Страница 198, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

49.17 a) $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$, $y = e^x$;

б) $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$, $y = e^{-x}$;

в) $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$, $y = e^x$;

г) $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$, $y = e^{-x}$.

а)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$, $x = 3$ и графиком функции $y = e^x$. Так как на отрезке $[0, 3]$ функция $y = e^x$ неотрицательна ($e^x > 0$ для любого $x$), искомая площадь является площадью криволинейной трапеции и вычисляется с помощью определенного интеграла.

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$, снизу осью абсцисс, и по бокам прямыми $x=a$ и $x=b$, имеет вид: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В данном случае $f(x) = e^x$, $a = 0$ и $b = 3$. Подставляем значения в формулу: $S = \int_{0}^{3} e^x \,dx$.

Первообразная для функции $e^x$ есть сама функция $e^x$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: $S = [e^x]_{0}^{3} = e^3 - e^0 = e^3 - 1$.

Ответ: $e^3 - 1$

б)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$ и графиком функции $y = e^{-x}$. На отрезке $[0, 4]$ функция $y = e^{-x}$ неотрицательна, поэтому площадь вычисляется по той же формуле: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

Здесь $f(x) = e^{-x}$, $a = 0$ и $b = 4$. $S = \int_{0}^{4} e^{-x} \,dx$.

Первообразная для функции $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$. Проверим: $(-e^{-x})' = -e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}$. Вычисляем интеграл: $S = [-e^{-x}]_{0}^{4} = (-e^{-4}) - (-e^{-0}) = -e^{-4} - (-1) = 1 - e^{-4}$.

Ответ: $1 - e^{-4}$

в)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$ и графиком функции $y = e^x$. На отрезке $[-1, 1]$ функция $y = e^x$ неотрицательна. $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В этом случае $f(x) = e^x$, $a = -1$ и $b = 1$. $S = \int_{-1}^{1} e^x \,dx$.

Первообразная для $e^x$ есть $e^x$. Вычисляем интеграл: $S = [e^x]_{-1}^{1} = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$.

Ответ: $e - \frac{1}{e}$

г)

Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$ и графиком функции $y = e^{-x}$. На отрезке $[-2, 0]$ функция $y = e^{-x}$ неотрицательна. $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

Здесь $f(x) = e^{-x}$, $a = -2$ и $b = 0$. $S = \int_{-2}^{0} e^{-x} \,dx$.

Первообразная для $e^{-x}$ равна $-e^{-x}$. Вычисляем интеграл: $S = [-e^{-x}]_{-2}^{0} = (-e^{-0}) - (-e^{-(-2)}) = -e^0 - (-e^2) = -1 + e^2 = e^2 - 1$.

Ответ: $e^2 - 1$

49.18 a) $y = 0$, $x = 1$, $x = e$, $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = 0$, $x = 3$, $x = -1$, $y = \frac{1}{2x+3}$;

в) $y = 0$, $x = e$, $x = e^2$, $y = \frac{2}{x}$;

Г) $y = 0$, $x = 2$, $x = 5$, $y = \frac{1}{3x-5}$.

а)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 1$, $x = e$, $y = \frac{1}{x}$. Эта фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $f(x) = \frac{1}{x}$, снизу осью абсцисс ($y=0$), и с боков вертикальными прямыми $x=1$ и $x=e$.

Площадь $S$ такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

Подставляем наши значения: $f(x) = \frac{1}{x}$, $a = 1$, $b = e$.

$S = \int_1^e \frac{1}{x} \,dx$

Первообразная для функции $\frac{1}{x}$ есть $\ln|x|$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = [\ln|x|]_1^e = \ln|e| - \ln|1| = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$

Ответ: $1$.

б)

Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 3$, $x = -1$, $y = \frac{1}{2x+3}$. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = \frac{1}{2x+3}$ в пределах от $a=-1$ до $b=3$. Функция $f(x)$ непрерывна и положительна на интервале $[-1, 3]$ (вертикальная асимптота $x = -1.5$ не входит в этот интервал).

$S = \int_{-1}^3 \frac{1}{2x+3} \,dx$

Первообразная для функции $\frac{1}{ax+b}$ имеет вид $\frac{1}{a}\ln|ax+b|$. В нашем случае $a=2$, $b=3$. Таким образом, первообразная для $\frac{1}{2x+3}$ есть $\frac{1}{2}\ln|2x+3|$.

