Номер 11, страница 436 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Примеры заданий для индивидуальной и групповой проектной деятельности - номер 11, страница 436.

Условие.

11. Сконструируйте и постройте прибор для моделирования распределения частиц по скоростям.

Решение.

Решение

Для моделирования распределения частиц по скоростям, которое в газах описывается распределением Максвелла-Больцмана, можно сконструировать и построить механическую модель. Один из самых наглядных вариантов — это прибор, демонстрирующий распределение частиц по энергиям в поле тяжести, что является прямым аналогом распределения по скоростям.

Конструкция прибора

Прибор представляет собой высокий и узкий прозрачный сосуд (например, из оргстекла), установленный вертикально. Внутрь сосуда помещается большое количество мелких одинаковых частиц — например, стальных или стеклянных шариков (бисер). Основание сосуда представляет собой мембрану или платформу, которая может совершать быстрые вертикальные колебания. Эта платформа приводится в движение источником вибрации, например, электродвигателем с эксцентриком или диффузором мощного громкоговорителя, подключенного к генератору низкой частоты.

Основные компоненты:
1. Прозрачный вертикальный цилиндр или параллелепипед: позволяет наблюдать за поведением частиц. Высота должна быть достаточной, чтобы частицы не вылетали.
2. Набор частиц: большое число (сотни или тысячи) маленьких упругих шариков.
3. Вибрирующее основание: сообщает частицам кинетическую энергию. Частоту и амплитуду колебаний должно быть возможно регулировать.

Принцип действия и аналогия с газом

Вибрирующее основание непрерывно сообщает шарикам кинетическую энергию, подобно тому как тепловое движение стенок сосуда передает энергию молекулам газа. Шарики начинают хаотически двигаться, сталкиваясь друг с другом, со стенками и с вибрирующим дном. В результате этих многочисленных упругих столкновений происходит перераспределение энергии между частицами.

В этой модели «температурой» системы является величина, пропорциональная средней кинетической энергии шариков, которая, в свою очередь, зависит от интенсивности вибрации (амплитуды и частоты).

Каждый шарик, получив определенную вертикальную составляющую скорости $v_y$ у дна, может подняться на максимальную высоту $\text{h}$, определяемую законом сохранения энергии: $ \frac{mv_y^2}{2} = mgh $ Отсюда высота подъема связана со скоростью как $h = \frac{v_y^2}{2g}$.

Таким образом, наблюдая за распределением шариков по высоте, мы фактически наблюдаем за распределением их по квадратам вертикальных скоростей, а следовательно, и по энергиям.

Наблюдаемый результат

После включения вибратора система приходит в стационарное состояние, и мы видим «облако» из прыгающих шариков. Концентрация шариков максимальна у дна и экспоненциально спадает с высотой. Это распределение аналогично барометрической формуле для атмосферы и распределению Больцмана: $ n(h) = n_0 \cdot e^{-\frac{E_p}{kT_{эфф}}} = n_0 \cdot e^{-\frac{mgh}{kT_{эфф}}} $ где $n(h)$ — концентрация частиц на высоте $\text{h}$, $n_0$ — концентрация у основания, а $kT_{эфф}$ — «эффективная температура», характеризующая среднюю энергию частиц.

Это наглядно демонстрирует основные черты распределения Максвелла по скоростям:
• Большинство частиц имеют малые и средние энергии (находятся на небольшой высоте).
• Число частиц с большими энергиями (способных достичь большой высоты) очень мало.
• Невозможно указать точную максимальную скорость, так как всегда есть (хоть и очень малая) вероятность для частицы в результате удачных столкновений приобрести очень большую энергию.

Изменение «температуры»

Увеличивая интенсивность вибрации (например, увеличивая напряжение на громкоговорителе), мы увеличиваем «эффективную температуру» системы. В результате средняя кинетическая энергия шариков возрастает, и все «облако» частиц поднимается выше и становится более «размытым». Это в точности соответствует тому, как с ростом температуры смещается в сторону больших скоростей и уширяется кривая распределения Максвелла.

Ответ: Предложен прибор, состоящий из вертикального прозрачного сосуда с мелкими шариками, дно которого вибрирует. Эта модель позволяет наглядно продемонстрировать статистический характер распределения частиц по скоростям (энергиям) в газе. Распределение шариков по высоте в поле тяжести качественно и количественно соответствует распределению Больцмана, которое лежит в основе распределения Максвелла. Регулируя интенсивность вибрации, можно моделировать изменение температуры газа и соответствующее изменение вида функции распределения.