Страница 194, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

48.15 Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой $v = \frac{6}{\sqrt{2t+1}}$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если $s(0) = 3$.

Закон движения точки $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$. Это означает, что для нахождения закона движения необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости. Общий вид закона движения имеет вид:

$s(t) = \int v(t) dt + C$

Подставим данную нам функцию скорости в интеграл:

$s(t) = \int \frac{6}{\sqrt{2t + 1}} dt$

Для вычисления интеграла вынесем константу за знак интеграла и представим знаменатель в виде степени:

$s(t) = 6 \int (2t + 1)^{-\frac{1}{2}} dt$

Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную $u = 2t + 1$. Тогда ее дифференциал будет $du = (2t + 1)' dt = 2 dt$, из чего следует, что $dt = \frac{du}{2}$.

Выполним подстановку в интеграл:

$s(t) = 6 \int u^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{du}{2} = 3 \int u^{-\frac{1}{2}} du$

Теперь найдем интеграл от степенной функции по формуле $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$s(t) = 3 \cdot \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = 3 \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 6 u^{\frac{1}{2}} + C = 6\sqrt{u} + C$

Произведем обратную замену, подставив $u = 2t + 1$:

$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} + C$

Мы получили общий вид закона движения. Для нахождения константы $C$ воспользуемся начальным условием, данным в задаче: $s(0) = 3$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для $s(t)$:

$s(0) = 6\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + C = 6\sqrt{1} + C = 6 + C$

Так как $s(0) = 3$, мы можем составить уравнение:

$6 + C = 3$

$C = 3 - 6$

$C = -3$

Теперь подставим найденное значение $C$ в общее уравнение для закона движения, чтобы получить частное решение:

$s(t) = 6\sqrt{2t + 1} - 3$

Ответ: $s(t) = 6\sqrt{2t + 1} - 3$

48.18 Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается оси $x$:

а) $f(x) = 2x + 3;$

б) $f(x) = 12(3x - 1)^3.$

а) Для функции $f(x) = 2x + 3$.

Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ для заданной функции. Первообразная находится путем интегрирования:$F(x) = \int (2x + 3)dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Условие, что график первообразной $y=F(x)$ касается оси $x$, означает, что существует точка с абсциссой $x_0$, в которой одновременно выполняются два условия:
1. График проходит через точку на оси $x$, то есть $F(x_0) = 0$.
2. Касательная к графику в этой точке горизонтальна (совпадает с осью $x$), то есть $F'(x_0) = 0$.

По определению первообразной, $F'(x) = f(x)$. Поэтому второе условие можно записать как $f(x_0) = 0$. Решим это уравнение, чтобы найти абсциссу точки касания:$2x_0 + 3 = 0$$x_0 = -\frac{3}{2}$.

Теперь, используя первое условие $F(x_0) = 0$, найдем значение константы $C$:$F(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + C = 0$
$-\frac{9}{4} + C = 0$
$C = \frac{9}{4}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию.
Ответ: $F(x) = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$.

б) Для функции $f(x) = 12(3x - 1)^3$.

Найдем общий вид первообразной $F(x)$, вычислив интеграл:$F(x) = \int 12(3x - 1)^3 dx$.
Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$:
$F(x) = 12 \cdot \frac{(3x - 1)^{3+1}}{3 \cdot (3+1)} + C = 12 \cdot \frac{(3x - 1)^4}{12} + C = (3x - 1)^4 + C$.

Как и в предыдущем пункте, условие касания оси $x$ в точке $x_0$ означает, что $F(x_0) = 0$ и $F'(x_0) = f(x_0) = 0$.
Найдем абсциссу точки касания из уравнения $f(x_0) = 0$:
$12(3x_0 - 1)^3 = 0$
$3x_0 - 1 = 0$
$x_0 = \frac{1}{3}$.

Теперь из условия $F(x_0) = 0$ найдем константу $C$:
$F(\frac{1}{3}) = (3 \cdot \frac{1}{3} - 1)^4 + C = 0$
$(1 - 1)^4 + C = 0$
$0 + C = 0 \implies C = 0$.

Следовательно, искомая первообразная, график которой касается оси $x$, имеет вид $F(x) = (3x-1)^4$.
Ответ: $F(x) = (3x - 1)^4$.

