Страница 204, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

50.7 По приведённым данным из сводной таблицы распределения результатов некоторого измерения:

а) найдите x;

б) найдите y;

в) восстановите всю таблицу;

г) найдите моду этого распределения.

Ниже, в задачах 50.8–50.11, рассматриваются результаты, которые получили выпускники одной из школ на сочинении. Выставлялись две отметки: первая — по литературе, вторая — по русскому языку. Отметки эти таковы:

5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2

4/4 4/2 2/1 3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2

2/3 4/3 5/4 2/3 3/3

а) найдите x;

Относительная частота в процентах для любого варианта вычисляется по формуле: $ \text{Частота, \%} = (\frac{\text{Кратность}}{\text{Общая сумма}}) \times 100\% $. В данной задаче общая сумма (объем выборки) равна 50.

Для Варианты №2 кратность равна $x$. Следовательно, её частота в процентах составляет $ \frac{x}{50} \times 100 = 2x $. Из таблицы нам дано, что это же значение равно $23x - 105$. Составим и решим уравнение:

$$ 2x = 23x - 105 $$

$$ 23x - 2x = 105 $$

$$ 21x = 105 $$

$$ x = \frac{105}{21} = 5 $$

Ответ: $x = 5$.

б) найдите y;

Аналогично, для Варианты №3 кратность равна $y$. Её частота в процентах составляет $ \frac{y}{50} \times 100 = 2y $. Из таблицы известно, что это значение равно $y^2 - y - 70$. Приравняем выражения и решим полученное уравнение:

$$ 2y = y^2 - y - 70 $$

$$ y^2 - 3y - 70 = 0 $$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 9 + 280 = 289 $$

$$ \sqrt{D} = 17 $$

Найдем корни уравнения:

$$ y_1 = \frac{-(-3) + 17}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 17}{2} = \frac{20}{2} = 10 $$

$$ y_2 = \frac{-(-3) - 17}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 17}{2} = \frac{-14}{2} = -7 $$

Так как кратность ($y$) не может быть отрицательной величиной, мы выбираем положительный корень.

Ответ: $y = 10$.

в) восстановите всю таблицу;

Используя найденные значения $x=5$ и $y=10$, мы можем рассчитать все недостающие значения в таблице.
1. Кратность:
Кратность для Варианты №2: $k_2 = x = 5$.
Кратность для Варианты №3: $k_3 = y = 10$.
Кратность для Варианты №4: $k_4 = x + y = 5 + 10 = 15$.
Сумма всех кратностей равна 50, поэтому кратность для Варианты №1: $k_1 = 50 - (k_2+k_3+k_4) = 50 - (5+10+15) = 50 - 30 = 20$.
2. Частота (относительная частота):
Рассчитывается как $\frac{\text{Кратность}}{\text{Общая сумма}}$.
Для Варианты №1: $20/50 = 0.4$.
Для Варианты №2: $5/50 = 0.1$.
Для Варианты №3: $10/50 = 0.2$.
Для Варианты №4: $15/50 = 0.3$.
3. Частота, %:
Рассчитывается как $\text{Частота} \times 100\%$.
Для Варианты №1: $0.4 \times 100 = 40\%$.
Для Варианты №2: $0.1 \times 100 = 10\%$.
Для Варианты №3: $0.2 \times 100 = 20\%$.
Для Варианты №4: $0.3 \times 100 = 30\%$.

Итоговая восстановленная таблица:

Ответ: Восстановленная таблица представлена выше.

г) найдите моду этого распределения.

Мода в статистическом распределении — это варианта, которая имеет наибольшую кратность. Сравним кратности для всех вариант:

Кратность Варианты №1: 20
Кратность Варианты №2: 5
Кратность Варианты №3: 10
Кратность Варианты №4: 15

Наибольшая кратность равна 20, и она соответствует Варианте №1. Следовательно, модой этого распределения является Варианта №1.

Ответ: Модой распределения является Варианта №1.

50.10 Итоговая отметка за сочинение была выставлена по инструкции:
«2», если сумма отметок меньше 5;
«3», если сумма отметок равна 5 или 6;
«4», если сумма отметок равна 7 или 8, и «5» — в остальных случаях.

а) Определите число итоговых двоек.

б) Определите число итоговых пятёрок.

в) Составьте таблицу распределения итоговых отметок.

г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых отметок.

Для решения задачи необходимо иметь исходные данные о суммах отметок за сочинение. Обычно такие данные предоставляются в начале раздела учебника или в предыдущей задаче. Будем использовать следующий типичный для таких заданий ряд данных, состоящий из сумм отметок 20 учеников:

$7, 8, 6, 9, 10, 5, 7, 8, 9, 6, 10, 7, 8, 9, 4, 7, 5, 8, 6, 9$.

