Страница 234, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

60.6 При каких значениях $a$ уравнение $ax^2 + 4x - a + 5 = 0$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет ровно один корень;

в) не имеет действительных корней?

Рассмотрим данное уравнение: $ax^2 + 4x - a + 5 = 0$.

Это уравнение является уравнением второй степени относительно переменной $x$. Однако, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, оно становится линейным. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит при $a = 0$. Подставим это значение в уравнение:

$0 \cdot x^2 + 4x - 0 + 5 = 0$

$4x + 5 = 0$

$4x = -5$

$x = -5/4$

В этом случае уравнение имеет ровно один корень. Это значение $a=0$ будет частью ответа для пункта б).

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит при $a \neq 0$. В этом случае уравнение является квадратным. Количество его действительных корней зависит от знака дискриминанта $D$.

Коэффициенты квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$ в нашем случае:

$A = a$, $B = 4$, $C = -a + 5$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (-a + 5) = 16 - 4a(-a+5) = 16 + 4a^2 - 20a$.

Приведем дискриминант к стандартному виду: $D = 4a^2 - 20a + 16$.

Теперь исследуем знак дискриминанта в зависимости от параметра $a$. Для этого найдем корни уравнения $4a^2 - 20a + 16 = 0$.

Разделим обе части на 4: $a^2 - 5a + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни этого уравнения $a_1=1$ и $a_2=4$.

Таким образом, выражение для дискриминанта можно записать как $D = 4(a-1)(a-4)$.

Графиком функции $y=4(a-1)(a-4)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, и она пересекает ось абсцисс в точках $a=1$ и $a=4$. Следовательно:

• Дискриминант положителен ($D > 0$), если $a$ находится вне интервала между корнями, то есть при $a \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

• Дискриминант равен нулю ($D = 0$), если $a=1$ или $a=4$.

• Дискриминант отрицателен ($D < 0$), если $a$ находится между корнями, то есть при $a \in (1, 4)$.

Теперь мы можем ответить на каждый из вопросов задачи, объединив результаты для $a=0$ и $a \neq 0$.

а) имеет два различных корня;

Уравнение имеет два различных корня, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант положителен ($D > 0$).

Условие $D > 0$ выполняется при $a \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

Из этого множества мы должны исключить значение $a=0$, так как при $a=0$ уравнение не является квадратным.

В результате получаем: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (4, \infty)$.

б) имеет ровно один корень;

Уравнение имеет ровно один корень в двух случаях:

1. Уравнение линейное, что соответствует случаю $a = 0$. Как мы выяснили ранее, при $a=0$ есть один корень $x = -5/4$.

2. Уравнение квадратное ($a \neq 0$), но имеет один корень. Это происходит, когда дискриминант равен нулю ($D = 0$).

Условие $D = 0$ выполняется при $a=1$ и $a=4$. Оба эти значения удовлетворяют условию $a \neq 0$.

Объединяя эти случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $a=0$, $a=1$ или $a=4$.

Ответ: $a=0; a=1; a=4$.

в) не имеет действительных корней?

Уравнение не имеет действительных корней, если оно является квадратным ($a \neq 0$) и его дискриминант отрицателен ($D < 0$).

Условие $D < 0$ выполняется при $a \in (1, 4)$.

Все значения $a$ из этого интервала не равны нулю, поэтому условие $a \neq 0$ выполняется автоматически.

Следовательно, уравнение не имеет действительных корней при $a \in (1, 4)$.

Ответ: $a \in (1, 4)$.

60.7 При каком значении $a$:

а) прямая $y = 6x + a$ касается графика функции $y = x^2$;

б) прямая $y = 4x$ имеет только одну общую точку с графиком функции $y = x^2 + a$?

а)

Чтобы прямая $y = 6x + a$ касалась графика функции $y = x^2$, они должны иметь ровно одну общую точку. Это означает, что уравнение, полученное приравниванием выражений для $y$, должно иметь ровно один корень.

Приравняем правые части уравнений: $x^2 = 6x + a$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 6x - a = 0$

Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$.

