Страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

46.2 Известно, что $\log_2 3 = a$. Найдите:

а) $\log_3 2$;

б) $\log_3 \frac{1}{2}$;

в) $\log_3 4$;

г) $\log_3 \frac{1}{4}$.

а) $log_3 2$

Для нахождения $log_3 2$, зная, что $log_2 3 = a$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов: $log_b c = \frac{1}{log_c b}$.

Применив эту формулу, получим:

$log_3 2 = \frac{1}{log_2 3}$

Поскольку по условию $log_2 3 = a$, подставляем это значение в выражение:

$log_3 2 = \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$.

б) $log_3 \frac{1}{2}$

Чтобы найти $log_3 \frac{1}{2}$, используем свойство логарифма частного или степени. Представим дробь $\frac{1}{2}$ в виде степени $2^{-1}$.

Тогда $log_3 \frac{1}{2} = log_3(2^{-1})$.

Используя свойство логарифма степени $log_b(c^p) = p \cdot log_b c$, вынесем показатель степени за знак логарифма:

$log_3(2^{-1}) = -1 \cdot log_3 2 = -log_3 2$

Из пункта а) нам известно, что $log_3 2 = \frac{1}{a}$. Подставим это значение:

$-log_3 2 = -\frac{1}{a}$

Ответ: $-\frac{1}{a}$.

в) $log_3 4$

Для нахождения $log_3 4$ представим число 4 как степень числа 2, то есть $4 = 2^2$.

Тогда выражение примет вид:

$log_3 4 = log_3(2^2)$

Воспользуемся свойством логарифма степени $log_b(c^p) = p \cdot log_b c$:

$log_3(2^2) = 2 \cdot log_3 2$

Из решения пункта а) мы знаем, что $log_3 2 = \frac{1}{a}$. Подставим это значение:

$2 \cdot log_3 2 = 2 \cdot \frac{1}{a} = \frac{2}{a}$

Ответ: $\frac{2}{a}$.

г) $log_3 \frac{1}{4}$

Для вычисления $log_3 \frac{1}{4}$ можно использовать результаты предыдущих пунктов. Представим $\frac{1}{4}$ как $4^{-1}$.

$log_3 \frac{1}{4} = log_3(4^{-1}) = -1 \cdot log_3 4 = -log_3 4$

Из пункта в) известно, что $log_3 4 = \frac{2}{a}$. Следовательно:

$-log_3 4 = -\frac{2}{a}$

Также можно представить $\frac{1}{4}$ как $2^{-2}$ и использовать результат из пункта а):

$log_3 \frac{1}{4} = log_3(2^{-2}) = -2 \cdot log_3 2 = -2 \cdot \frac{1}{a} = -\frac{2}{a}$

Ответ: $-\frac{2}{a}$.

Сравните числа:

46.5 a) $ \log_2 7 $ и $ \log_7 4 $;

б) $ \log_6 9 $ и $ \log_9 8 $;

в) $ \log_3 5 $ и $ \log_5 4 $;

г) $ \log_{11} 14 $ и $ \log_{14} 13 $.

а) Сравним числа $\log_2 7$ и $\log_7 4$.

Для сравнения этих чисел сравним каждое из них с единицей.

Рассмотрим первое число $\log_2 7$. Основание логарифма $2 > 1$. Так как $7 > 2$, то $\log_2 7 > \log_2 2 = 1$.

Рассмотрим второе число $\log_7 4$. Основание логарифма $7 > 1$. Так как $4 < 7$, то $\log_7 4 < \log_7 7 = 1$.

Поскольку $\log_2 7 > 1$, а $\log_7 4 < 1$, то очевидно, что $\log_2 7 > \log_7 4$.

Ответ: $\log_2 7 > \log_7 4$.

б) Сравним числа $\log_6 9$ и $\log_9 8$.

Для сравнения этих чисел сравним каждое из них с единицей.

Рассмотрим первое число $\log_6 9$. Основание логарифма $6 > 1$. Так как $9 > 6$, то $\log_6 9 > \log_6 6 = 1$.

Рассмотрим второе число $\log_9 8$. Основание логарифма $9 > 1$. Так как $8 < 9$, то $\log_9 8 < \log_9 9 = 1$.

Поскольку $\log_6 9 > 1$, а $\log_9 8 < 1$, то $\log_6 9 > \log_9 8$.

Ответ: $\log_6 9 > \log_9 8$.

в) Сравним числа $\log_3 5$ и $\log_5 4$.

Для сравнения этих чисел сравним каждое из них с единицей.

Рассмотрим первое число $\log_3 5$. Основание логарифма $3 > 1$. Так как $5 > 3$, то $\log_3 5 > \log_3 3 = 1$.

Рассмотрим второе число $\log_5 4$. Основание логарифма $5 > 1$. Так как $4 < 5$, то $\log_5 4 < \log_5 5 = 1$.

Поскольку $\log_3 5 > 1$, а $\log_5 4 < 1$, то $\log_3 5 > \log_5 4$.

Ответ: $\log_3 5 > \log_5 4$.

г) Сравним числа $\log_{11} 14$ и $\log_{14} 13$.

Для сравнения этих чисел сравним каждое из них с единицей.

Рассмотрим первое число $\log_{11} 14$. Основание логарифма $11 > 1$. Так как $14 > 11$, то $\log_{11} 14 > \log_{11} 11 = 1$.

Рассмотрим второе число $\log_{14} 13$. Основание логарифма $14 > 1$. Так как $13 < 14$, то $\log_{14} 13 < \log_{14} 14 = 1$.

Поскольку $\log_{11} 14 > 1$, а $\log_{14} 13 < 1$, то $\log_{11} 14 > \log_{14} 13$.

Ответ: $\log_{11} 14 > \log_{14} 13$.

46.8 a) $3 \log^2_3 x = \frac{5}{\log_x 3} + 2;$

б) $2 \log^2_2 x = \frac{5}{\log_x 2} + 3.$

а) $3 \log_3^2 x = \frac{5}{\log_x 3} + 2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\log_3 x$ определено при $x > 0$. Выражение $\log_x 3$ определено при $x > 0$ и $x \neq 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Для решения уравнения воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Применим ее к $\log_x 3$:

$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 \log_3^2 x = \frac{5}{\frac{1}{\log_3 x}} + 2$

$3 \log_3^2 x = 5 \log_3 x + 2$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение принимает вид:

$3t^2 = 5t + 2$

$3t^2 - 5t - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену:

1) Если $t = 2$, то $\log_3 x = 2$, откуда $x = 3^2 = 9$.