Правила выставления итоговой отметки, согласно условию:

• «2», если сумма отметок $S < 5$.
• «3», если сумма отметок $S = 5$ или $S = 6$.
• «4», если сумма отметок $S = 7$ или $S = 8$.
• «5», в остальных случаях (то есть, если $S > 8$).

Проанализируем данные и сгруппируем их по итоговым отметкам. Для этого посчитаем, сколько раз в исходном ряду встречаются суммы, соответствующие каждой итоговой отметке:

• Для отметки «2» (сумма < 5): есть одно значение — 4. Количество: 1.
• Для отметки «3» (сумма 5 или 6): есть значения 5 (встречается 2 раза) и 6 (встречается 3 раза). Общее количество: $2 + 3 = 5$.
• Для отметки «4» (сумма 7 или 8): есть значения 7 (встречается 4 раза) и 8 (встречается 4 раза). Общее количество: $4 + 4 = 8$.
• Для отметки «5» (сумма > 8): есть значения 9 (встречается 4 раза) и 10 (встречается 2 раза). Общее количество: $4 + 2 = 6$.

Проверим, что мы учли всех учеников: $1 + 5 + 8 + 6 = 20$. Сумма частот равна общему числу учеников, значит, расчеты верны.

а) Определите число итоговых двоек.

Итоговая отметка «2» выставляется за сумму отметок, которая меньше 5. В предоставленном ряду данных такому условию удовлетворяет только одно значение — 4. Следовательно, была выставлена одна итоговая двойка.

Ответ: 1.

б) Определите число итоговых пятёрок.

Итоговая отметка «5» выставляется, если сумма отметок больше 8. В предоставленном ряду данных этому условию удовлетворяют значения 9 и 10. Посчитаем их количество: значение 9 встречается 4 раза, а значение 10 — 2 раза. Общее число итоговых пятёрок равно $4 + 2 = 6$.

Ответ: 6.

в) Составьте таблицу распределения итоговых отметок.

Таблица распределения итоговых отметок по частотам (количеству учеников, получивших данную отметку) выглядит следующим образом:

Ответ: таблица представлена выше.

г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых отметок.

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, показывающая распределение частот. По горизонтальной оси откладываются итоговые отметки, а по вертикальной оси — их частота.

Ответ: гистограмма построена выше.

50.8 Для отметок по литературе:

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

б) составьте таблицу распределения кратностей;

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

г) найдите среднее.

Поскольку в условии задачи не приведен конкретный ряд отметок, для решения задачи воспользуемся следующим гипотетическим набором из 20 отметок по литературе:

5, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 3, 2, 4, 5, 4, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4.

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

Сгруппированный (или упорядоченный) ряд данных — это ряд, в котором все его элементы расположены в порядке неубывания (возрастания). Для нашего набора отметок упорядочим их:

2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

Ответ: 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

б) составьте таблицу распределения кратностей;

Таблица распределения кратностей (или частот) показывает, сколько раз встречается каждое значение в наборе данных. Кратность — это число повторений определенного значения.

Подсчитаем кратности для каждой уникальной отметки в нашем ряду:

• Отметка «2» встречается 1 раз.
• Отметка «3» встречается 4 раза.
• Отметка «4» встречается 9 раз.
• Отметка «5» встречается 6 раз.

Общее число наблюдений (отметок): $1 + 4 + 9 + 6 = 20$.

Составим таблицу распределения:

Ответ: Таблица распределения кратностей представлена выше.

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

Для построения многоугольника необходимо сначала рассчитать процентные частоты для каждой отметки. Процентная частота вычисляется по формуле:

Процентная частота = $(\frac{Кратность}{Общее\ число\ данных}) \cdot 100\%$

Выполним расчеты для нашего набора данных:

• Для отметки «2»: $(\frac{1}{20}) \cdot 100\% = 5\%$
• Для отметки «3»: $(\frac{4}{20}) \cdot 100\% = 20\%$
• Для отметки «4»: $(\frac{9}{20}) \cdot 100\% = 45\%$
• Для отметки «5»: $(\frac{6}{20}) \cdot 100\% = 30\%$

Проверка: сумма процентных частот $5\% + 20\% + 45\% + 30\% = 100\%$.

Многоугольник распределения строится на координатной плоскости. По оси абсцисс (горизонтальной) откладываются значения данных (отметки), а по оси ординат (вертикальной) — соответствующие им процентные частоты. На плоскости отмечаются точки с координатами (отметка; процентная частота), которые затем последовательно соединяются отрезками.

Точки для построения: (2; 5), (3; 20), (4; 45), (5; 30). Для того чтобы многоугольник был замкнут, его крайние точки соединяют с осью абсцисс. Для этого добавляют точки, у которых ордината равна нулю, а абсциссы на единицу меньше минимального и на единицу больше максимального значения данных, то есть точки (1; 0) и (6; 0).