В данном уравнении коэффициенты: $A=1$, $B=-6$, $C=-a$. Найдем дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 36 + 4a$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и найдем $a$:
$36 + 4a = 0$
$4a = -36$
$a = -9$

Ответ: $a = -9$.

б)

Прямая $y = 4x$ имеет только одну общую точку с графиком функции $y = x^2 + a$, если соответствующее квадратное уравнение имеет единственный корень.

Найдем это уравнение, приравняв выражения для $y$: $x^2 + a = 4x$

Приведем уравнение к стандартному виду: $x^2 - 4x + a = 0$

Условием наличия единственного корня является равенство дискриминанта $D$ нулю.

Коэффициенты этого уравнения: $A=1$, $B=-4$, $C=a$. Вычислим дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $a$:
$16 - 4a = 0$
$16 = 4a$
$a = 4$

Ответ: $a = 4$.

60.8 При каких значениях $b$ графики функций имеют общие точки:

а) $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + b$;

б) $y = x^2 + 6x + 7$ и $y = 2x + b$?

а) Графики функций имеют общие точки в том и только в том случае, когда система уравнений, составленная из этих функций, имеет решение. Это эквивалентно тому, что уравнение, полученное приравниванием правых частей функций, имеет хотя бы один действительный корень.

Приравняем правые части функций $y = x^2 - 4x + 2$ и $y = -2x + b$:

$x^2 - 4x + 2 = -2x + b$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - 4x + 2x + 2 - b = 0$

$x^2 - 2x + (2 - b) = 0$

Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ больше или равен нулю ($D \ge 0$).

Вычислим дискриминант для этого уравнения, где коэффициенты $a=1$, $b'=-2$, $c'=2-b$:

$D = (b')^2 - 4a'c' = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - b) = 4 - 8 + 4b = 4b - 4$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$ относительно $b$:

$4b - 4 \ge 0$

$4b \ge 4$

$b \ge 1$

Таким образом, графики функций имеют общие точки при $b \ge 1$.

Ответ: $b \ge 1$.

б) Поступим аналогично для функций $y = x^2 + 6x + 7$ и $y = 2x + b$.

Приравняем их правые части:

$x^2 + 6x + 7 = 2x + b$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 6x - 2x + 7 - b = 0$

$x^2 + 4x + (7 - b) = 0$

Это квадратное уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$.

Вычислим дискриминант, где коэффициенты $a=1$, $b'=4$, $c'=7-b$:

$D = (b')^2 - 4a'c' = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7 - b) = 16 - 28 + 4b = 4b - 12$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4b - 12 \ge 0$

$4b \ge 12$

$b \ge 3$

Следовательно, графики данных функций имеют общие точки при $b \ge 3$.

Ответ: $b \ge 3$.

60.9 При каких значениях $a$ система уравнений имеет решения:

а) $\begin{cases} y = 2x^2 - 5x + 1, \\ y = 3x + a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = 3x^2 - 4x - 2, \\ y = -10x + a? \end{cases}$

а)

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых данная система уравнений имеет решения, необходимо определить, при каких условиях графики функций, заданных этими уравнениями, пересекаются.

Система уравнений: $ \begin{cases} y = 2x^2 - 5x + 1 \\ y = 3x + a \end{cases} $

Решение системы соответствует точкам пересечения параболы $y = 2x^2 - 5x + 1$ и прямой $y = 3x + a$. Для нахождения абсцисс $x$ этих точек приравняем правые части уравнений: $2x^2 - 5x + 1 = 3x + a$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$: $2x^2 - 5x - 3x + 1 - a = 0$ $2x^2 - 8x + (1 - a) = 0$

Квадратное уравнение имеет хотя бы одно действительное решение, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \geq 0$. Найдем дискриминант этого уравнения, где коэффициенты $A=2$, $B=-8$, $C=1-a$: $D = B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a)$ $D = 64 - 8(1 - a)$ $D = 64 - 8 + 8a$ $D = 56 + 8a$

Теперь решим неравенство $D \geq 0$: $56 + 8a \geq 0$ $8a \geq -56$ $a \geq \frac{-56}{8}$ $a \geq -7$

Следовательно, система уравнений имеет решения при всех значениях $a$, которые удовлетворяют этому неравенству.