2) Если $t = -\frac{1}{3}$, то $\log_3 x = -\frac{1}{3}$, откуда $x = 3^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Оба полученных значения $x=9$ и $x=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $9; \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

б) $2 \log_2^2 x = \frac{5}{\log_x 2} + 3$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$ и подставим в уравнение:

$2 \log_2^2 x = \frac{5}{\frac{1}{\log_2 x}} + 3$

$2 \log_2^2 x = 5 \log_2 x + 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_2 x$. Уравнение примет вид:

$2y^2 = 5y + 3$

$2y^2 - 5y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 3$, то $\log_2 x = 3$, откуда $x = 2^3 = 8$.

2) Если $y = -\frac{1}{2}$, то $\log_2 x = -\frac{1}{2}$, откуда $x = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Оба корня $x=8$ и $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $8; \frac{1}{\sqrt{2}}$.

46.3 Известно, что $ \log_5 2 = b $. Найдите:

a) $ \log_2 25 $;

б) $ \log_2 \frac{1}{25} $;

в) $ \log_2 125 $;

г) $ \log_2 \frac{1}{625} $.

По условию задачи известно, что $log_5 2 = b$. Для решения всех пунктов необходимо выразить искомые логарифмы, имеющие основание 2, через данную величину $b$. Для этого сначала найдем значение $log_2 5$, используя формулу перехода к новому основанию логарифма: $log_a x = \frac{1}{log_x a}$.

Применим эту формулу: $log_2 5 = \frac{1}{log_5 2}$

Так как по условию $log_5 2 = b$, мы получаем ключевое соотношение для дальнейших вычислений: $log_2 5 = \frac{1}{b}$

а) Требуется найти $log_2 25$.

Представим аргумент логарифма, число 25, в виде степени числа 5: $25 = 5^2$. Подставим это в выражение: $log_2 25 = log_2(5^2)$.

Воспользуемся свойством логарифма степени $log_a(x^p) = p \cdot log_a x$, чтобы вынести показатель степени за знак логарифма: $log_2(5^2) = 2 \cdot log_2 5$.

Теперь подставим ранее полученное значение $log_2 5 = \frac{1}{b}$: $2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$.

Ответ: $\frac{2}{b}$

б) Требуется найти $log_2 \frac{1}{25}$.

Представим аргумент логарифма $\frac{1}{25}$ в виде степени числа 5: $\frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$. Подставим это в выражение: $log_2 \frac{1}{25} = log_2(5^{-2})$.

Вынесем показатель степени за знак логарифма, используя свойство $log_a(x^p) = p \cdot log_a x$: $log_2(5^{-2}) = -2 \cdot log_2 5$.

Подставим $log_2 5 = \frac{1}{b}$: $-2 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{2}{b}$.

Ответ: $-\frac{2}{b}$

в) Требуется найти $log_2 125$.

Представим число 125 в виде степени числа 5: $125 = 5^3$. Подставим в выражение: $log_2 125 = log_2(5^3)$.

Вынесем показатель степени за знак логарифма: $log_2(5^3) = 3 \cdot log_2 5$.

Подставим $log_2 5 = \frac{1}{b}$: $3 \cdot \frac{1}{b} = \frac{3}{b}$.

Ответ: $\frac{3}{b}$

г) Требуется найти $log_2 \frac{1}{625}$.

Представим $\frac{1}{625}$ в виде степени числа 5. Поскольку $625 = 5^4$, то $\frac{1}{625} = 5^{-4}$. Подставим в выражение: $log_2 \frac{1}{625} = log_2(5^{-4})$.

Вынесем показатель степени за знак логарифма: $log_2(5^{-4}) = -4 \cdot log_2 5$.

Подставим $log_2 5 = \frac{1}{b}$: $-4 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{4}{b}$.

Ответ: $-\frac{4}{b}$

46.6 а) $\log_2 6$ и $\log_4 5$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{4}} 1,5$;

в) $\log_9 6$ и $\log_3 7$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{9}} 7$.

а) Сравним числа $\log_2 6$ и $\log_4 5$. Для этого приведем логарифмы к одному основанию 2. Преобразуем второй логарифм, используя свойства $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $n \log_a b = \log_a b^n$: $\log_4 5 = \log_{2^2} 5 = \frac{1}{2} \log_2 5 = \log_2 5^{1/2} = \log_2 \sqrt{5}$. Теперь нам нужно сравнить $\log_2 6$ и $\log_2 \sqrt{5}$. Логарифмическая функция с основанием $a=2 > 1$ является возрастающей, поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма. Сравним аргументы: $6$ и $\sqrt{5}$. Так как $6^2 = 36$, а $(\sqrt{5})^2 = 5$, и $36 > 5$, то $6 > \sqrt{5}$. Следовательно, $\log_2 6 > \log_2 \sqrt{5}$, а значит $\log_2 6 > \log_4 5$. Ответ: $\log_2 6 > \log_4 5$.

б) Сравним числа $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{4}} 1,5$. Приведем логарифмы к основанию $\frac{1}{2}$. Преобразуем второй логарифм: $\log_{\frac{1}{4}} 1,5 = \log_{(\frac{1}{2})^2} 1,5 = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{2}} 1,5 = \log_{\frac{1}{2}} (1,5)^{1/2} = \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{1,5}$. Теперь сравним $\log_{\frac{1}{2}} 3$ и $\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{1,5}$. Логарифмическая функция с основанием $a=\frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Сравним аргументы: $3$ и $\sqrt{1,5}$. Так как $3^2=9$, а $(\sqrt{1,5})^2=1,5$, и $9 > 1,5$, то $3 > \sqrt{1,5}$. Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{1,5}$. Следовательно, $\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 1,5$. Ответ: $\log_{\frac{1}{2}} 3 < \log_{\frac{1}{4}} 1,5$.

