Номер 6, страница 435 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Примеры заданий для индивидуальной и групповой проектной деятельности - номер 6, страница 435.

Условие.

6. Сконструируйте и постройте маятник Жуковского. (Он состоит из двух колёс, расположенных в одной вертикальной плоскости и вращающихся в противоположных направлениях. Стержень, положенный на них сверху, за счёт действия на него силы трения со стороны колёс, поочерёдно смещается то в одну, то в другую сторону.)

Решение.

Решение

Маятник Жуковского — это механическая система, демонстрирующая гармонические колебания, возникающие за счёт сил трения. Ниже представлено описание его конструкции и принципа действия.

Конструкция и сборка

Для создания маятника Жуковского потребуются следующие компоненты:

1. Основание: прочная и устойчивая платформа, на которой будут закреплены все остальные элементы.
2. Два одинаковых колеса: колёса должны быть идентичны по размеру и массе. Их обода желательно покрыть материалом с высоким коэффициентом трения (например, резиной) для обеспечения стабильного сцепления.
3. Оси и подшипники: колёса устанавливаются на горизонтальные оси, которые вращаются в подшипниках для минимизации потерь на трение в опорах. Оси должны быть строго параллельны друг другу.
4. Приводной механизм: один или два электродвигателя. Если используется один двигатель, то для обеспечения вращения колёс в противоположных направлениях (навстречу друг другу в верхней точке) применяется ременная или шестерёнчатая передача. При использовании двух двигателей их вращение синхронизируют и направляют в противоположные стороны. Важно, чтобы угловые скорости колёс были одинаковы по модулю.
5. Стержень: прямой, однородный стержень, длина которого превышает расстояние между колёсами.

Сборка заключается в монтаже колёс на основании так, чтобы они находились в одной вертикальной плоскости и их верхние точки были на одном уровне. Приводной механизм настраивается на вращение колёс с одинаковой скоростью в противоположных направлениях (например, левое — по часовой стрелке, правое — против часовой стрелки).

Принцип действия

Рассмотрим физику движения стержня, положенного на вращающиеся колёса. Пусть масса стержня равна $\text{m}$, расстояние между точками опоры на колёсах равно $2L$. Введём систему координат с началом $\text{O}$ посередине между колёсами, ось $Ox$ направим горизонтально вдоль стержня.

На стержень действуют:

• сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс;
• силы нормальной реакции $N_1$ и $N_2$ со стороны левого и правого колеса соответственно;
• силы трения скольжения $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$.

Пусть центр масс стержня смещён из положения равновесия на расстояние $\text{x}$. Условия равновесия стержня в вертикальной плоскости (сумма сил и сумма моментов сил равны нулю):

1. Равенство сил по вертикали: $N_1 + N_2 = mg$.

2. Равенство моментов сил относительно центра масс: $N_1 \cdot (L+x) = N_2 \cdot (L-x)$.

Решая эту систему уравнений, найдём выражения для сил нормальной реакции:

$N_1 = \frac{mg(L-x)}{2L}$

$N_2 = \frac{mg(L+x)}{2L}$

Из формул видно, что сила реакции опоры больше у того колеса, к которому ближе находится центр масс стержня.

Силы трения скольжения, действующие на стержень, равны $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ — коэффициент трения скольжения. Колёса вращаются навстречу друг другу, поэтому сила трения $F_{тр1}$ от левого колеса направлена вправо, а сила $F_{тр2}$ от правого — влево.

$F_{тр1} = \mu N_1 = \frac{\mu mg(L-x)}{2L}$ (направлена вправо, знак «+»)

$F_{тр2} = \mu N_2 = \frac{\mu mg(L+x)}{2L}$ (направлена влево, знак «-»)

Результирующая сила, действующая на стержень вдоль оси $Ox$, равна:

$F_{равн} = F_{тр1} - F_{тр2} = \frac{\mu mg(L-x)}{2L} - \frac{\mu mg(L+x)}{2L} = \frac{\mu mg}{2L}(L-x-L-x) = -\frac{\mu mg}{L}x$

Мы получили, что результирующая сила пропорциональна смещению $\text{x}$ и направлена в сторону, противоположную смещению. Это уравнение вида $F = -kx$, где коэффициент жёсткости $k = \frac{\mu mg}{L}$. Такая сила называется возвращающей, и она вызывает гармонические колебания.

Согласно второму закону Ньютона, $ma = F_{равн}$, или $m\ddot{x} = -kx$. Уравнение движения стержня имеет вид:

$\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{x} + \frac{\mu g}{L}x = 0$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega = \sqrt{\frac{\mu g}{L}}$. Период этих колебаний равен:

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{\mu g}}$

Таким образом, стержень, смещённый из положения равновесия, будет совершать гармонические колебания относительно центральной точки между колёсами.

Ответ: Маятник Жуковского конструируется из двух вращающихся в противоположных направлениях колёс, на которые сверху кладётся стержень. При смещении центра масс стержня от центрального положения возникает разница в силах нормальной реакции, что приводит к разнице в силах трения. Возникающая результирующая сила является возвращающей, она пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия, заставляя стержень совершать гармонические колебания. Период колебаний определяется расстоянием между колёсами, коэффициентом трения и ускорением свободного падения.