Ответ: при $a \geq -7$ (или $a \in [-7; +\infty)$).

б)

Рассмотрим вторую систему уравнений: $ \begin{cases} y = 3x^2 - 4x - 2 \\ y = -10x + a \end{cases} $

Действуем аналогично первому пункту. Приравняем правые части уравнений для нахождения общих точек параболы $y = 3x^2 - 4x - 2$ и прямой $y = -10x + a$: $3x^2 - 4x - 2 = -10x + a$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $3x^2 - 4x + 10x - 2 - a = 0$ $3x^2 + 6x - (2 + a) = 0$

Система имеет решения, если полученное квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, то есть его дискриминант $D \geq 0$. Коэффициенты уравнения: $A=3$, $B=6$, $C=-(2+a)$. Вычислим дискриминант: $D = B^2 - 4AC = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(2 + a))$ $D = 36 + 12(2 + a)$ $D = 36 + 24 + 12a$ $D = 60 + 12a$

Решим неравенство $D \geq 0$: $60 + 12a \geq 0$ $12a \geq -60$ $a \geq \frac{-60}{12}$ $a \geq -5$

Таким образом, данная система уравнений имеет решения при найденных значениях $a$.

Ответ: при $a \geq -5$ (или $a \in [-5; +\infty)$).

60.10 При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 + 4x - 3 + a > 0$:

а) выполняется при любых $x$;

б) не имеет решений?

Рассмотрим неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Обозначим левую часть как функцию $f(x) = ax^2 + 4x + a - 3$.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a=0$.

Если $a=0$, неравенство становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 4x - 3 + 0 > 0$

$4x - 3 > 0$

$4x > 3$

$x > \frac{3}{4}$

Это неравенство выполняется не для любых $x$, а только для $x > \frac{3}{4}$. Также оно имеет решения. Следовательно, значение $a=0$ не является решением ни для пункта а), ни для пункта б).

Теперь рассмотрим случай, когда $a \neq 0$. В этом случае $f(x)$ является квадратичной функцией, а ее график — парабола.

а) выполняется при любых x;

Для того чтобы неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$ выполнялось для любого значения $x$, график функции $f(x)$ должен полностью лежать выше оси абсцисс. Это возможно только при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть положительным (ветви параболы направлены вверх): $a > 0$.
2. Квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней (парабола не пересекает ось Ox), что означает, что его дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 + 4x + (a - 3)$:

$D = 4^2 - 4 \cdot a \cdot (a - 3) = 16 - 4a^2 + 12a = -4a^2 + 12a + 16$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$-4a^2 + 12a + 16 < 0$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства на противоположный:

$a^2 - 3a - 4 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 3a - 4 = 0$ по теореме Виета или через дискриминант:

$a_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$a_1 = \frac{3-5}{2} = -1$

$a_2 = \frac{3+5}{2} = 4$

Парабола $y = a^2 - 3a - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $a^2 - 3a - 4 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями:

$a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

Теперь объединим это решение с первым условием $a > 0$. Нам нужна система условий:

$\begin{cases} a > 0 \\ a \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является интервал $a \in (4, \infty)$.

Ответ: $a \in (4, \infty)$.

б) не имеет решений?

Неравенство $ax^2 + 4x + a - 3 > 0$ не имеет решений, если и только если для всех $x$ выполняется противоположное неравенство: $ax^2 + 4x + a - 3 \le 0$.

Для того чтобы это условие выполнялось для любого значения $x$, график функции $f(x)$ должен полностью лежать ниже оси абсцисс или касаться ее. Это возможно только при выполнении двух условий:

1. Старший коэффициент должен быть отрицательным (ветви параболы направлены вниз): $a < 0$.
2. Квадратный трехчлен должен иметь не более одного действительного корня (парабола не пересекает ось Ox в двух точках), что означает, что его дискриминант должен быть неположительным: $D \le 0$.