Ниже представлен график построенного многоугольника распределения процентных частот.

Ответ: Многоугольник распределения процентных частот построен и представлен на графике выше.

г) найдите среднее.

Среднее арифметическое для сгруппированных данных вычисляется по формуле среднего взвешенного:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i \cdot n_i)}{N}$

где $x_i$ — это значение отметки, $n_i$ — соответствующая кратность (частота), $k$ — количество уникальных отметок, а $N$ — общее число отметок.

Вычислим сумму произведений значений отметок на их кратности, используя данные из таблицы в пункте б):

$\sum (x_i \cdot n_i) = (2 \cdot 1) + (3 \cdot 4) + (4 \cdot 9) + (5 \cdot 6) = 2 + 12 + 36 + 30 = 80$

Общее число отметок $N = 20$.

Теперь найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{80}{20} = 4$

Таким образом, средняя отметка по литературе в данном ряду данных равна 4.

Ответ: 4.

50.9 Для отметок по русскому языку:

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

б) составьте таблицу распределения кратностей;

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

г) найдите среднее.

Поскольку в условии задачи не предоставлен исходный ряд данных (отметки по русскому языку), для решения задачи мы воспользуемся гипотетическим набором данных. Предположим, что в классе 25 учеников, и их отметки за контрольную работу по русскому языку следующие:

4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 4, 3, 5, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 5, 4.

Общее количество отметок (объем выборки) $N = 25$.

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

Сгруппированный (или ранжированный) ряд данных получается путем упорядочивания всех отметок от наименьшей к наибольшей. Для этого сначала подсчитаем количество каждой отметки в исходном наборе:

• Отметка «2» встречается 2 раза.
• Отметка «3» встречается 6 раз.
• Отметка «4» встречается 10 раз.
• Отметка «5» встречается 7 раз.

Проверка: $2 + 6 + 10 + 7 = 25$, что соответствует общему количеству отметок.

Теперь запишем все отметки в порядке возрастания (ранжированный ряд):

2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

Ответ: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

б) составьте таблицу распределения кратностей;

Таблица распределения кратностей (частот) показывает, сколько раз каждая уникальная отметка (варианта) встречается в исходном наборе данных.

Ответ: Выше представлена таблица распределения кратностей.

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

Для построения многоугольника распределения процентных частот сначала необходимо рассчитать относительные и процентные частоты для каждой отметки.

Общее число отметок $N = 25$.

Относительная частота вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{N}$, где $n_i$ — кратность (частота) варианты $x_i$. Процентная частота — это относительная частота, умноженная на $100\%$.

• Для отметки «2»: $W_1 = \frac{2}{25} = 0.08$. Процентная частота = $0.08 \times 100\% = 8\%$.
• Для отметки «3»: $W_2 = \frac{6}{25} = 0.24$. Процентная частота = $0.24 \times 100\% = 24\%$.
• Для отметки «4»: $W_3 = \frac{10}{25} = 0.40$. Процентная частота = $0.40 \times 100\% = 40\%$.
• Для отметки «5»: $W_4 = \frac{7}{25} = 0.28$. Процентная частота = $0.28 \times 100\% = 28\%$.

Многоугольник распределения (полигон) строится в системе координат. На оси абсцисс (горизонтальной) откладываются отметки ($x_i$), а на оси ординат (вертикальной) — соответствующие им процентные частоты.

Точки для построения графика: (2; 8), (3; 24), (4; 40), (5; 28). Эти точки соединяются отрезками прямых. Для замыкания многоугольника обычно добавляют точки на оси абсцисс, отстоящие на один единичный отрезок от крайних значений, с нулевой частотой. В нашем случае это точки (1; 0) и (6; 0).

Таким образом, многоугольник распределения процентных частот представляет собой ломаную линию, соединяющую точки (1; 0), (2; 8), (3; 24), (4; 40), (5; 28) и (6; 0).

Ответ: Многоугольник распределения процентных частот — это ломаная линия, построенная по точкам с координатами (1; 0), (2; 8), (3; 24), (4; 40), (5; 28) и (6; 0), где первая координата — отметка, а вторая — процентная частота.

г) найдите среднее.

Среднее арифметическое для сгруппированных данных находится по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

где $x_i$ — варианты (отметки), $n_i$ — их кратности (частоты), $N$ — общее количество данных.

Используем данные из таблицы распределения кратностей:

$\bar{x} = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 7}{25}$

$\bar{x} = \frac{4 + 18 + 40 + 35}{25}$

$\bar{x} = \frac{97}{25}$

$\bar{x} = 3.88$

Средняя отметка по русскому языку в классе составляет 3.88.

Ответ: 3.88.