Страница 193, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

48.6 a) $f(x) = 4x^3 - 6x^2;$

б) $f(x) = -3\sin x + 2\cos x;$

В) $f(x) = 5x^4 - 3x^5;$

Г) $f(x) = -13\sin x + \frac{5}{\cos^2 x}.$

Задача состоит в нахождении общего вида первообразных для заданных функций. Общий вид первообразной для функции $f(x)$ обозначается как $F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$ и $C$ — произвольная постоянная.

Дана функция $f(x) = 4x^3 - 6x^2$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ нужно проинтегрировать функцию $f(x)$. Используем правило интегрирования суммы (разности) и правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = \int (4x^3 - 6x^2) dx = \int 4x^3 dx - \int 6x^2 dx$

Выносим постоянные множители за знак интеграла:

$F(x) = 4 \int x^3 dx - 6 \int x^2 dx$

Применяем формулу для степенной функции:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = x^4 - 2x^3 + C$

Ответ: $F(x) = x^4 - 2x^3 + C$.

Дана функция $f(x) = -3\sin x + 2\cos x$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ интегрируем функцию $f(x)$, используя табличные интегралы для тригонометрических функций: $\int \sin x dx = -\cos x$ и $\int \cos x dx = \sin x$.

$F(x) = \int (-3\sin x + 2\cos x) dx = -3 \int \sin x dx + 2 \int \cos x dx$

Подставляем табличные значения первообразных:

$F(x) = -3(-\cos x) + 2(\sin x) + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = 3\cos x + 2\sin x + C$

Ответ: $F(x) = 3\cos x + 2\sin x + C$.

Дана функция $f(x) = 5x^4 - 3x^5$.

Аналогично пункту а), находим первообразную, используя правило для степенной функции.

$F(x) = \int (5x^4 - 3x^5) dx = 5 \int x^4 dx - 3 \int x^5 dx$

Применяем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^6}{6} + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = x^5 - \frac{1}{2}x^6 + C$

Ответ: $F(x) = x^5 - \frac{1}{2}x^6 + C$.

Дана функция $f(x) = -13\sin x + \frac{5}{\cos^2 x}$.

Для нахождения первообразной $F(x)$ используем табличные интегралы: $\int \sin x dx = -\cos x$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$.

$F(x) = \int (-13\sin x + \frac{5}{\cos^2 x}) dx = -13 \int \sin x dx + 5 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$

Подставляем табличные значения первообразных:

$F(x) = -13(-\cos x) + 5(\tan x) + C$

Упрощаем выражение:

$F(x) = 13\cos x + 5\tan x + C$

Ответ: $F(x) = 13\cos x + 5\tan x + C$.

Для функции $y = f(x)$ найдите хотя бы одну первообразную:

48.9 a) $f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{6}\right);$

б) $f(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right);$

в) $f(x) = \cos (4x - 3);$

г) $f(x) = \sin \left(2 - \frac{x}{2}\right).$

Для нахождения первообразной функции вида $y = f(kx+b)$, используется общая формула: $F(x) = \frac{1}{k} \cdot G(kx+b) + C$, где $G(u)$ — первообразная для $f(u)$, а $C$ — произвольная постоянная. Так как в задаче требуется найти хотя бы одну первообразную, мы можем положить $C=0$.

а) $f(x) = \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$

Первообразной для функции $\sin(u)$ является функция $-\cos(u)$.

В данном случае, $u = 3x + \frac{\pi}{6}$, а коэффициент при $x$ равен $k=3$.

Применяя формулу, находим одну из первообразных $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(-\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Для проверки найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)\right)' = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)\right) \cdot (3x)' = \frac{1}{3}\sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \cdot 3 = \sin\left(3x + \frac{\pi}{6}\right) = f(x)$.

Производная найденной функции совпадает с исходной, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x + \frac{\pi}{6}\right)$.

б) $f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$

Первообразной для функции $\cos(u)$ является функция $\sin(u)$.