в) Сравним числа $\log_9 6$ и $\log_3 7$. Приведем логарифмы к основанию 3. Преобразуем первый логарифм: $\log_9 6 = \log_{3^2} 6 = \frac{1}{2} \log_3 6 = \log_3 6^{1/2} = \log_3 \sqrt{6}$. Теперь сравним $\log_3 \sqrt{6}$ и $\log_3 7$. Логарифмическая функция с основанием $a=3 > 1$ является возрастающей. Сравним аргументы: $\sqrt{6}$ и $7$. Так как $(\sqrt{6})^2=6$, а $7^2=49$, и $6 < 49$, то $\sqrt{6} < 7$. Следовательно, $\log_3 \sqrt{6} < \log_3 7$, а значит $\log_9 6 < \log_3 7$. Ответ: $\log_9 6 < \log_3 7$.

г) Сравним числа $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{9}} 7$. Приведем логарифмы к основанию $\frac{1}{3}$. Преобразуем второй логарифм: $\log_{\frac{1}{9}} 7 = \log_{(\frac{1}{3})^2} 7 = \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}} 7^{1/2} = \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{7}$. Теперь сравним $\log_{\frac{1}{3}} 4$ и $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{7}$. Логарифмическая функция с основанием $a=\frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$, является убывающей. Сравним аргументы: $4$ и $\sqrt{7}$. Так как $4^2=16$, а $(\sqrt{7})^2=7$, и $16 > 7$, то $4 > \sqrt{7}$. Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{3}} \sqrt{7}$. Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{9}} 7$. Ответ: $\log_{\frac{1}{3}} 4 < \log_{\frac{1}{9}} 7$.

46.1 Вычислите:

a) $log_{2}{\frac{1}{3}} + log_{4}{9};$

б) $log_{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} + log_{3}{\frac{1}{2}};$

в) $log_{25}{9} - log_{5}{3};$

г) $log_{16}{4} - log_{4}{8}.$

а) $ \log_{2}{\frac{1}{3}} + \log_{4}{9} $
Для того чтобы выполнить сложение логарифмов, необходимо привести их к одинаковому основанию. Удобнее всего привести оба логарифма к основанию 2.
Преобразуем второй член выражения, используя формулу перехода к новому основанию в виде $ \log_{a^k}{b^m} = \frac{m}{k}\log_{a}{b} $.
Поскольку $ 4 = 2^2 $ и $ 9 = 3^2 $, получаем:
$ \log_{4}{9} = \log_{2^2}{3^2} = \frac{2}{2}\log_{2}{3} = 1 \cdot \log_{2}{3} = \log_{2}{3} $
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$ \log_{2}{\frac{1}{3}} + \log_{2}{3} $
Воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_{a}{x} + \log_{a}{y} = \log_{a}{(xy)} $.
$ \log_{2}{(\frac{1}{3} \cdot 3)} = \log_{2}{1} $
Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, так как $ 2^0 = 1 $.
$ \log_{2}{1} = 0 $
Ответ: 0

б) $ \log_{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} + \log_{3}{\frac{1}{2}} $
Приведем логарифмы к основанию 3.
Преобразуем первый логарифм, учитывая, что $ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} $:
$ \log_{\sqrt{3}}{3\sqrt{2}} = \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{1/2}\log_{3}{(3\sqrt{2})} = 2\log_{3}{(3\sqrt{2})} $
Используем свойство логарифма произведения $ \log_{a}{(xy)} = \log_{a}{x} + \log_{a}{y} $:
$ 2\log_{3}{(3\sqrt{2})} = 2(\log_{3}{3} + \log_{3}{\sqrt{2}}) = 2(1 + \log_{3}{2^{\frac{1}{2}}}) = 2(1 + \frac{1}{2}\log_{3}{2}) = 2 + \log_{3}{2} $
Преобразуем второй логарифм, используя свойство $ \log_{a}{\frac{1}{x}} = -\log_{a}{x} $:
$ \log_{3}{\frac{1}{2}} = -\log_{3}{2} $
Теперь сложим полученные выражения:
$ (2 + \log_{3}{2}) + (-\log_{3}{2}) = 2 + \log_{3}{2} - \log_{3}{2} = 2 $
Ответ: 2

в) $ \log_{25}{9} - \log_{5}{3} $
Приведем логарифмы к одному основанию 5.
Представим основание и аргумент первого логарифма в виде степеней: $ 25 = 5^2 $ и $ 9 = 3^2 $.
$ \log_{25}{9} = \log_{5^2}{3^2} $
Используем свойство $ \log_{a^k}{b^m} = \frac{m}{k}\log_{a}{b} $:
$ \log_{5^2}{3^2} = \frac{2}{2}\log_{5}{3} = \log_{5}{3} $
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$ \log_{5}{3} - \log_{5}{3} = 0 $
Ответ: 0

г) $ \log_{16}{4} - \log_{4}{8} $
Для вычисления приведем оба логарифма к общему основанию 2.
Напомним, что $ 16 = 2^4 $, $ 4 = 2^2 $ и $ 8 = 2^3 $.
Преобразуем первый логарифм:
$ \log_{16}{4} = \log_{2^4}{2^2} = \frac{2}{4}\log_{2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $
Преобразуем второй логарифм:
$ \log_{4}{8} = \log_{2^2}{2^3} = \frac{3}{2}\log_{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $
Теперь выполним вычитание полученных значений:
$ \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1 $
Ответ: -1

46.4 Известно, что $log_{2}3 = a$. Найдите:

a) $log_{4}9$;

б) $log_{8}18$;

в) $log_{4}81$;

г) $log_{8}54$.

а) Для нахождения значения $log_4 9$, воспользуемся свойствами логарифмов. Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней: $4 = 2^2$ и $9 = 3^2$.

Применим формулу $log_{b^n} (x^m) = \frac{m}{n} log_b x$:

$log_4 9 = log_{2^2} (3^2) = \frac{2}{2} log_2 3 = 1 \cdot log_2 3$.

Поскольку по условию $log_2 3 = a$, получаем:

$log_4 9 = a$.

Ответ: $a$.

б) Для нахождения значения $log_8 18$, перейдем к основанию 2, используя формулу замены основания логарифма $log_b x = \frac{log_c x}{log_c b}$:

$log_8 18 = \frac{log_2 18}{log_2 8}$.

Найдем значение знаменателя: $log_2 8 = log_2 (2^3) = 3 \cdot log_2 2 = 3 \cdot 1 = 3$.

Теперь найдем значение числителя. Разложим число 18 на множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.