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [\frac{1}{2}\ln|2x+3|]_{-1}^3 = \frac{1}{2}(\ln|2 \cdot 3 + 3| - \ln|2 \cdot (-1) + 3|) = \frac{1}{2}(\ln|9| - \ln|1|) = \frac{1}{2}(\ln(9) - 0) = \frac{1}{2}\ln(9)$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln(a)$, можно упростить ответ:

$S = \frac{1}{2}\ln(3^2) = \frac{1}{2} \cdot 2\ln(3) = \ln(3)$

Ответ: $\ln(3)$.

в)

Находим площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = e$, $x = e^2$, $y = \frac{2}{x}$. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = \frac{2}{x}$ в пределах от $a=e$ до $b=e^2$.

$S = \int_e^{e^2} \frac{2}{x} \,dx = 2 \int_e^{e^2} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразная для $\frac{1}{x}$ это $\ln|x|$.

$S = 2[\ln|x|]_e^{e^2} = 2(\ln|e^2| - \ln|e|)$

Так как $e > 0$ и $e^2 > 0$, модули можно убрать. Используя свойства логарифмов $\ln(e^2) = 2$ и $\ln(e) = 1$:

$S = 2(\ln(e^2) - \ln(e)) = 2(2 - 1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$.

г)

Находим площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 0$, $x = 2$, $x = 5$, $y = \frac{1}{3x-5}$. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = \frac{1}{3x-5}$ в пределах от $a=2$ до $b=5$. Функция $f(x)$ непрерывна и положительна на интервале $[2, 5]$ (вертикальная асимптота $x = 5/3 \approx 1.67$ не входит в этот интервал).

$S = \int_2^5 \frac{1}{3x-5} \,dx$

Первообразная для функции $\frac{1}{3x-5}$ есть $\frac{1}{3}\ln|3x-5|$.

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [\frac{1}{3}\ln|3x-5|]_2^5 = \frac{1}{3}(\ln|3 \cdot 5 - 5| - \ln|3 \cdot 2 - 5|) = \frac{1}{3}(\ln|15 - 5| - \ln|6 - 5|) = \frac{1}{3}(\ln|10| - \ln|1|)$

Так как $\ln(1) = 0$:

$S = \frac{1}{3}(\ln(10) - 0) = \frac{1}{3}\ln(10)$

Ответ: $\frac{1}{3}\ln(10)$.

49.16 a) $y = 0$, $x = 4$, $y = \sqrt{x}$;

б) $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$, $y = \frac{1}{x^2}$;

В) $y = 1$, $x = 0$, $y = \sqrt[3]{x}$;

Г) $y = 2$, $x = 0$, $y = \sqrt{x}$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 4$ и $y = \sqrt{x}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена сверху кривой $y = \sqrt{x}$, снизу осью Ox ($y = 0$), слева осью Oy ($x=0$, точка пересечения $y=\sqrt{x}$ и $y=0$) и справа прямой $x = 4$. Таким образом, пределы интегрирования по $x$ будут от $0$ до $4$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле площади криволинейной трапеции:

$S = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \,dx = \int_{0}^{4} x^{\frac{1}{2}} \,dx$

Найдем первообразную для $x^{\frac{1}{2}}$: $F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{4} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.

Ответ: $S = \frac{16}{3}$

б)

Фигура ограничена линиями $y = 0$ (ось Ox), $x = 1$, $x = 3$ и $y = \frac{1}{x^2}$. Это криволинейная трапеция, ограниченная сверху функцией $y = \frac{1}{x^2}$, снизу осью Ox, слева прямой $x=1$ и справа прямой $x=3$.

Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл от функции $y = \frac{1}{x^2}$ в пределах от $1$ до $3$:

$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{3} x^{-2} \,dx$

Найдем первообразную для $x^{-2}$: $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. -\frac{1}{x} \right|_{1}^{3} = (-\frac{1}{3}) - (-\frac{1}{1}) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $S = \frac{2}{3}$

в)

Фигура ограничена линиями $y = 1$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt[3]{x}$. Для нахождения площади этой фигуры удобнее интегрировать по переменной $y$. Выразим $x$ через $y$ из уравнения кривой: $y = \sqrt[3]{x} \implies x = y^3$.

Найдем пределы интегрирования по $y$. Нижняя граница определяется пересечением кривой $y = \sqrt[3]{x}$ с осью $x=0$, что дает $y=0$. Верхняя граница задана прямой $y=1$. Таким образом, пределы интегрирования по $y$ будут от $0$ до $1$. Фигура ограничена справа кривой $x=y^3$ и слева осью Oy ($x=0$).

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{1} y^3 \,dy$

Найдем первообразную для $y^3$: $F(y) = \frac{y^{3+1}}{3+1} = \frac{y^4}{4}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \frac{y^4}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $S = \frac{1}{4}$

г)

Фигура ограничена линиями $y = 2$, $x = 0$ (ось Oy) и $y = \sqrt{x}$. Как и в предыдущем пункте, удобнее провести интегрирование по переменной $y$. Выразим $x$ через $y$: $y = \sqrt{x} \implies x = y^2$ (при $y \ge 0$).