В данном случае, $u = \frac{\pi}{4} - 2x$, а коэффициент при $x$ равен $k=-2$.

Применяя формулу, находим одну из первообразных $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{-2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

Для проверки найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left(-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)\right)' = -\frac{1}{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \cdot (-2x)' = -\frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \cdot (-2) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) = f(x)$.

Производная найденной функции совпадает с исходной, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.

в) $f(x) = \cos(4x - 3)$

Первообразной для функции $\cos(u)$ является функция $\sin(u)$.

В данном случае, $u = 4x - 3$, а коэффициент при $x$ равен $k=4$.

Применяя формулу, находим одну из первообразных $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{4} \cdot \sin(4x - 3) = \frac{1}{4}\sin(4x - 3)$.

Для проверки найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{1}{4}\sin(4x - 3)\right)' = \frac{1}{4} \cdot \cos(4x - 3) \cdot (4x)' = \frac{1}{4}\cos(4x - 3) \cdot 4 = \cos(4x - 3) = f(x)$.

Производная найденной функции совпадает с исходной, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x - 3)$.

г) $f(x) = \sin\left(2 - \frac{x}{2}\right)$

Первообразной для функции $\sin(u)$ является функция $-\cos(u)$.

В данном случае, $u = 2 - \frac{x}{2}$, а коэффициент при $x$ равен $k = -\frac{1}{2}$.

Применяя формулу, находим одну из первообразных $F(x)$:

$F(x) = \frac{1}{-\frac{1}{2}} \cdot \left(-\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right) = -2 \cdot \left(-\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right) = 2\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)$.

Для проверки найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = \left(2\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right)' = 2 \cdot \left(-\sin\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right) \cdot \left(-\frac{x}{2}\right)' = 2 \cdot \left(-\sin\left(2 - \frac{x}{2}\right)\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \sin\left(2 - \frac{x}{2}\right) = f(x)$.

Производная найденной функции совпадает с исходной, следовательно, первообразная найдена верно.

Ответ: $F(x) = 2\cos\left(2 - \frac{x}{2}\right)$.

48.12 Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку M:

а) $y = \sin x, M\left(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4}\right)$

в) $y = \cos x, M\left(\frac{\pi}{6}; 1\right)$

б) $y = \frac{1}{\cos^2 x}, M\left(\frac{\pi}{4}; -1\right)$

г) $y = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{3}}, M\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$

а)

Для функции $y = \sin x$ и точки $M(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4})$.

1. Общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$ находится путем интегрирования: $F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Чтобы найти значение постоянной $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4})$. Это означает, что при $x = \frac{\pi}{3}$, значение первообразной $F(x)$ равно $\frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) + C = \frac{1}{4}$.

3. Известно, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:

$-\frac{1}{2} + C = \frac{1}{4}$.

Решим уравнение относительно $C$:

$C = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$.

4. Искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$.

Ответ: $F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$

б)

Для функции $y = \frac{1}{\cos^2 x}$ и точки $M(\frac{\pi}{4}; -1)$.

1. Общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ это $F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = \tan x + C$.

2. График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{4}; -1)$, поэтому $F(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Подставляем значения в уравнение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) + C = -1$.

3. Известно, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим это значение:

$1 + C = -1$.

Отсюда находим $C$:

$C = -1 - 1 = -2$.

4. Искомая первообразная:

$F(x) = \tan x - 2$.

Ответ: $F(x) = \tan x - 2$

в)

Для функции $y = \cos x$ и точки $M(\frac{\pi}{6}; 1)$.

1. Общий вид первообразной для функции $f(x) = \cos x$ это $F(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.

2. График первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{6}; 1)$, поэтому $F(\frac{\pi}{6}) = 1$.

Подставляем значения в уравнение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) + C = 1$.

3. Известно, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение:

$\frac{1}{2} + C = 1$.

Отсюда находим $C$:

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

4. Искомая первообразная:

$F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$

г)

Для функции $y = \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})}$ и точки $M(\frac{3\pi}{4}; 0)$.