Используя свойства логарифма произведения ($log_b (xy) = log_b x + log_b y$) и логарифма степени ($log_b (x^k) = k \cdot log_b x$), получаем:

$log_2 18 = log_2(2 \cdot 3^2) = log_2 2 + log_2 (3^2) = 1 + 2 \cdot log_2 3$.

По условию $log_2 3 = a$, поэтому числитель равен $1 + 2a$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$log_8 18 = \frac{1 + 2a}{3}$.

Ответ: $\frac{1 + 2a}{3}$.

в) Для нахождения значения $log_4 81$, представим основание и аргумент логарифма в виде степеней: $4 = 2^2$ и $81 = 3^4$.

Используем формулу $log_{b^n} (x^m) = \frac{m}{n} log_b x$:

$log_4 81 = log_{2^2} (3^4) = \frac{4}{2} log_2 3 = 2 \cdot log_2 3$.

Так как по условию $log_2 3 = a$, получаем:

$log_4 81 = 2a$.

Ответ: $2a$.

г) Для нахождения значения $log_8 54$, перейдем к основанию 2 с помощью формулы замены основания логарифма $log_b x = \frac{log_c x}{log_c b}$:

$log_8 54 = \frac{log_2 54}{log_2 8}$.

Знаменатель равен: $log_2 8 = log_2 (2^3) = 3$.

Для нахождения числителя, разложим число 54 на простые множители: $54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$.

Применим свойства логарифма произведения и степени:

$log_2 54 = log_2(2 \cdot 3^3) = log_2 2 + log_2 (3^3) = 1 + 3 \cdot log_2 3$.

По условию $log_2 3 = a$, следовательно, числитель равен $1 + 3a$.

Теперь подставим найденные значения в дробь:

$log_8 54 = \frac{1 + 3a}{3}$.

Ответ: $\frac{1 + 3a}{3}$.

Решите уравнение:

46.7 a) $log_4 x + log_{16} x + log_2 x = 7;$

б) $log_3 x + log_{\sqrt{3}} x + log_{\frac{1}{3}} x = 6.$

a) $\log_4 x + \log_{16} x + \log_2 x = 7$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Для решения уравнения приведем все логарифмы к одному основанию. Наиболее удобным общим основанием является 2, так как $4 = 2^2$ и $16 = 2^4$.

Воспользуемся формулой $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем каждый логарифм в уравнении:

$\log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2} \log_2 x$

$\log_{16} x = \log_{2^4} x = \frac{1}{4} \log_2 x$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$\frac{1}{2} \log_2 x + \frac{1}{4} \log_2 x + \log_2 x = 7$

Для удобства вынесем общий множитель $\log_2 x$ за скобки:

$\log_2 x \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + 1) = 7$

Вычислим значение выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{2+1+4}{4} = \frac{7}{4}$

Уравнение принимает вид:

$\log_2 x \cdot \frac{7}{4} = 7$

Найдем $\log_2 x$:

$\log_2 x = 7 \div \frac{7}{4} = 7 \cdot \frac{4}{7}$

$\log_2 x = 4$

Теперь, по определению логарифма, найдем $x$:

$x = 2^4$

$x = 16$

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. Так как $16 > 0$, решение является верным.

Ответ: $16$

б) $\log_3 x + \log_{\sqrt{3}} x + \log_{\frac{1}{3}} x = 6$

ОДЗ данного уравнения: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3. Для этого представим основания $\sqrt{3}$ и $\frac{1}{3}$ в виде степени числа 3:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ для преобразования членов уравнения:

$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{1/2} \log_3 x = 2 \log_3 x$

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{3^{-1}} x = \frac{1}{-1} \log_3 x = -\log_3 x$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$\log_3 x + 2 \log_3 x - \log_3 x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1 + 2 - 1) \log_3 x = 6$

$2 \log_3 x = 6$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\log_3 x = 3$

По определению логарифма, найдем $x$:

$x = 3^3$

$x = 27$

Найденный корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($27 > 0$).

Ответ: $27$

1. Как найти среднюю скорость прямолинейного движения материальной точки за промежуток времени $[t; t + \Delta t]$, если известен закон движения $s = s(t)$?

1. Средняя скорость прямолинейного движения материальной точки по определению – это скалярная физическая величина, равная отношению пути, пройденного точкой, ко времени, за которое этот путь пройден. В случае прямолинейного движения в одном направлении путь равен модулю перемещения.

Закон движения $s = s(t)$ определяет положение материальной точки (или пройденный ею путь от начального положения) в любой момент времени $t$.

Чтобы найти среднюю скорость на временном промежутке $[t; t + \Delta t]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить положение точки в начальный момент времени $t$. Оно равно $s(t)$.

2. Определить положение точки в конечный момент времени $t + \Delta t$. Оно равно $s(t + \Delta t)$.

3. Найти перемещение (или приращение пути) $\Delta s$ за этот промежуток времени. Оно равно разности между конечным и начальным положениями: $\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$.

4. Определить длительность самого промежутка времени $\Delta t$. Она равна: $(t + \Delta t) - t = \Delta t$.

5. Разделить полученное перемещение $\Delta s$ на длительность промежутка времени $\Delta t$. Полученное отношение и будет являться средней скоростью $v_{ср}$ на данном промежутке.

Таким образом, формула для вычисления средней скорости движения имеет вид:

$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Данное выражение также является определением производной функции $s(t)$ по времени $t$, если устремить $\Delta t$ к нулю. В этом случае средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени становится мгновенной скоростью: $v(t) = s'(t)$.

Ответ: Среднюю скорость $v_{ср}$ прямолинейного движения материальной точки за промежуток времени $[t; t + \Delta t]$ при известном законе движения $s = s(t)$ можно найти по формуле: $v_{ср} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$.

2. Что понимают под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени t? Напишите формулу для вычисления мгновенной скорости, если известен закон движения $s = s(t)$.

Что понимают под мгновенной скоростью прямолинейного движения материальной точки в момент времени t?

Под мгновенной скоростью материальной точки в конкретный момент времени $t$ понимают предел, к которому стремится её средняя скорость за промежуток времени $\Delta t$, когда этот промежуток стремится к нулю.

Рассмотрим процесс подробнее. Пусть закон прямолинейного движения материальной точки задан функцией $s = s(t)$, где $s$ — это координата точки в момент времени $t$.

За промежуток времени от $t$ до $t + \Delta t$ точка совершит перемещение $\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$.

