где n = 9 (карты пиковой масти), а k = 5 (выбираемые карты).

$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.

Ответ: 126.

г) Чтобы все 5 открытых карт были одной масти, они могут быть либо все пиковой масти, либо все трефовой, либо все бубновой, либо все червовой.

Мы уже вычислили в пункте в), что число вариантов выбрать 5 карт пиковой масти равно 126. Так как количество карт каждой масти одинаково (по 9), число вариантов для любой другой масти будет таким же.

Всего в колоде 4 масти. Поэтому общее число вариантов, при которых все 5 карт одной масти, равно произведению числа мастей на число вариантов для одной масти:

$4 \cdot C_9^5 = 4 \cdot 126 = 504$.

Ответ: 504.

52.18 Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько всего человек встретилось, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой?

а) каждый здоровался с каждым;

Пусть $n$ — общее количество человек. Если каждый здоровался с каждым, то количество рукопожатий $k$ равно числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле:

$k = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

По условию задачи, количество рукопожатий было от 60 до 70, то есть $60 \le k \le 70$. Подставим формулу для $k$ в это неравенство:

$60 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 70$

Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$120 \le n(n-1) \le 140$

Теперь подберем такое целое число $n$, чтобы произведение $n(n-1)$ попало в указанный диапазон. Проверим несколько значений $n$:

• Если $n=11$, то $n(n-1) = 11 \times 10 = 110$. Это значение меньше 120.
• Если $n=12$, то $n(n-1) = 12 \times 11 = 132$. Это значение удовлетворяет неравенству $120 \le 132 \le 140$.
• Если $n=13$, то $n(n-1) = 13 \times 12 = 156$. Это значение больше 140.

Единственное подходящее значение — $n=12$. При этом количество рукопожатий равно $\frac{12 \times 11}{2} = 66$, что находится в интервале [60, 70].

Ответ: 12 человек.

б) только один человек не здоровался ни с кем;

Пусть $n$ — общее количество человек. Один человек не участвовал в рукопожатиях. Значит, здоровались между собой оставшиеся $n-1$ человек. Предположим, что все они пожали друг другу руки.

Тогда количество рукопожатий $k$ равно числу сочетаний из $n-1$ по 2:

$k = C_{n-1}^2 = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$

Используем условие $60 \le k \le 70$:

$60 \le \frac{(n-1)(n-2)}{2} \le 70$

Умножим неравенство на 2:

$120 \le (n-1)(n-2) \le 140$

Это неравенство аналогично тому, что было в пункте (а). Его решением для произведения двух последовательных целых чисел является $132$.

Следовательно, $(n-1)(n-2) = 132$, откуда $n-1 = 12$.

Находим $n$: $n = 12 + 1 = 13$.

В этом случае количество рукопожатий будет $C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$, что удовлетворяет условию.

Ответ: 13 человек.

в) только двое не поздоровались между собой;

Пусть $n$ — общее количество человек. Если бы все $n$ человек поздоровались друг с другом, общее число рукопожатий было бы $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

По условию, двое не пожали друг другу руки, что означает, что одно рукопожатие не состоялось. Значит, фактическое количество рукопожатий $k$ на 1 меньше максимально возможного:

$k = C_n^2 - 1 = \frac{n(n-1)}{2} - 1$

Подставим это в заданный диапазон $60 \le k \le 70$:

$60 \le \frac{n(n-1)}{2} - 1 \le 70$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$61 \le \frac{n(n-1)}{2} \le 71$

Умножим на 2:

$122 \le n(n-1) \le 142$

Подберем целое число $n$:

• Если $n=11$, то $n(n-1) = 110$ (меньше 122).
• Если $n=12$, то $n(n-1) = 132$. Это значение удовлетворяет неравенству $122 \le 132 \le 142$.
• Если $n=13$, то $n(n-1) = 156$ (больше 142).

Подходит только $n=12$. Количество рукопожатий при этом $k = \frac{12 \times 11}{2} - 1 = 66 - 1 = 65$, что находится в интервале [60, 70].

Ответ: 12 человек.

г) четверо поздоровались только между собой?

Пусть $n$ — общее количество человек. Условие "четверо поздоровались только между собой" означает, что группа людей разделилась на две подгруппы, которые не здоровались друг с другом.

Первая подгруппа состоит из 4 человек. Количество рукопожатий внутри этой подгруппы:

$k_1 = C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

Вторая подгруппа состоит из оставшихся $n-4$ человек. Будем считать, что в этой подгруппе каждый поздоровался с каждым. Количество рукопожатий в ней:

$k_2 = C_{n-4}^2 = \frac{(n-4)(n-5)}{2}$

Общее количество рукопожатий $k$ равно сумме рукопожатий в обеих подгруппах: $k = k_1 + k_2$.

$k = 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2}$

Подставим в неравенство $60 \le k \le 70$:

$60 \le 6 + \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 70$

Вычтем 6 из всех частей:

$54 \le \frac{(n-4)(n-5)}{2} \le 64$

Умножим на 2:

$108 \le (n-4)(n-5) \le 128$

Пусть $m = n-4$. Тогда неравенство примет вид $108 \le m(m-1) \le 128$. Подберем целое $m$:

• Если $m=10$, то $m(m-1) = 90$ (меньше 108).
• Если $m=11$, то $m(m-1) = 110$. Это значение удовлетворяет неравенству $108 \le 110 \le 128$.
• Если $m=12$, то $m(m-1) = 132$ (больше 128).

Единственное подходящее значение $m=11$.

Так как $m=n-4$, то $n = m+4 = 11+4 = 15$.

При $n=15$ общее число рукопожатий $k = 6 + C_{11}^2 = 6 + \frac{11 \times 10}{2} = 6 + 55 = 61$, что удовлетворяет условию $60 \le 61 \le 70$.

Ответ: 15 человек.