Страница 192, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Для функции $y = f(x)$ найдите хотя бы одну первообразную:

48.3 a) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$;

б) $f(x) = \frac{7}{x^2}$.

а) Для того чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, необходимо найти такую функцию $F(x)$, производная которой $F'(x)$ будет равна $f(x)$. Процесс нахождения первообразной является операцией, обратной дифференцированию, то есть интегрированием.

Запишем данную функцию $f(x) = -\frac{1}{x^2}$ в виде степенной функции: $f(x) = -x^{-2}$.

Для нахождения первообразной степенной функции $x^n$ используется формула: $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). В нашем случае $n = -2$.

Применим эту формулу:

$F(x) = \int \left(-x^{-2}\right) dx = -\int x^{-2} dx = -\left(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}\right) + C = -\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) + C = x^{-1} + C = \frac{1}{x} + C$.

В задаче требуется найти хотя бы одну первообразную, поэтому мы можем выбрать любое значение для константы $C$. Самый простой вариант — положить $C=0$.

В этом случае одна из первообразных для данной функции: $F(x) = \frac{1}{x}$.

Для проверки можно найти производную от полученной функции: $F'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$, что полностью совпадает с исходной функцией $f(x)$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{x}$.

б) Аналогично найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{7}{x^2}$.

Представим функцию в виде $f(x) = 7x^{-2}$.

Используем ту же формулу для первообразной степенной функции. Константу $7$ можно вынести за знак интеграла:

$F(x) = \int 7x^{-2} dx = 7\int x^{-2} dx = 7\left(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}\right) + C = 7\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) + C = -7x^{-1} + C = -\frac{7}{x} + C$.

Так как нам нужна лишь одна первообразная, выберем $C=0$.

Тогда первообразная имеет вид: $F(x) = -\frac{7}{x}$.

Проверим результат: $F'(x) = \left(-\frac{7}{x}\right)' = -7(x^{-1})' = -7(-1 \cdot x^{-2}) = 7x^{-2} = \frac{7}{x^2}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.

Ответ: $F(x) = -\frac{7}{x}$.

Докажите, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, если:

48.1 a) $F(x) = x^2 + x^3$, $f(x) = 2x + 3x^2$;

б) $F(x) = x^4 - x^{11}$, $f(x) = 4x^3 - 11x^{10}$;

в) $F(x) = x^7 + x^9$, $f(x) = 7x^6 + 9x^8$;

г) $F(x) = x^{13} - x^{19}$, $f(x) = 13x^{12} - 19x^{18}$.

Согласно определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Чтобы доказать утверждение для каждого пункта, мы найдем производную функции $F(x)$ и сравним ее с функцией $f(x)$.

Основная формула для дифференцирования, которая будет использоваться: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

а) Даны функции $F(x) = x^2 + x^3$ и $f(x) = 2x + 3x^2$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования суммы:

$F'(x) = (x^2 + x^3)' = (x^2)' + (x^3)' = 2x^{2-1} + 3x^{3-1} = 2x + 3x^2$.

Сравнивая полученный результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = 2x + 3x^2$ в точности совпадает с $f(x)$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б) Даны функции $F(x) = x^4 - x^{11}$ и $f(x) = 4x^3 - 11x^{10}$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования разности:

$F'(x) = (x^4 - x^{11})' = (x^4)' - (x^{11})' = 4x^{4-1} - 11x^{11-1} = 4x^3 - 11x^{10}$.

Сравнивая полученный результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = 4x^3 - 11x^{10}$ совпадает с $f(x)$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

в) Даны функции $F(x) = x^7 + x^9$ и $f(x) = 7x^6 + 9x^8$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^7 + x^9)' = (x^7)' + (x^9)' = 7x^{7-1} + 9x^{9-1} = 7x^6 + 9x^8$.

Полученная производная $F'(x) = 7x^6 + 9x^8$ равна функции $f(x)$.

Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Ответ: Доказано.

г) Даны функции $F(x) = x^{13} - x^{19}$ и $f(x) = 13x^{12} - 19x^{18}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^{13} - x^{19})' = (x^{13})' - (x^{19})' = 13x^{13-1} - 19x^{19-1} = 13x^{12} - 19x^{18}$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, мы видим, что они идентичны.

Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

48.4 a) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

б) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Первообразная $F(x)$ — это функция, производная которой равна данной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для нахождения первообразной нужно вычислить неопределенный интеграл.

1. Перепишем функцию в степенном виде. Корень из $x$ это $x$ в степени $1/2$:
$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{1/2}} = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.

2. Найдем интеграл, используя табличную формулу для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная. В данном случае $n = -1/2$.
$F(x) = \int \frac{1}{2}x^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \int x^{-1/2} dx$.

3. Применяем формулу интегрирования:
$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.

4. Упростим выражение:
$F(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C$.

Таким образом, множество всех первообразных для функции $f(x)$ имеет вид $F(x) = \sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + C$

б)

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$. Это эквивалентно вычислению неопределенного интеграла $\int \frac{6}{\sqrt{x}} dx$.

1. Представим функцию в степенном виде:
$f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}} = 6 \cdot \frac{1}{x^{1/2}} = 6x^{-1/2}$.

2. Вычислим интеграл, используя ту же формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь, как и в предыдущем пункте, $n = -1/2$.
$F(x) = \int 6x^{-1/2} dx = 6 \int x^{-1/2} dx$.