Средняя скорость движения на этом промежутке времени вычисляется как отношение перемещения ко времени:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Чтобы получить скорость не за промежуток, а точно в момент $t$, мы должны сделать промежуток времени $\Delta t$ бесконечно малым, то есть устремить его к нулю. Этот предельный переход от средней скорости к мгновенной и является сутью определения.

Ответ: Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени $t$ — это предел отношения приращения пути $\Delta s$ к соответствующему приращению времени $\Delta t$, когда приращение времени стремится к нулю.

Напишите формулу для вычисления мгновенной скорости, если известен закон движения s = s(t).

Исходя из определения, мгновенная скорость $v(t)$ является пределом средней скорости $v_{ср}$ при $\Delta t \to 0$. Математически это записывается так:
$v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} v_{ср} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$

Данное выражение является определением производной функции $s(t)$ по аргументу $t$. Таким образом, мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t$ равна производной от пути по времени.

Следовательно, формула для вычисления мгновенной скорости имеет вид:
$v(t) = s'(t)$

Ответ: Формула для вычисления мгновенной скорости: $v(t) = s'(t)$ или $v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$.

3. Как определяют касательную к плоской кривой?

Определение касательной к плоской кривой можно дать несколькими способами, в зависимости от того, как задана сама кривая. Основные подходы — геометрический и аналитический (через производную).

Это наиболее наглядное и интуитивно понятное определение. Пусть на плоской кривой L выбрана точка $M_0$. Возьмем на этой же кривой другую точку $M$, отличную от $M_0$. Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей.

Будем перемещать точку $M$ по кривой L, приближая ее к точке $M_0$. При этом секущая $M_0M$ будет вращаться вокруг точки $M_0$. Если при неограниченном приближении точки $M$ к $M_0$ (с любой стороны) секущая $M_0M$ стремится занять некоторое предельное положение, то эта прямая в своем предельном положении называется касательной к кривой L в точке $M_0$.

Ответ: Касательная к кривой в точке — это предельное положение секущей, проходящей через эту точку и другую точку на кривой, когда вторая точка стремится к первой.

Это основной способ нахождения касательной в математическом анализе. Пусть кривая задана как график функции $y = f(x)$, и функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Точка касания имеет координаты $M_0(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$.

Угловой коэффициент секущей, проходящей через точки $M_0(x_0, f(x_0))$ и $M(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, равен: $k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Согласно геометрическому определению, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ является пределом углового коэффициента секущей при $\Delta x \to 0$. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$: $k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0)$

Таким образом, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Зная точку $(x_0, y_0)$ и угловой коэффициент $k_{кас} = f'(x_0)$, можно записать уравнение касательной, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k_{кас}(x - x_0)$ или $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке касания, равное угловому коэффициенту касательной.

Если кривая задана параметрическими уравнениями $x = x(t), y = y(t)$, и функции $x(t), y(t)$ дифференцируемы в точке $t_0$, то точка касания имеет координаты $(x(t_0), y(t_0))$.

Производная $\frac{dy}{dx}$ находится по формуле: $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)}$. Угловой коэффициент касательной в точке, соответствующей параметру $t_0$, равен: $k = \frac{dy}{dx}\bigg|_{t=t_0} = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$

Это справедливо, если $x'(t_0) \neq 0$. Тогда уравнение касательной имеет вид: $y - y(t_0) = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}(x - x(t_0))$

Если $x'(t_0) = 0$, а $y'(t_0) \neq 0$, то касательная является вертикальной прямой с уравнением $x = x(t_0)$. Если $x'(t_0) = 0$ и $y'(t_0) = 0$, то точка является особой, и вопрос о касательной требует дополнительного исследования.

Ответ: Для кривой, заданной параметрически $x = x(t), y = y(t)$, уравнение касательной в точке, соответствующей параметру $t_0$, имеет вид $y - y(t_0) = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}(x - x(t_0))$ при условии, что $x'(t_0) \neq 0$.

Пусть кривая задана уравнением $F(x, y) = 0$. Пусть $M_0(x_0, y_0)$ — неособая точка кривой, то есть в этой точке хотя бы одна из частных производных $\frac{\partial F}{\partial x}$ или $\frac{\partial F}{\partial y}$ не равна нулю.

Для нахождения углового коэффициента касательной $\frac{dy}{dx}$ используется неявное дифференцирование уравнения $F(x, y) = 0$ по переменной $x$: $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Отсюда, если $\frac{\partial F}{\partial y} \neq 0$, угловой коэффициент в точке $(x_0, y_0)$ равен: $k = \frac{dy}{dx}\bigg|_{(x_0, y_0)} = -\frac{F'_x(x_0, y_0)}{F'_y(x_0, y_0)}$

Уравнение касательной можно записать в виде: $y - y_0 = -\frac{F'_x(x_0, y_0)}{F'_y(x_0, y_0)}(x - x_0)$

Более общая и удобная форма уравнения касательной, работающая и для вертикальных касательных (когда $F'_y(x_0, y_0) = 0$), получается из предыдущей умножением на $F'_y(x_0, y_0)$: $F'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F'_y(x_0, y_0)(y - y_0) = 0$

Ответ: Для кривой, заданной неявно уравнением $F(x, y) = 0$, уравнение касательной в неособой точке $(x_0, y_0)$ определяется как $F'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F'_y(x_0, y_0)(y - y_0) = 0$, где $F'_x$ и $F'_y$ — частные производные функции $F$, вычисленные в точке касания.

4. Напишите формулу для вычисления углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$, если известно, что в этой точке существует касательная, не параллельная оси ординат.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$, по своему геометрическому смыслу равен значению производной этой функции в данной точке.

Пусть $k$ — это искомый угловой коэффициент. Тогда для его нахождения необходимо вычислить производную функции $f(x)$, то есть $f'(x)$, и затем найти значение этой производной в точке $x = a$.

Таким образом, основная формула для вычисления углового коэффициента касательной:
$k = f'(a)$

Заданное в условии ограничение — «касательная... не параллельная оси ординат» — является принципиально важным. Оно означает, что касательная не является вертикальной прямой. Угловой коэффициент вертикальной прямой не определён (считается бесконечным). Это условие гарантирует, что производная $f'(a)$ в точке $x = a$ существует и является конечным числом.

Также, используя определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, формулу для углового коэффициента можно представить в развёрнутом виде:
$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$

Эта формула является фундаментальным определением, связывающим понятие касательной и производной.