1. Для нахождения первообразной используем формулу для сложной функции $\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k}F(kx+b)+C$. Здесь $f(u) = \frac{1}{\sin^2 u}$, первообразная для которой $F(u) = -\cot u$. Аргумент $u = \frac{x}{3}$, значит коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Общий вид первообразной: $F(x) = \frac{1}{1/3} \cdot (-\cot(\frac{x}{3})) + C = -3\cot(\frac{x}{3}) + C$.

2. График первообразной проходит через точку $M(\frac{3\pi}{4}; 0)$, поэтому $F(\frac{3\pi}{4}) = 0$.

Подставляем значения в уравнение для $F(x)$:

$F(\frac{3\pi}{4}) = -3\cot(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{4}) + C = 0$.

$-3\cot(\frac{\pi}{4}) + C = 0$.

3. Известно, что $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим это значение:

$-3 \cdot 1 + C = 0$.

Отсюда находим $C$:

$C = 3$.

4. Искомая первообразная:

$F(x) = -3\cot(\frac{x}{3}) + 3$.

Ответ: $F(x) = -3\cot(\frac{x}{3}) + 3$

48.7 a) $f(x) = e^x + \frac{1}{x}$;

б) $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} - \frac{5}{\sin^2 x}$;

В) $f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}$;

Г) $f(x) = \sqrt[5]{x} - 2e^x$.

а)

Дана функция $f(x) = e^x + \frac{1}{x}$. Требуется найти ее первообразную $F(x)$, то есть неопределенный интеграл.

Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (e^x + \frac{1}{x}) dx$

Используя свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов), получаем:

$F(x) = \int e^x dx + \int \frac{1}{x} dx$

Применяем табличные интегралы: $\int e^x dx = e^x$ и $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$. Модуль в логарифме необходим, так как исходная функция определена для всех $x \neq 0$.

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную интегрирования $C$, получаем:

$F(x) = e^x + \ln|x| + C$

Ответ: $F(x) = e^x + \ln|x| + C$

б)

Дана функция $f(x) = \frac{3}{x} + \frac{4}{x^2} - \frac{5}{\sin^2 x}$. Найдем ее первообразную $F(x)$.

Для удобства интегрирования представим функцию в виде:

$f(x) = 3 \cdot \frac{1}{x} + 4 \cdot x^{-2} - 5 \cdot \frac{1}{\sin^2 x}$

Интегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (3 \cdot \frac{1}{x} + 4x^{-2} - \frac{5}{\sin^2 x}) dx$

Применяя свойство линейности интеграла, получаем:

$F(x) = 3\int \frac{1}{x} dx + 4\int x^{-2} dx - 5\int \frac{1}{\sin^2 x} dx$

Используем табличные интегралы:

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x$

Подставляем найденные интегралы и добавляем константу интегрирования $C$:

$F(x) = 3\ln|x| + 4(-\frac{1}{x}) - 5(-\cot x) + C = 3\ln|x| - \frac{4}{x} + 5\cot x + C$

Ответ: $F(x) = 3\ln|x| - \frac{4}{x} + 5\cot x + C$

в)

Дана функция $f(x) = x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}$. Найдем ее первообразную $F(x)$.

Первообразная находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (x^{\frac{2}{3}} - x^{-\frac{1}{3}}) dx$

Используя свойство линейности интеграла, получаем:

$F(x) = \int x^{\frac{2}{3}} dx - \int x^{-\frac{1}{3}} dx$

Применяем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ для каждого слагаемого:

$\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}$

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}$

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$F(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C$

г)

Дана функция $f(x) = \sqrt[5]{x} - 2e^x$. Найдем ее первообразную $F(x)$.