Нижняя граница по $y$ определяется пересечением $y=\sqrt{x}$ и $x=0$, что дает $y=0$. Верхняя граница задана прямой $y=2$. Пределы интегрирования по $y$ — от $0$ до $2$. Фигура ограничена справа кривой $x=y^2$ и слева осью Oy ($x=0$).

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{2} y^2 \,dy$

Найдем первообразную для $y^2$: $F(y) = \frac{y^{2+1}}{2+1} = \frac{y^3}{3}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \frac{y^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $S = \frac{8}{3}$

49.19 Найдите площадь фигуры, изображённой на:

а) рис. 70;

$y = x^3$

Рис. 70

б) рис. 71;

$y = \sin x$

$\frac{\pi}{2}$

Рис. 71

в) рис. 72;

$y = x^2$

Рис. 72

г) рис. 73.

$y = \sin x$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

Рис. 73

а)

Фигура, изображенная на рис. 70, ограничена кривой $y = x^3$, осью ординат ($x=0$) и прямой $y=8$. Для нахождения площади этой фигуры удобнее интегрировать по переменной $y$. Для этого необходимо выразить $x$ через $y$ из уравнения кривой: $x = \sqrt[3]{y}$. Фигура ограничена справа кривой $x = \sqrt[3]{y}$, слева осью $Oy$ (линия $x=0$), и изменяется по оси $y$ от 0 до 8.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл функции $x(y)$ в пределах от 0 до 8:

$S = \int_{0}^{8} \sqrt[3]{y} \, dy = \int_{0}^{8} y^{1/3} \, dy$

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ \frac{y^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{y^{4/3}}{4/3} \right]_{0}^{8} = \left[ \frac{3}{4}y^{4/3} \right]_{0}^{8} = \frac{3}{4} \cdot 8^{4/3} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4/3} = \frac{3}{4} \cdot (\sqrt[3]{8})^4 = \frac{3}{4} \cdot 2^4 = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12$.

Ответ: 12.

б)

Фигура на рис. 71 ограничена сверху прямой $y=1$, снизу — графиком функции $y = \sin x$, и слева — осью ординат ($x=0$). Правая граница фигуры определяется точкой пересечения графиков $y=1$ и $y=\sin x$, что соответствует $x = \frac{\pi}{2}$. Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции ($y=1$) и нижней функции ($y=\sin x$) по переменной $x$ от 0 до $\frac{\pi}{2}$:

$S = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin x) \, dx = \left[ x - (-\cos x) \right]_{0}^{\pi/2} = \left[ x + \cos x \right]_{0}^{\pi/2}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \left(\frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2}\right) - (0 + \cos 0) = \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} - 1$.

в)

Фигура на рис. 72 ограничена сверху прямой $y=4$ и снизу параболой $y = x^2$. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем точки пересечения этих линий, решив уравнение $x^2 = 4$. Корни уравнения: $x = -2$ и $x = 2$. Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции ($y=4$) и нижней функции ($y=x^2$) по $x$ от -2 до 2:

$S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$.

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 4 - x^2$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( (4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (4 \cdot 0 - \frac{0^3}{3}) \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{24-8}{3} \right) = 2 \cdot \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

г)

Фигура на рис. 73 ограничена сверху графиком функции $y = \sin x$ и снизу осью абсцисс ($y=0$). Из графика видно, что пределы интегрирования соответствуют положительному полупериоду синусоиды, то есть от $x=0$ до $x=\pi$. Площадь $S$ вычисляется как определенный интеграл функции $y=\sin x$ на этом отрезке:

$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

5. Сформулируйте правило вычисления производной произведения двух функций.

Правило вычисления производной произведения двух функций, также известное как правило Лейбница, формулируется следующим образом: производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции.