48.13 Точка движется по координатной прямой, её скорость задана формулой $v = 1 + 2t$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 2$ координата точки равнялась числу $5$.

Закон движения точки, который описывается функцией координаты $x(t)$, является первообразной для функции скорости $v(t)$. Это означает, что для нахождения закона движения необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости по времени $t$.

По условию, скорость точки задана формулой: $v(t) = 1 + 2t$.

Найдем первообразную для функции скорости, чтобы получить общий вид закона движения:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (1 + 2t) dt$

Применяя правила интегрирования, получаем:

$\int (1 + 2t) dt = \int 1 dt + \int 2t dt = t + 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = t^2 + t + C$.

Таким образом, общий вид закона движения имеет вид: $x(t) = t^2 + t + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.

Чтобы найти значение константы $C$, воспользуемся дополнительным условием из задачи: в момент времени $t = 2$ координата точки равнялась $5$. Это можно записать как $x(2) = 5$. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$x(2) = 2^2 + 2 + C = 5$

$4 + 2 + C = 5$

$6 + C = 5$

Отсюда находим значение константы $C$:

$C = 5 - 6 = -1$.

Теперь, подставив найденное значение $C = -1$ в общий вид закона движения, получаем искомый закон движения точки:

$x(t) = t^2 + t - 1$.

Ответ: $x(t) = t^2 + t - 1$.

48.16 Ускорение движения точки по координатной прямой задано формулой $a(t) = 2(t + 1)^2$, $t$ — время движения. Найдите закон изменения скорости $v = v(t)$ и закон движения $s = s(t)$, если $v(0) = 1$, $s(0) = 1$.

Найдите закон изменения скорости $v=v(t)$

Скорость $v(t)$ является первообразной для функции ускорения $a(t)$, то есть $v(t) = \int a(t) dt$.

Нам дана функция ускорения $a(t) = 2(t + 1)^2$. Найдем ее интеграл:

$v(t) = \int 2(t + 1)^2 dt$

Для вычисления интеграла вынесем константу 2 за знак интеграла и используем метод подстановки, где $u = t+1$ и $du = dt$. Или, что эквивалентно, внесем под знак дифференциала $(t+1)$:

$v(t) = 2 \int (t + 1)^2 d(t+1) = 2 \cdot \frac{(t+1)^3}{3} + C_1 = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + C_1$

где $C_1$ — константа интегрирования.

Чтобы найти значение $C_1$, используем начальное условие $v(0) = 1$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для скорости:

$v(0) = \frac{2}{3}(0 + 1)^3 + C_1 = 1$

$\frac{2}{3} \cdot 1^3 + C_1 = 1$

$\frac{2}{3} + C_1 = 1$

$C_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $C_1$ в формулу для скорости, чтобы получить закон изменения скорости:

$v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$

Ответ: $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$

Найдите закон движения $s = s(t)$

Закон движения $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$, то есть $s(t) = \int v(t) dt$.

Используем найденную на предыдущем шаге функцию скорости $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$. Найдем ее интеграл:

$s(t) = \int \left( \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3} \right) dt = \int \frac{2}{3}(t + 1)^3 dt + \int \frac{1}{3} dt$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int \frac{2}{3}(t + 1)^3 dt = \frac{2}{3} \int (t+1)^3 d(t+1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{(t+1)^4}{4} = \frac{1}{6}(t+1)^4$

$\int \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3}t$

Суммируя результаты и добавляя константу интегрирования $C_2$, получаем:

$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + C_2$

Чтобы найти значение $C_2$, используем начальное условие $s(0) = 1$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для закона движения:

$s(0) = \frac{1}{6}(0 + 1)^4 + \frac{1}{3} \cdot 0 + C_2 = 1$

$\frac{1}{6} \cdot 1^4 + 0 + C_2 = 1$

$\frac{1}{6} + C_2 = 1$

$C_2 = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Подставим найденное значение $C_2$ в формулу для закона движения:

$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$

Ответ: $s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$

48.19 Некоторая первообразная функции $y = 3 \cos 3x + 6 \sin 6x$ принимает в точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке $x = \frac{\pi}{6}$?