Ответ: $k = f'(a)$, где $k$ — угловой коэффициент касательной, а $f'(a)$ — значение производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$.

5. Приведите пример графика функции, у которого касательную нельзя провести:

а) в одной точке;

б) в двух точках.

а) в одной точке

Касательную к графику функции нельзя провести в точке, где функция не является дифференцируемой. Это происходит, например, в точках излома графика, где производные слева и справа не совпадают.

Рассмотрим в качестве примера функцию модуля $y = |x|$. График этой функции имеет излом в точке $x=0$.

Функцию можно записать в виде:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Найдем односторонние производные в точке $x=0$.

Производная справа (для $x > 0$): $y' = (x)' = 1$.

Производная слева (для $x < 0$): $y' = (-x)' = -1$.

Поскольку производная справа ($1$) не равна производной слева ($-1$), функция не является дифференцируемой в точке $x=0$. Следовательно, в этой единственной точке невозможно провести касательную.

Ответ: График функции $y = |x|$, у которого нельзя провести касательную в точке $(0, 0)$.

б) в двух точках

Чтобы получить функцию, у которой касательную нельзя провести в двух точках, можно создать график с двумя точками излома. Для этого подходит, например, функция $y = |x^2 - 1|$.

Точки излома возникают там, где выражение под знаком модуля меняет знак, то есть при $x^2 - 1 = 0$. Это происходит в точках $x = 1$ и $x = -1$.

Раскроем модуль:

$y = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } |x| \ge 1 \\ -(x^2 - 1) = 1 - x^2, & \text{если } |x| < 1 \end{cases}$

Найдем односторонние производные в точках $x=-1$ и $x=1$.

В точке $x=-1$:

Производная слева (из $y=x^2-1$): $y' = 2x \implies y'(-1) = -2$.

Производная справа (из $y=1-x^2$): $y' = -2x \implies y'(-1) = 2$.

Так как $-2 \ne 2$, в точке $x=-1$ касательную провести нельзя.

В точке $x=1$:

Производная слева (из $y=1-x^2$): $y' = -2x \implies y'(1) = -2$.

Производная справа (из $y=x^2-1$): $y' = 2x \implies y'(1) = 2$.

Так как $-2 \ne 2$, в точке $x=1$ касательную также провести нельзя.

Ответ: График функции $y = |x^2 - 1|$, у которого нельзя провести касательную в точках $x=-1$ и $x=1$.

6. Что называют производной функции $y = f(x)$ в точке $x = a$?

Производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, при условии, что этот предел существует и является конечным числом.

Обозначим приращение аргумента как $\Delta x$. Соответствующее ему приращение функции будет $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$.

Тогда производная функции $f(x)$ в точке $a$, обозначаемая $f'(a)$, определяется формулой:

Эквивалентная форма записи, где полагается $x = a + \Delta x$, и, следовательно, $x \to a$ при $\Delta x \to 0$:

Геометрический смысл производной
Значение производной $f'(a)$ равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$. Этот коэффициент также равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox: $k = \tan(\alpha) = f'(a)$.

Физический смысл производной
Производная характеризует мгновенную скорость изменения функции в данной точке. Если функция $s(t)$ описывает закон движения точки (зависимость пути от времени), то ее производная $s'(a)$ представляет собой мгновенную скорость движения в момент времени $t=a$.

Ответ: Производной функции $y=f(x)$ в точке $x=a$ называют предел отношения приращения функции $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует и конечен. Формула для вычисления производной: $f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$.

7. В чём состоит физический смысл производной?

Физический смысл производной заключается в том, что она характеризует скорость изменения одной физической величины относительно другой. Если какая-либо физическая величина $y$ является функцией другой величины $x$, то есть $y = f(x)$, то производная $f'(x)$ показывает, насколько быстро изменяется $y$ в данный момент (или в данной точке) при бесконечно малом изменении $x$.

Наиболее классическим и понятным примером является механическое движение:

• Если закон движения материальной точки задан функцией $s(t)$, где $s$ — это координата (путь), а $t$ — время, то производная от координаты по времени есть не что иное, как мгновенная скорость $v(t)$ этой точки в момент времени $t$. Она показывает, с какой скоростью меняется положение тела в данный конкретный момент.

  $v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt}$

• В свою очередь, производная от скорости по времени — это мгновенное ускорение $a(t)$ точки в момент времени $t$. Ускорение показывает, как быстро меняется скорость тела в данный момент.

  $a(t) = v'(t) = s''(t) = \frac{dv}{dt}$

Этот же принцип применим и ко многим другим физическим процессам:

• Сила тока ($I$) в проводнике — это производная от электрического заряда ($q$), прошедшего через поперечное сечение проводника, по времени ($t$): $I(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$.

• Электродвижущая сила (ЭДС) индукции ($\mathcal{E}_{i}$) в замкнутом контуре пропорциональна скорости изменения магнитного потока ($\Phi$) через поверхность, ограниченную этим контуром: $\mathcal{E}_{i} = -\frac{d\Phi}{dt}$.

• Мощность ($P$) — это скорость совершения работы ($A$) во времени, то есть производная работы по времени: $P(t) = \frac{dA}{dt}$.

• Линейная плотность ($\rho_l$) неоднородного стержня в точке $x$ — это производная массы ($m$) части стержня по его длине ($l$): $\rho_l(x) = \frac{dm}{dl}$.

Таким образом, производная является фундаментальным математическим инструментом в физике, позволяющим описывать мгновенные характеристики различных процессов, в отличие от средних характеристик, которые вычисляются для конечных интервалов.

Ответ: Физический смысл производной функции $y=f(x)$ заключается в том, что она представляет собой скорость изменения величины $y$ относительно величины $x$. В механике производная от координаты по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости по времени — мгновенное ускорение.

8. В чём состоит геометрический смысл производной?

Геометрический смысл производной заключается в том, что она описывает поведение касательной к графику функции в конкретной точке.

Рассмотрим график функции $y = f(x)$. Выберем на нем произвольную точку $M_0$ с координатами $(x_0, y_0)$, где $y_0 = f(x_0)$. Возьмем также другую точку $M$ на этом графике, смещенную относительно $M_0$ на некоторое расстояние. Координаты точки $M$ будут $(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$, где $\Delta x$ — это приращение аргумента, а $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — соответствующее приращение функции.