Сначала представим корень в виде степени:

$f(x) = x^{\frac{1}{5}} - 2e^x$

Интегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (x^{\frac{1}{5}} - 2e^x) dx$

Применяя свойство линейности интеграла, получаем:

$F(x) = \int x^{\frac{1}{5}} dx - \int 2e^x dx = \int x^{\frac{1}{5}} dx - 2\int e^x dx$

Используем табличные интегралы:

Для степенной функции: $\int x^{\frac{1}{5}} dx = \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} = \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}}$

Для экспоненциальной функции: $\int e^x dx = e^x$

Собираем все вместе и добавляем константу интегрирования $C$:

$F(x) = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} - 2e^x + C$

Ответ: $F(x) = \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} - 2e^x + C$

48.10 а) $f(x) = -\frac{1}{(6x+1)^2};$

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-9}};$

В) $f(x) = \frac{1}{(7x-3)^2};$

Г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{42-3x}}.$

Для решения данных задач необходимо найти первообразную для каждой из функций. Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ записывается как $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Для нахождения первообразной будем использовать правило интегрирования степенной функции со сложным аргументом вида $kx+b$:

$\int (kx+b)^n \,dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$

а) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = -\frac{1}{(6x+1)^2}$.

Сначала представим функцию в виде степенной: $f(x) = -(6x+1)^{-2}$.

Теперь найдем неопределенный интеграл от этой функции:

$F(x) = \int -(6x+1)^{-2} \,dx = -\int (6x+1)^{-2} \,dx$

Применяя формулу для $k=6$, $b=1$ и $n=-2$, получаем:

$F(x) = - \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x+1)^{-2+1}}{-2+1} \right) + C = - \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{(6x+1)^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{6}(6x+1)^{-1} + C = \frac{1}{6(6x+1)} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{6(6x+1)} + C$

б) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-9}}$.

Представим функцию в виде степенной: $f(x) = (7x-9)^{-1/2}$.

Найдем неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (7x-9)^{-1/2} \,dx$

Применяя формулу для $k=7$, $b=-9$ и $n=-1/2$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-9)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-9)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{7}(7x-9)^{1/2} + C = \frac{2}{7}\sqrt{7x-9} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{7}\sqrt{7x-9} + C$

в) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = \frac{1}{(7x-3)^2}$.

Представим функцию в виде степенной: $f(x) = (7x-3)^{-2}$.

Найдем неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (7x-3)^{-2} \,dx$

Применяя формулу для $k=7$, $b=-3$ и $n=-2$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-3)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{1}{7} \cdot \frac{(7x-3)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{7}(7x-3)^{-1} + C = -\frac{1}{7(7x-3)} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{7(7x-3)} + C$

г) Требуется найти все первообразные для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{42-3x}}$.

Представим функцию в виде степенной: $f(x) = (42-3x)^{-1/2}$.

Найдем неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (42-3x)^{-1/2} \,dx$

Применяя формулу для $k=-3$, $b=42$ и $n=-1/2$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{-3} \cdot \frac{(42-3x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(42-3x)^{1/2}}{1/2} + C = -\frac{2}{3}(42-3x)^{1/2} + C = -\frac{2}{3}\sqrt{42-3x} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{2}{3}\sqrt{42-3x} + C$

48.8 a) $y = \sin^2 x + \cos^2 x;$

б) $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2};$

В) $y = 1 + \operatorname{tg}^2 x;$

Г) $y = 1 + \operatorname{ctg}^2 x.$

а)
Дана функция $y = \sin^2 x + \cos^2 x$.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, для любого значения $x$ выполняется равенство $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
Таким образом, данная функция тождественно равна 1.
Ответ: $y = 1$.

б)
Дана функция $y = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$.
Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
В данном случае, если принять $\alpha = \frac{x}{2}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$.
Подставляя это в формулу, получаем: $y = \sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x$.
Следовательно, исходную функцию можно упростить до $y = \sin x$.
Ответ: $y = \sin x$.

в)
Дана функция $y = 1 + \text{tg}^2 x$.
Это выражение является одним из следствий основного тригонометрического тождества. Упростим его:
$1 + \text{tg}^2 x = 1 + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$.
Приводим к общему знаменателю:
$1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$.
Поскольку $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, получаем:
$y = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Эта функция определена для всех $x$, кроме тех, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $y = \frac{1}{\cos^2 x}$.