Пусть $F(x)$ – первообразная для функции $y = 3\cos{3x} + 6\sin{6x}$. Для нахождения общего вида первообразной необходимо проинтегрировать заданную функцию $y(x)$.

$F(x) = \int (3\cos{3x} + 6\sin{6x}) dx = \int 3\cos{3x} dx + \int 6\sin{6x} dx$

Используем стандартные правила интегрирования: $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{3}\sin(3x) + 6 \cdot (-\frac{1}{6}\cos(6x)) + C = \sin(3x) - \cos(6x) + C$, где $C$ – константа интегрирования.

По условию задачи известно, что значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно 6. Это можно записать как $F(\frac{\pi}{2}) = 6$. Используем это условие для нахождения константы $C$.

Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в выражение для $F(x)$: $F(\frac{\pi}{2}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = \sin(\frac{3\pi}{2}) - \cos(3\pi) + C$

Вычислим значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\cos(3\pi) = -1$.

Подставим эти значения в уравнение: $-1 - (-1) + C = 6$ $-1 + 1 + C = 6$ $C = 6$

Таким образом, мы нашли конкретную первообразную, которая удовлетворяет условию задачи: $F(x) = \sin(3x) - \cos(6x) + 6$

Теперь нам нужно найти значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{6}$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в найденное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + 6 = \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) + 6$

Вычислим значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\cos(\pi) = -1$.

Подставим эти значения: $F(\frac{\pi}{6}) = 1 - (-1) + 6 = 1 + 1 + 6 = 8$

Ответ: 8

48.14 Скорость движения точки по координатной прямой задана формулой $v = -4\sin 3t$, $t$ — время движения. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 0$ координата точки равнялась числу 2.

По определению, скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$. Следовательно, чтобы найти закон движения $x(t)$, нужно найти первообразную для функции скорости, то есть вычислить интеграл.

Закон движения $x(t)$ находится по формуле:

$x(t) = \int v(t) dt$

Подставим данную нам функцию скорости $v = -4\sin3t$:

$x(t) = \int (-4\sin3t) dt$

Вынесем константу за знак интеграла и вычислим его:

$x(t) = -4 \int \sin(3t) dt = -4 \left(-\frac{1}{3}\cos(3t)\right) + C = \frac{4}{3}\cos(3t) + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Для ее нахождения воспользуемся начальным условием, которое дано в задаче: в момент времени $t = 0$ координата точки $x(0)$ равнялась 2.

Подставим $t = 0$ и $x(0) = 2$ в полученное уравнение:

$2 = \frac{4}{3}\cos(3 \cdot 0) + C$

Так как $\cos(0) = 1$, уравнение принимает вид:

$2 = \frac{4}{3} \cdot 1 + C$

$2 = \frac{4}{3} + C$

Отсюда находим $C$:

$C = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденное значение $C$ обратно в выражение для $x(t)$, чтобы получить окончательный закон движения точки:

$x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$

Ответ: $x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$.

48.17 Для функции $y = g(x)$ найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку $M$:

а) $g(x) = 8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 3\right)$;

б) $g(x) = 2\cos^2 \frac{x}{2} - 1$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 16\right)$;

в) $g(x) = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$, $M(0; 7)$;

г) $g(x) = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 15\right)$.

а)
Для нахождения первообразной функции $g(x)$, график которой проходит через заданную точку $M$, необходимо выполнить два шага: найти общую первообразную и затем определить константу интегрирования, используя координаты точки $M$.
1. Упрощение функции $g(x)$.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.
$g(x) = 8 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 4 \cdot (2 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}) = 4 \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 4 \sin x$.
2. Нахождение общей первообразной $G(x)$.
$G(x) = \int g(x) \,dx = \int 4 \sin x \,dx = 4 \int \sin x \,dx = -4 \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
3. Нахождение константы $C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 3)$, что означает $G(\frac{\pi}{2}) = 3$.
Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ и $G(x) = 3$ в выражение для первообразной:
$3 = -4 \cos(\frac{\pi}{2}) + C$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$3 = -4 \cdot 0 + C \implies C = 3$.
Следовательно, искомая первообразная: $G(x) = -4 \cos x + 3$.
Ответ: $y = -4 \cos x + 3$.