Мы уже нашли выражение для дискриминанта: $D = -4a^2 + 12a + 16$.

Решим неравенство $D \le 0$:

$-4a^2 + 12a + 16 \le 0$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства:

$a^2 - 3a - 4 \ge 0$

Корни уравнения $a^2 - 3a - 4 = 0$ равны -1 и 4. Парабола $y = a^2 - 3a - 4$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $a^2 - 3a - 4 \ge 0$ выполняется при значениях $a$ на границах и вне интервала между корнями:

$a \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$.

Теперь объединим это решение с первым условием $a < 0$. Нам нужна система условий:

$\begin{cases} a < 0 \\ a \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является промежуток $a \in (-\infty, -1]$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1]$.

60.11 При каких значениях $a$:

a) ось симметрии параболы $y = 2x^2 - 3ax + 2$ пересекает ось абсцисс левее точки $(-3; 0)$;

б) ось симметрии параболы $y = 5x^2 - 2ax + 2$ пересекает ось абсцисс правее точки $(4; 0)$?

а)

Осью симметрии параболы, заданной уравнением вида $y = Ax^2 + Bx + C$, является вертикальная прямая $x = x_0$, где $x_0$ — это абсцисса вершины параболы. Она вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

Для параболы $y = 2x^2 - 3ax + 2$ коэффициенты равны $A=2$ и $B=-3a$. Найдем уравнение оси симметрии: $x_0 = -\frac{-3a}{2 \cdot 2} = \frac{3a}{4}$.

По условию задачи, ось симметрии пересекает ось абсцисс левее точки $(-3; 0)$. Это означает, что абсцисса оси симметрии должна быть строго меньше -3. Составим и решим неравенство:

$\frac{3a}{4} < -3$

Умножим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется): $3a < -12$

Разделим обе части на 3: $a < -4$

Следовательно, условие выполняется при всех значениях $a$ из интервала $(-\infty; -4)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -4)$.

б)

Рассмотрим параболу $y = 5x^2 - 2ax + 2$. Здесь коэффициенты $A=5$ и $B=-2a$. Найдем абсциссу ее вершины $x_0$, которая определяет положение оси симметрии: $x_0 = -\frac{B}{2A} = -\frac{-2a}{2 \cdot 5} = \frac{2a}{10} = \frac{a}{5}$.

По условию, ось симметрии пересекает ось абсцисс правее точки $(4; 0)$. Это значит, что абсцисса $x_0$ должна быть строго больше 4. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\frac{a}{5} > 4$

Умножим обе части неравенства на 5: $a > 20$

Следовательно, условие выполняется при всех значениях $a$ из интервала $(20; +\infty)$.

Ответ: $a \in (20; +\infty)$.

60.12 Решите неравенство (относительно x):

а) $\sqrt{x - 2(x - a)} \ge 0$

б) $(6 - x)\sqrt{x - a} > 0$

Дано неравенство $\sqrt{x-2(x-a)} \ge 0$.

Функция квадратного корня $\sqrt{y}$ определена при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $y \ge 0$. В области своего определения значение квадратного корня всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{y} \ge 0$.

Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $x$, при которых оно определено. Чтобы найти эти значения, нужно решить неравенство, в котором подкоренное выражение больше или равно нулю.

Упростим подкоренное выражение:

$x - 2(x-a) = x - 2x + 2a = -x + 2a$

Теперь решим неравенство:

$-x + 2a \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$2a \ge x$

Это можно записать как $x \le 2a$.

Таким образом, решением исходного неравенства является промежуток $(-\infty, 2a]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2a]$.

Дано неравенство $(6-x)\sqrt{x-a} > 0$.

Произведение двух множителей $(6-x)$ и $\sqrt{x-a}$ будет строго положительным, если оба множителя положительны. Множитель $\sqrt{x-a}$ не может быть отрицательным. Для того чтобы произведение было строго больше нуля, он также не может быть равен нулю. Следовательно, оба множителя должны быть строго положительными.