г)
Дана функция $y = 1 + \text{ctg}^2 x$.
Это выражение также является следствием основного тригонометрического тождества. Упростим его, используя определение котангенса $\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$1 + \text{ctg}^2 x = 1 + \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^2 = 1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$.
Приводим к общему знаменателю:
$1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$y = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Эта функция определена для всех $x$, кроме тех, где $\sin x = 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $y = \frac{1}{\sin^2 x}$.

48.11 а) $f(x) = \sin 2x;$

б) $f(x) = e^{2x-5} - \cos 3x;$

В) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}};$

Г) $f(x) = \sqrt[3]{3x - 1} + \frac{1}{2 - 7x}.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin 2x$ воспользуемся формулой для интегрирования синуса от линейного аргумента: $\int \sin(kx+b) \, dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$.
В данном случае, $k=2$ и $b=0$.
Следовательно, первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ имеет вид:
$F(x) = \int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$.

б) Дана функция $f(x) = e^{2x-5} - \cos 3x$.
Первообразная разности функций равна разности их первообразных. Найдем первообразные для каждого слагаемого по отдельности.
1. Для функции $g(x) = e^{2x-5}$ используем формулу $\int e^{kx+b} \, dx = \frac{1}{k}e^{kx+b} + C_1$. Здесь $k=2$, $b=-5$.
$\int e^{2x-5} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x-5} + C_1$.
2. Для функции $h(x) = \cos 3x$ используем формулу $\int \cos(kx+b) \, dx = \frac{1}{k}\sin(kx+b) + C_2$. Здесь $k=3$, $b=0$.
$\int \cos 3x \, dx = \frac{1}{3}\sin 3x + C_2$.
Объединяя результаты, получаем общую первообразную $F(x)$:
$F(x) = \int (e^{2x-5} - \cos 3x) \, dx = \frac{1}{2}e^{2x-5} - \frac{1}{3}\sin 3x + C$, где $C = C_1 - C_2$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}e^{2x-5} - \frac{1}{3}\sin 3x + C$.

в) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$ воспользуемся табличной первообразной для функции $\frac{1}{\cos^2 u}$, которая равна $\tan u$, и правилом интегрирования сложной функции $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)+C$.
В данном случае $g(u) = \frac{1}{\cos^2 u}$, ее первообразная $G(u) = \tan u$. Аргумент $u = \frac{x}{2}$, поэтому коэффициент $k = \frac{1}{2}$.
Следовательно, первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ имеет вид:
$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx = \frac{1}{1/2} \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C = 2\tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = 2\tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{3x-1} + \frac{1}{2-7x}$.
Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных. Найдем первообразные для каждого слагаемого по отдельности.
1. Для функции $g(x) = \sqrt[3]{3x-1} = (3x-1)^{1/3}$ используем формулу для степенной функции $\int (kx+b)^n \, dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C_1$.
Здесь $k=3$, $b=-1$, $n=1/3$.
$\int (3x-1)^{1/3} \, dx = \frac{1}{3} \frac{(3x-1)^{1/3+1}}{1/3+1} + C_1 = \frac{1}{3} \frac{(3x-1)^{4/3}}{4/3} + C_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} (3x-1)^{4/3} + C_1 = \frac{1}{4}(3x-1)^{4/3} + C_1$.
2. Для функции $h(x) = \frac{1}{2-7x}$ используем формулу $\int \frac{1}{kx+b} \, dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C_2$.
Здесь $k=-7$, $b=2$.
$\int \frac{1}{2-7x} \, dx = \frac{1}{-7}\ln|2-7x| + C_2 = -\frac{1}{7}\ln|2-7x| + C_2$.
Объединяя результаты, получаем общую первообразную $F(x)$:
$F(x) = \frac{1}{4}(3x-1)^{4/3} - \frac{1}{7}\ln|2-7x| + C$, где $C = C_1 + C_2$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}(3x-1)^{4/3} - \frac{1}{7}\ln|2-7x| + C$.