б)
1. Упрощение функции $g(x)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2 \cos^2\alpha - 1$.
$g(x) = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.
2. Нахождение общей первообразной $G(x)$.
$G(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
3. Нахождение константы $C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 16)$, то есть $G(\frac{\pi}{2}) = 16$.
Подставим значения в выражение для $G(x)$:
$16 = \sin(\frac{\pi}{2}) + C$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$16 = 1 + C \implies C = 15$.
Следовательно, искомая первообразная: $G(x) = \sin x + 15$.
Ответ: $y = \sin x + 15$.

в)
1. Упрощение функции $g(x)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
$g(x) = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.
2. Нахождение общей первообразной $G(x)$.
$G(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
3. Нахождение константы $C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(0; 7)$, то есть $G(0) = 7$.
Подставим значения в выражение для $G(x)$:
$7 = \sin(0) + C$.
Так как $\sin(0) = 0$, получаем:
$7 = 0 + C \implies C = 7$.
Следовательно, искомая первообразная: $G(x) = \sin x + 7$.
Ответ: $y = \sin x + 7$.

г)
1. Упрощение функции $g(x)$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2\alpha$.
$g(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.
2. Нахождение общей первообразной $G(x)$.
$G(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
3. Нахождение константы $C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 15)$, то есть $G(\frac{\pi}{2}) = 15$.
Подставим значения в выражение для $G(x)$:
$15 = \sin(\frac{\pi}{2}) + C$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:
$15 = 1 + C \implies C = 14$.
Следовательно, искомая первообразная: $G(x) = \sin x + 14$.
Ответ: $y = \sin x + 14$.

48.20 Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается заданной прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = 2x$, $y = x + 2$;

б) $f(x) = 3x^3$, $y = 3x + 4,75$.

а)

Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 2x$, график которой касается прямой $y = x + 2$.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования: $F(x) = \int f(x)dx = \int 2x dx = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Условие касания графика функции $y=F(x)$ и прямой $y=kx+m$ в точке с абсциссой $x_0$ заключается в одновременном выполнении двух условий:
- Равенство значений функций в точке касания: $F(x_0) = kx_0 + m$.
- Равенство производных в точке касания (равенство угловых коэффициентов касательной и прямой): $F'(x_0) = k$.

3. Для данной прямой $y = x + 2$ угловой коэффициент $k=1$. Производная первообразной по определению равна исходной функции: $F'(x) = f(x) = 2x$. Используя второе условие, найдем абсциссу точки касания $x_0$: $F'(x_0) = 1 \implies 2x_0 = 1 \implies x_0 = \frac{1}{2}$.

4. Теперь используем первое условие в точке $x_0 = \frac{1}{2}$, чтобы найти константу $C$: $F(\frac{1}{2}) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2$
Подставляем выражение для $F(x)$: $(\frac{1}{2})^2 + C = \frac{1}{2} + 2$
$\frac{1}{4} + C = \frac{5}{2}$
$C = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

5. Подставив найденное значение $C$ в общее выражение для первообразной, получаем искомую функцию: $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$.

Ответ: $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$.

б)

Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 3x^3$, график которой касается прямой $y = 3x + 4,75$.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^3$: $F(x) = \int 3x^3 dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{3}{4}x^4 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Применим условия касания в точке $x_0$: $F(x_0) = kx_0 + m$ и $F'(x_0) = k$. Для прямой $y = 3x + 4,75$ угловой коэффициент $k=3$. Производная первообразной: $F'(x) = f(x) = 3x^3$.

3. Из условия равенства производных найдем абсциссу точки касания $x_0$: $F'(x_0) = 3 \implies 3x_0^3 = 3$
$x_0^3 = 1 \implies x_0 = 1$.

4. Теперь из условия равенства значений функций в точке $x_0=1$ найдем константу $C$: $F(1) = 3 \cdot 1 + 4,75$
Подставляем выражение для $F(x)$: $\frac{3}{4}(1)^4 + C = 3 + 4,75$
$\frac{3}{4} + C = 7,75$
Так как $\frac{3}{4} = 0,75$, получаем: $0,75 + C = 7,75$
$C = 7,75 - 0,75 = 7$.

5. Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + 7$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + 7$.