Прямая, проходящая через точки $M_0$ и $M$, называется секущей. Ее угловой коэффициент $k_{сек}$ (который равен тангенсу угла наклона секущей к положительному направлению оси абсцисс) вычисляется как отношение приращения функции к приращению аргумента: $k_{сек} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Теперь представим, что мы начинаем двигать точку $M$ по графику к точке $M_0$. В этом случае приращение аргумента $\Delta x$ будет стремиться к нулю. Секущая $M_0M$ будет поворачиваться вокруг точки $M_0$, и ее предельное положение, когда $\Delta x \to 0$, называется касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $M_0$.

Соответственно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ будет равен пределу, к которому стремится угловой коэффициент секущей: $k_{кас} = \lim_{\Delta x \to 0} k_{сек} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Данный предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается как $f'(x_0)$.

Таким образом, значение производной функции в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$. Если $\alpha$ — это угол наклона касательной к положительному направлению оси Ox, то: $f'(x_0) = k_{кас} = \tan \alpha$

Это позволяет, например, найти уравнение касательной к графику в точке $(x_0, f(x_0))$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Ответ: Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что её значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

9. Найдите $f'(a)$, если известно, что касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ параллельна оси абсцисс.

Согласно геометрическому смыслу производной, значение производной функции в точке, $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту $k$ касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$. Таким образом, $k = f'(x_0)$.

В данной задаче речь идет о точке с абсциссой $x = a$. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этой точке равен $k = f'(a)$.

По условию, касательная к графику функции в точке $x = a$ параллельна оси абсцисс (оси Ox). Ось абсцисс — это горизонтальная прямая. Угловой коэффициент любой горизонтальной прямой равен нулю.

Так как касательная параллельна оси абсцисс, их угловые коэффициенты равны. Значит, угловой коэффициент касательной также равен 0.

Приравнивая угловой коэффициент касательной к значению производной в точке $a$, получаем: $f'(a) = 0$.

Ответ: 0

10. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно вычислить $f'(a)$ для функции $y = f(x)$.

Чтобы вычислить значение производной $f'(a)$ для функции $y = f(x)$ в точке $x = a$, необходимо выполнить следующую последовательность действий (алгоритм):

1. Нахождение производной функции $f'(x)$

   Это основной этап, который заключается в нахождении общего выражения для производной. Для этого необходимо:

   • Проанализировать вид функции $f(x)$: является ли она степенной, тригонометрической, показательной, логарифмической или их комбинацией (сумма, произведение, частное, сложная функция).
   • Применить соответствующие правила дифференцирования и формулы из таблицы производных. Основные правила:
     • Производная суммы/разности: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
     • Производная произведения: $(u \cdot v)' = u'v + uv'
     • Производная частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
     • Производная сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
   • Упростить полученное выражение для $f'(x)$, если это возможно. Это облегчит дальнейшие вычисления.
2. Подстановка значения $x=a$ в выражение для производной

   После того как найдена функция $f'(x)$, нужно найти ее частное значение в заданной точке. Этот шаг включает:

   • Проверку, что точка $a$ принадлежит области определения производной $f'(x)$. Если производная в этой точке не существует (например, происходит деление на ноль), то вычислить $f'(a)$ невозможно.
   • Замену переменной $x$ на ее конкретное значение $a$ в выражении для $f'(x)$.
3. Вычисление результата

   Это заключительный, арифметический этап.

   • Необходимо выполнить все математические операции в выражении, полученном на предыдущем шаге.
   • Полученное число и будет искомым значением $f'(a)$.

Таким образом, процесс нахождения значения производной в точке можно разбить на три логических шага: дифференцирование, подстановка и вычисление.

В качестве альтернативы, особенно в теоретических задачах, можно использовать непосредственное определение производной в точке:

$$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$$

Этот метод требует нахождения предела разностного отношения и, как правило, более трудоемок для большинства функций.

Ответ: Для вычисления $f'(a)$ необходимо: 1. Найти производную функцию $f'(x)$, используя правила дифференцирования и таблицу производных. 2. Подставить значение $a$ вместо $x$ в полученное выражение для $f'(x)$. 3. Вычислить итоговое числовое значение.

11. Чему равна производная функции:

а) $y = 5$;

б) $y = kx + m$;

в) $y = x^2$;

г) $y = \frac{1}{x}$?

а) Дана функция $y = 5$. Это константная функция, так как её значение не зависит от переменной $x$. Производная любой константной функции равна нулю.
Согласно правилу дифференцирования константы: $(C)' = 0$, где $C$ - постоянная.
В данном случае $C = 5$, следовательно, производная функции $y'$ равна:
$y' = (5)' = 0$.
Ответ: $y' = 0$.

б) Дана линейная функция $y = kx + m$, где $k$ и $m$ - константы.
Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования:
1. Производная суммы функций равна сумме их производных: $(u+v)' = u' + v'$.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: $(C \cdot u)' = C \cdot u'$.
3. Производная независимой переменной равна единице: $(x)' = 1$.
4. Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$.
Применяя эти правила, получаем:
$y' = (kx + m)' = (kx)' + (m)'$.
Используя правила 2 и 3, находим производную первого слагаемого: $(kx)' = k \cdot (x)' = k \cdot 1 = k$.
Используя правило 4, находим производную второго слагаемого: $(m)' = 0$.
Следовательно, $y' = k + 0 = k$.
Ответ: $y' = k$.

в) Дана степенная функция $y = x^2$.
Для нахождения производной степенной функции используется общая формула $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
В данном случае показатель степени $n = 2$. Подставим это значение в формулу:
$y' = (x^2)' = 2 \cdot x^{2-1} = 2 \cdot x^1 = 2x$.
Ответ: $y' = 2x$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{x}$.
Для нахождения производной представим эту функцию в виде степенной, используя свойство степеней с отрицательным показателем: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.
Таким образом, $y = x^{-1}$.
Теперь применим формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = -1$.
$y' = (x^{-1})' = (-1) \cdot x^{-1-1} = -1 \cdot x^{-2} = -x^{-2}$.
Запишем результат в виде дроби: $-x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2}$.

12.

Функцию $y = f(x)$ называют дифференцируемой в точке $x_0$, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если существует конечный предел отношения приращения функции $\Delta y$ в этой точке к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ и обозначается как $f'(x_0)$.