Если даны две функции $u(x)$ и $v(x)$, которые дифференцируемы в некоторой точке $x$, то их произведение $f(x) = u(x) \cdot v(x)$ также дифференцируемо в этой точке. Производная произведения находится по формуле:

$(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Для краткости эту формулу часто записывают так:

$(uv)' = u'v + uv'$

Доказательство правила:

Для доказательства воспользуемся определением производной. Пусть $f(x) = u(x)v(x)$. Тогда:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Чтобы раскрыть это выражение, прибавим и вычтем в числителе одно и то же слагаемое $u(x)v(x + \Delta x)$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x + \Delta x) + u(x)v(x + \Delta x) - u(x)v(x)}{\Delta x}$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(u(x + \Delta x) - u(x))v(x + \Delta x) + u(x)(v(x + \Delta x) - v(x))}{\Delta x}$

Используя свойство предела суммы, разделим на два предела:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} \cdot v(x + \Delta x)\right) + \lim_{\Delta x \to 0} \left(u(x) \cdot \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\right)$

Теперь воспользуемся свойством предела произведения:

$f'(x) = \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x}\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x)\right) + \left(\lim_{\Delta x \to 0} u(x)\right) \cdot \left(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x}\right)$

По определению производной, $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{u(x + \Delta x) - u(x)}{\Delta x} = u'(x)$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{v(x + \Delta x) - v(x)}{\Delta x} = v'(x)$.
Поскольку функция $v(x)$ дифференцируема, она непрерывна, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} v(x + \Delta x) = v(x)$.
Выражение $u(x)$ не зависит от $\Delta x$, поэтому $\lim_{\Delta x \to 0} u(x) = u(x)$.

Подставляя эти значения в выражение, получаем итоговую формулу:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Производная произведения двух функций $u(x)$ и $v(x)$ равна сумме произведения производной первой функции на вторую и произведения первой функции на производную второй: $(u(x) \cdot v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

6. Сформулируйте правило вычисления производной частного двух функций.

Правило вычисления производной частного двух функций, также известное как правило частного, определяет, как найти производную функции, представленной в виде отношения двух других функций.

Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ являются дифференцируемыми в точке $x$, и при этом $v(x) \neq 0$.

Словесная формулировка правила

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведения производной числителя на знаменатель и произведения числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат знаменателя исходной дроби.

Формула производной частного

В виде формулы это правило записывается так:

$ \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} $

Или в более краткой записи, опуская аргумент $x$:

$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

Доказательство формулы

Формулу можно вывести, представив частное $\frac{u}{v}$ как произведение $u \cdot v^{-1}$ и применив правило производной произведения $(fg)' = f'g + fg'$ и цепное правило для нахождения производной сложной функции.

1. Применяем правило произведения:

$ \left(\frac{u}{v}\right)' = (u \cdot v^{-1})' = (u)' \cdot v^{-1} + u \cdot (v^{-1})' = u'v^{-1} + u(v^{-1})' $

2. Находим производную $(v^{-1})'$ по цепному правилу. Производная от степенной функции $t^{-1}$ равна $-t^{-2}$. Следовательно:

$ (v^{-1})' = -1 \cdot v^{-2} \cdot v' = -\frac{v'}{v^2} $

3. Подставляем результат из шага 2 в выражение из шага 1:

$ u'v^{-1} + u\left(-\frac{v'}{v^2}\right) = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^2} $

4. Приводим полученное выражение к общему знаменателю $v^2$:

$ \frac{u'v}{v^2} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Правило вычисления производной частного двух дифференцируемых функций $u$ и $v$ (при условии $v \neq 0$) заключается в использовании формулы: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $. Словесно: производная частного равна дроби, где в числителе "производная числителя умножить на знаменатель минус числитель умножить на производную знаменателя", а в знаменателе "знаменатель в квадрате".

7. Найдите производную функции:

а) $y = x^5$;

б) $y = x^{2018}$.

Для нахождения производной степенной функции вида $y = x^n$ используется общая формула производной степенной функции:

$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Эта формула гласит, что производная $x$ в степени $n$ равна произведению показателя степени $n$ на $x$ в степени $n-1$.

Применим эту формулу для решения обоих подпунктов.

а) Найти производную функции $y = x^5$.

В этом случае показатель степени $n = 5$.

Используем формулу производной, подставляя $n = 5$:

$y' = (x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.

Ответ: $y' = 5x^4$.

б) Найти производную функции $y = x^{2018}$.

В этом случае показатель степени $n = 2018$.

Аналогично первому подпункту, подставляем $n = 2018$ в формулу производной:

$y' = (x^{2018})' = 2018 \cdot x^{2018-1} = 2018x^{2017}$.

Ответ: $y' = 2018x^{2017}$.

8. С помощью правила дифференцирования частного докажите, что $(\frac{1}{x^2})' = -2x^{-3}$, а $(\frac{1}{x^3})' = -3x^{-4}$. Подметили ли вы какую-то закономерность? Как вы думаете, чему равна производная функции $y = \frac{1}{x^5}$? Чему равна производная функции $y = x^{-n}$, где $n \in N$?