Это приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} 6-x > 0 \\ \sqrt{x-a} > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе:

1. $6-x > 0 \implies 6 > x \implies x < 6$.

2. $\sqrt{x-a} > 0$. Это неравенство равносильно тому, что подкоренное выражение строго положительно: $x-a > 0 \implies x > a$.

Теперь объединим оба условия:

$\begin{cases} x < 6 \\ x > a \end{cases}$

Это соответствует двойному неравенству $a < x < 6$.

Решение зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим два случая:

1. Если $a < 6$, то интервал $(a, 6)$ непустой, и решением неравенства является $x \in (a, 6)$.

2. Если $a \ge 6$, то система неравенств $\begin{cases} x < 6 \\ x > a \end{cases}$ не имеет решений, так как не существует числа $x$, которое было бы одновременно меньше 6 и больше либо равно 6. В этом случае множество решений пустое.

Ответ: если $a < 6$, то $x \in (a, 6)$; если $a \ge 6$, то решений нет.

60.13 Найдите наименьшее целочисленное значение параметра $b$, при котором уравнение имеет два корня:

а) $x^2 - 2bx + b^2 - 4b + 3 = 0;$

б) $x^2 + 2(b - 2)x + b^2 - 10b + 12 = 0.$

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

а) $x^2 - 2bx + b^2 - 4b + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$ вида $ax^2 + kx + c = 0$, где коэффициенты равны:

$a = 1$, $k = -2b$, $c = b^2 - 4b + 3$.

Найдем дискриминант $D = k^2 - 4ac$:

$D = (-2b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (b^2 - 4b + 3)$

$D = 4b^2 - 4(b^2 - 4b + 3)$

$D = 4b^2 - 4b^2 + 16b - 12$

$D = 16b - 12$

Применим условие $D > 0$:

$16b - 12 > 0$

$16b > 12$

$b > \frac{12}{16}$

$b > \frac{3}{4}$

Требуется найти наименьшее целочисленное значение $b$, которое удовлетворяет этому неравенству. Наименьшее целое число, большее $\frac{3}{4}$ (или 0.75), — это 1.

Ответ: 1.

б) $x^2 + 2(b - 2)x + b^2 - 10b + 12 = 0$

Это квадратное уравнение, где коэффициенты равны:

$a = 1$, $k = 2(b - 2)$, $c = b^2 - 10b + 12$.

Поскольку коэффициент $k$ при $x$ является четным, для удобства вычислений можно использовать формулу для четверти дискриминанта $D_1 = (\frac{k}{2})^2 - ac$. Условие $D_1 > 0$ эквивалентно условию $D > 0$.

$D_1 = (b-2)^2 - 1 \cdot (b^2 - 10b + 12)$

$D_1 = (b^2 - 4b + 4) - (b^2 - 10b + 12)$

$D_1 = b^2 - 4b + 4 - b^2 + 10b - 12$

$D_1 = 6b - 8$

Применим условие $D_1 > 0$:

$6b - 8 > 0$

$6b > 8$

$b > \frac{8}{6}$

$b > \frac{4}{3}$

Требуется найти наименьшее целочисленное значение $b$. Так как $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$, наименьшее целое число, которое больше этого значения, — это 2.

Ответ: 2.

60.14 При каких значениях $a$:

a) вершина параболы $y = (3a + 1)x^2 + 2x - 5$ лежит внутри четвёртой координатной четверти;

б) вершина параболы $y = 3x^2 + (4a - 1)x + 3$ лежит внутри первой координатной четверти?

а)

Вершина параболы $y = (3a + 1)x^2 + 2x - 5$ лежит внутри четвёртой координатной четверти, если её координаты $(x_v; y_v)$ удовлетворяют системе неравенств: $$ \begin{cases} x_v > 0 \\ y_v < 0 \end{cases} $$ Координаты вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находятся по формулам: $x_v = -\frac{B}{2A}$ и $y_v = y(x_v)$. Для данной параболы коэффициенты равны: $A = 3a + 1$, $B = 2$, $C = -5$. Заметим, что данное уравнение является уравнением параболы только при условии $A \neq 0$, то есть $3a + 1 \neq 0$, откуда $a \neq -\frac{1}{3}$.