Математически это определение записывается так:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Таким образом, можно сказать, что функция дифференцируема в точке, если в этой точке у нее существует конечная производная.

Существует и другое, эквивалентное определение:

Функция $y = f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0$, если ее приращение $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ в этой точке можно представить в виде:

$\Delta y = A \cdot \Delta x + o(\Delta x)$

где $A$ — некоторое число, не зависящее от $\Delta x$, а $o(\Delta x)$ (читается "о малое от дельта икс") — это функция, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с $\Delta x$, то есть для нее выполняется условие $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} = 0$.

В этой записи число $A$ как раз и равно значению производной функции в точке $x_0$, то есть $A = f'(x_0)$. Линейная часть приращения $A \cdot \Delta x$ называется дифференциалом функции в точке $x_0$ и обозначается $dy$ или $df(x_0)$.

Геометрический смысл дифференцируемости заключается в том, что у графика функции в точке $(x_0, f(x_0))$ существует невертикальная касательная. Угловой коэффициент этой касательной равен значению производной $f'(x_0)$.

Важным свойством является то, что если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: непрерывная функция не всегда является дифференцируемой (например, функция $y = |x|$ непрерывна в точке $x=0$, но не дифференцируема в ней).

Ответ:

Функция называется дифференцируемой в точке $x_0$, если в этой точке существует ее конечная производная, то есть существует конечный предел $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

13.

Сделать вывод о дифференцируемости функции в некоторой точке по её графику можно, проанализировав поведение графика в окрестности этой точки. Функция дифференцируема в точке, если ее график в этой точке "гладкий" и имеет единственную невертикальную касательную.

Признаки недифференцируемости функции в точке $x_0$ на графике следующие:

1. Точки разрыва. Если в точке $x_0$ график функции имеет разрыв (скачок, "выколотую" точку или уходит на бесконечность), то функция в этой точке не является непрерывной, а следовательно, и недифференцируемой. Дифференцируемость в точке подразумевает непрерывность в ней.

2. Точки излома ("острые углы"). Это точки, в которых график резко меняет направление. В таких точках левая и правая производные не равны, что означает отсутствие единой касательной. Классический пример — функция $y = |x|$ в точке $x=0$.

3. Точки возврата ("каспы"). Это частный случай излома, где график подходит к точке с одной стороны и "возвращается" в ту же сторону. В такой точке касательная обычно вертикальна. Пример — функция $y = x^{2/3}$ в точке $x=0$.

4. Вертикальная касательная. Если касательная к графику функции в точке $x_0$ существует, но она вертикальна (параллельна оси OY), то производная в этой точке обращается в бесконечность. Поскольку для дифференцируемости требуется конечная производная, в такой точке функция недифференцируема. Пример — функция $y = \sqrt[3]{x}$ в точке $x=0$.

Таким образом, чтобы сделать вывод о дифференцируемости функции на некотором интервале по ее графику, нужно убедиться, что на всем этом интервале график является непрерывной, плавной линией без разрывов, изломов и точек с вертикальными касательными.

Ответ:

По графику функции можно сделать вывод, что функция дифференцируема в точке, если в этой точке график является гладким, то есть не имеет разрывов, "острых углов" (изломов), точек возврата или вертикальных касательных. Наличие любого из этих элементов в точке свидетельствует о недифференцируемости функции в этой точке.

13. Как по графику функции сделать вывод о её дифференцируемости?

Сделать вывод о дифференцируемости функции по её графику можно, проанализировав поведение графика в интересующей точке. Геометрический смысл производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведённой к графику функции в точке $(x_0, f(x_0))$.

Функция является дифференцируемой в точке, если в этой точке к её графику можно провести единственную невертикальную касательную. Визуально это означает, что в окрестности данной точки график является "гладкой" линией.

Функция недифференцируема в точке, если её график в этой точке имеет одну из следующих особенностей:

1. Разрыв

Необходимым условием дифференцируемости функции в точке является её непрерывность в этой точке. Если график функции имеет разрыв, то провести в этой точке касательную невозможно. Виды разрывов на графике:

• Скачок (разрыв первого рода): график резко переходит с одного уровня на другой.
• "Выколотая" точка (устранимый разрыв): на сплошной линии графика есть одна отсутствующая точка.
• Вертикальная асимптота (разрыв второго рода): график уходит в бесконечность при приближении к точке.

Во всех этих случаях функция в точке разрыва недифференцируема.

2. Точка излома ("угол")

В точке излома график резко меняет направление. В такой точке невозможно провести единственную касательную. Слева и справа от точки излома существуют свои касательные, но их угловые коэффициенты различны. Это означает, что односторонние производные в точке $x_0$ не равны:

$f'_{-}(x_0) \neq f'_{+}(x_0)$

Классический пример — функция $y = |x|$ в точке $x_0 = 0$. Слева от нуля производная равна $-1$, а справа $+1$. Так как значения не совпадают, функция недифференцируема в нуле.

3. Точка возврата ("касп" или "клюв")

Это особый, более острый вид точки излома. В таких точках касательные с обеих сторон стремятся занять вертикальное положение. Односторонние производные при этом стремятся к бесконечности (например, одна к $+\infty$, а другая к $-\infty$).

Пример — функция $y = x^{2/3}$ в точке $x_0=0$. Её график в этой точке имеет "остриё", и функция в ней недифференцируема.

4. Вертикальная касательная

В этом случае график функции является непрерывным и гладким, но в одной точке касательная к нему становится строго вертикальной. Угол наклона такой касательной равен $90^\circ$, а её угловой коэффициент (тангенс) не определён (стремится к бесконечности). Поскольку производная и есть угловой коэффициент, она в такой точке не существует как конечное число.

Пример — функция $y = \sqrt[3]{x}$ в точке $x_0 = 0$. График в начале координат "выпрямляется" вертикально, поэтому функция недифференцируема в этой точке.

Ответ: Чтобы по графику функции сделать вывод о её дифференцируемости, нужно проверить, является ли график в анализируемой точке гладкой непрерывной кривой с невертикальной касательной. Функция недифференцируема в точках, где её график имеет: 1) разрывы любого вида; 2) острые изломы (углы); 3) точки возврата (каспы); 4) вертикальные касательные. Если же в точке и её малой окрестности график является гладкой линией без перечисленных особенностей, то функция в этой точке дифференцируема.