С помощью правила дифференцирования частного докажите, что $(\frac{1}{x^2})' = -2x^{-3}$, а $(\frac{1}{x^3})' = -3x^{-4}$

Правило дифференцирования частного для функций $u(x)$ и $v(x)$ имеет вид: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

1. Для функции $y = \frac{1}{x^2}$, положим $u=1$ и $v=x^2$. Тогда их производные: $u' = (1)' = 0$ и $v' = (x^2)' = 2x$. Подставим эти значения в формулу производной частного: $(\frac{1}{x^2})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -2x^{1-4} = -2x^{-3}$.

2. Аналогично для функции $y = \frac{1}{x^3}$, положим $u=1$ и $v=x^3$. Их производные: $u' = (1)' = 0$ и $v' = (x^3)' = 3x^2$. Подставим в формулу: $(\frac{1}{x^3})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^3 - 1 \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-3x^2}{x^6} = -3x^{2-6} = -3x^{-4}$.

Ответ: Равенства доказаны.

Подметили ли вы какую-то закономерность?

Да, можно заметить закономерность. Сравним полученные результаты, представив функции в виде степени с отрицательным показателем: $(x^{-2})' = -2x^{-3}$ $(x^{-3})' = -3x^{-4}$ В обоих случаях производная функции вида $y = x^{-n}$ равна $-nx^{-n-1}$. Коэффициент при производной равен показателю степени $n$ со знаком минус, а новый показатель степени на единицу меньше исходного (то есть $-n-1$). Эта закономерность является частным случаем общего правила дифференцирования степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$, где в качестве показателя $k$ выступает отрицательное целое число.

Ответ: Замечена закономерность, согласно которой производная функции $y = x^{-n}$ равна $y' = -nx^{-n-1}$.

Как вы думаете, чему равна производная функции $y = \frac{1}{x^5}$?

Используя подмеченную закономерность для функции $y = \frac{1}{x^5} = x^{-5}$, где $n=5$, можно предположить, что ее производная будет: $y' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6}$.

Ответ: Производная функции $y = \frac{1}{x^5}$ равна $-5x^{-6}$.

Чему равна производная функции $y = x^{-n}$, где $n \in \mathbb{N}$?

Чтобы найти производную функции $y = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для любого натурального $n$ (где $n \in \mathbb{N}$), снова воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть $u=1$ и $v=x^n$. Тогда $u' = 0$ и $v' = (x^n)' = nx^{n-1}$ (по правилу дифференцирования степенной функции для натуральных показателей). Подставляем в формулу: $(x^{-n})' = (\frac{1}{x^n})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{0 \cdot x^n - 1 \cdot (nx^{n-1})}{(x^n)^2} = \frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}}$.

Упростим полученное выражение, используя свойства степеней: $\frac{-nx^{n-1}}{x^{2n}} = -n \cdot x^{(n-1) - 2n} = -n \cdot x^{-n-1}$. Таким образом, мы доказали, что для любого натурального $n$ производная функции $y = x^{-n}$ равна $-nx^{-n-1}$.

Ответ: Производная функции $y = x^{-n}$ равна $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$.

9. Чему равна производная функции:

а) $y = \tan x$;

б) $y = \cot x$;

в) $y = 2\tan x - 3\cot x$?

а) $y = \tg x$

Чтобы найти производную функции $y = \tg x$, можно представить тангенс как отношение синуса к косинусу: $y = \frac{\sin x}{\cos x}$. Далее воспользуемся правилом нахождения производной частного двух функций: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u = \sin x$ и $v = \cos x$. Найдем их производные:
$u' = (\sin x)' = \cos x$
$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Теперь подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = (\tg x)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

$y' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем окончательный результат:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

б) $y = \ctg x$

Аналогично предыдущему пункту, представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $y = \frac{\cos x}{\sin x}$. Применим то же правило нахождения производной частного.

Здесь $u = \cos x$ и $v = \sin x$. Их производные:
$u' = (\cos x)' = -\sin x$
$v' = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:
$y' = (\ctg x)' = \frac{(\cos x)' \cdot \sin x - \cos x \cdot (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$

$y' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

в) $y = 2\tg x - 3\ctg x$

Для нахождения производной этой функции используем правила дифференцирования: производная разности равна разности производных, а постоянный множитель можно вынести за знак производной.
$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$
$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$

$y' = (2\tg x - 3\ctg x)' = (2\tg x)' - (3\ctg x)' = 2 \cdot (\tg x)' - 3 \cdot (\ctg x)'$

Из предыдущих пунктов нам уже известны производные тангенса и котангенса:
$(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$
$(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Подставим эти значения в наше выражение:
$y' = 2 \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$

$y' = \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{3}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = \frac{2}{\cos^2 x} + \frac{3}{\sin^2 x}$.