3. Применяем формулу:
$F(x) = 6 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.

4. Упростим полученное выражение:
$F(x) = 6 \cdot 2 \cdot x^{1/2} + C = 12x^{1/2} + C = 12\sqrt{x} + C$.

Таким образом, множество всех первообразных для функции $f(x)$ имеет вид $F(x) = 12\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = 12\sqrt{x} + C$

48.2 а) $F(x) = 3 \sin x, f(x) = 3 \cos x;$

б) $F(x) = -4 \cos x, f(x) = 4 \sin x;$

в) $F(x) = -9 \sin x, f(x) = -9 \cos x;$

Г) $F(x) = 5 \cos x, f(x) = -5 \sin x.$

а) Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 3 \sin x$ первообразной для функции $f(x) = 3 \cos x$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.
Находим производную $F(x)$:
$F'(x) = (3 \sin x)'$
Используя правило вынесения константы за знак производной и производную синуса $(\sin x)' = \cos x$, получаем:
$F'(x) = 3 \cdot (\sin x)' = 3 \cos x$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = 3 \cos x$ и $f(x) = 3 \cos x$.
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Утверждение верно, так как $F'(x) = (3 \sin x)' = 3 \cos x = f(x)$.

б) Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x) = -4 \cos x$ первообразной для функции $f(x) = 4 \sin x$, необходимо найти производную функции $F(x)$.
Находим производную $F(x)$:
$F'(x) = (-4 \cos x)'$
Используя правило вынесения константы за знак производной и производную косинуса $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:
$F'(x) = -4 \cdot (\cos x)' = -4 \cdot (-\sin x) = 4 \sin x$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = 4 \sin x$ и $f(x) = 4 \sin x$.
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Утверждение верно, так как $F'(x) = (-4 \cos x)' = 4 \sin x = f(x)$.

в) Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x) = -9 \sin x$ первообразной для функции $f(x) = -9 \cos x$, необходимо найти производную функции $F(x)$.
Находим производную $F(x)$:
$F'(x) = (-9 \sin x)'$
Используя правило вынесения константы за знак производной и производную синуса $(\sin x)' = \cos x$, получаем:
$F'(x) = -9 \cdot (\sin x)' = -9 \cos x$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = -9 \cos x$ и $f(x) = -9 \cos x$.
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Утверждение верно, так как $F'(x) = (-9 \sin x)' = -9 \cos x = f(x)$.

г) Для того чтобы проверить, является ли функция $F(x) = 5 \cos x$ первообразной для функции $f(x) = -5 \sin x$, необходимо найти производную функции $F(x)$.
Находим производную $F(x)$:
$F'(x) = (5 \cos x)'$
Используя правило вынесения константы за знак производной и производную косинуса $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:
$F'(x) = 5 \cdot (\cos x)' = 5 \cdot (-\sin x) = -5 \sin x$.
Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = -5 \sin x$ и $f(x) = -5 \sin x$.
Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Утверждение верно, так как $F'(x) = (5 \cos x)' = -5 \sin x = f(x)$.

48.5 а) $f(x) = x^2 + x^{16};$

Б) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2};$

В) $f(x) = x^{13} + x^{18};$

Г) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1.$

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^2 + x^{16}$ воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции и суммы функций. Общая формула для первообразной степенной функции $x^n$ имеет вид $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Первообразная для первого слагаемого $x^2$ находится по формуле, где $n=2$:$F_1(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

Первообразная для второго слагаемого $x^{16}$ находится по формуле, где $n=16$:$F_2(x) = \frac{x^{16+1}}{16+1} = \frac{x^{17}}{17}$.

Первообразная для суммы функций равна сумме их первообразных. Следовательно, общая первообразная для функции $f(x)$ есть сумма первообразных ее слагаемых плюс произвольная постоянная $C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{17}}{17} + C$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$. Для нахождения первообразной представим каждое слагаемое в виде степенной функции.

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \cdot x^{-1/2}$

$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$

Таким образом, $f(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} - x^{-2}$.

Находим первообразную для первого слагаемого $\frac{1}{2}x^{-1/2}$, используя формулу $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ для $n = -1/2$:$F_1(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}$.

Находим первообразную для второго слагаемого $-x^{-2}$, используя формулу для $n = -2$:$F_2(x) = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = - \frac{x^{-1}}{-1} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Общая первообразная является суммой найденных первообразных плюс произвольная постоянная $C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + C$.

в) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^{13} + x^{18}$ воспользуемся тем же правилом, что и в пункте а).

Первообразная для первого слагаемого $x^{13}$ находится по формуле, где $n=13$:$F_1(x) = \frac{x^{13+1}}{13+1} = \frac{x^{14}}{14}$.

Первообразная для второго слагаемого $x^{18}$ находится по формуле, где $n=18$:$F_2(x) = \frac{x^{18+1}}{18+1} = \frac{x^{19}}{19}$.

Складываем полученные первообразные и добавляем произвольную постоянную $C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{14}}{14} + \frac{x^{19}}{19} + C$.

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 1$. Представим ее в виде суммы степенных функций.

$f(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} + 1$.

Находим первообразную для первого слагаемого, как мы это делали в пункте б):$F_1(x) = \sqrt{x}$.

Находим первообразную для второго слагаемого (константы 1):$F_2(x) = \int 1 \,dx = x$.

Суммируем полученные результаты и добавляем произвольную постоянную $C$, чтобы получить общую первообразную.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + x + C$.