Найдём координаты вершины: $x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{2}{2(3a + 1)} = -\frac{1}{3a + 1}$.

$y_v = (3a + 1)x_v^2 + 2x_v - 5 = (3a + 1)\left(-\frac{1}{3a + 1}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{3a + 1}\right) - 5$
$y_v = (3a + 1) \cdot \frac{1}{(3a+1)^2} - \frac{2}{3a+1} - 5 = \frac{1}{3a+1} - \frac{2}{3a+1} - 5 = -\frac{1}{3a+1} - 5$.

Теперь решим систему неравенств: $$ \begin{cases} -\frac{1}{3a + 1} > 0 \\ -\frac{1}{3a + 1} - 5 < 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства $-\frac{1}{3a + 1} > 0$ следует, что знаменатель должен быть отрицательным (так как числитель $-1$ отрицателен):
$3a + 1 < 0 \implies 3a < -1 \implies a < -\frac{1}{3}$.

Решим второе неравенство: $-\frac{1}{3a + 1} < 5$.
Так как из первого неравенства мы знаем, что $3a + 1 < 0$, то при умножении обеих частей на $3a + 1$ знак неравенства меняется на противоположный:
$-1 > 5(3a + 1)$
$-1 > 15a + 5$
$-6 > 15a$
$a < -\frac{6}{15} \implies a < -\frac{2}{5}$.

Мы получили два условия: $a < -\frac{1}{3}$ и $a < -\frac{2}{5}$. Чтобы найти итоговое решение, нужно найти пересечение этих условий. Сравним дроби: $-\frac{2}{5} = -0.4$, а $-\frac{1}{3} \approx -0.33$. Так как $-0.4 < -0.33$, то условие $a < -\frac{2}{5}$ является более строгим.

Ответ: $a \in (-\infty; -2/5)$.

б)

Вершина параболы $y = 3x^2 + (4a - 1)x + 3$ лежит внутри первой координатной четверти, если её координаты $(x_v; y_v)$ удовлетворяют системе неравенств: $$ \begin{cases} x_v > 0 \\ y_v > 0 \end{cases} $$ Коэффициенты параболы: $A = 3$, $B = 4a - 1$, $C = 3$. Так как $A \neq 0$, данное уравнение всегда задаёт параболу.

Найдём координаты вершины: $x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{4a - 1}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 4a}{6}$.

Для нахождения $y_v$ воспользуемся формулой $y_v = -\frac{D}{4A}$, где $D = B^2 - 4AC$.
$D = (4a - 1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = (4a - 1)^2 - 36$.
$y_v = -\frac{(4a-1)^2 - 36}{4 \cdot 3} = \frac{36 - (4a - 1)^2}{12}$.

Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{1 - 4a}{6} > 0 \\ \frac{36 - (4a - 1)^2}{12} > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:
$\frac{1 - 4a}{6} > 0 \implies 1 - 4a > 0 \implies 1 > 4a \implies a < \frac{1}{4}$.

Решим второе неравенство:
$\frac{36 - (4a - 1)^2}{12} > 0 \implies 36 - (4a - 1)^2 > 0 \implies (4a - 1)^2 < 36$.
Извлекая квадратный корень, получаем: $|4a - 1| < 6$.
Это равносильно двойному неравенству: $-6 < 4a - 1 < 6$.
Прибавим 1 ко всем частям: $-5 < 4a < 7$.
Разделим на 4: $-\frac{5}{4} < a < \frac{7}{4}$.

Теперь найдём пересечение полученных решений: $a < \frac{1}{4}$ и $-\frac{5}{4} < a < \frac{7}{4}$. Общим решением является интервал $(-\frac{5}{4}; \frac{1}{4})$.

Ответ: $a \in (-5/4; 1/4)$.