Номер №4, страница 452 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Электродинамика. Глава 10. Электростатика. Лабораторные работы - номер №4, страница 452.

Условие.

Лабораторная работа № 4

Изучение зависимости между давлением и объёмом газа при постоянной температуре

Цели работы: 1) исследовать экспериментально зависимость объёма газа от давления при постоянной температуре; 2) выполнить проверку закона Бойля — Мариотта.

Средства измерения и материалы: мерный цилиндр высотой около 80 см, штатив, лапка, трубка с одним запаянным концом (длиной $L \sim 1$ м), измерительная лента.

Дополнительные сведения

При опускании трубки открытым концом в наполненный водой мерный цилиндр наблюдается уменьшение объёма воздуха в трубке. Это вызвано изменением гидростатического давления воды, действующего на воздух в трубке.

Пусть открытый конец трубки погружён на глубину $H$ от уровня воды в цилиндре, а вода вошла в трубку на высоту $x$. Тогда объём воздуха в трубке равен:

$V = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \cdot (L - x)$.

При этом давление воздуха в трубке может быть рассчитано по формуле:

$p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h$,

где $p_0$ — атмосферное давление, $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — разность уровней воды в цилиндре и трубке, равная $H - x$.

Порядок выполнения

1. Налейте в мерный цилиндр воду комнатной температуры. Дайте воде отстояться, чтобы из неё вышли пузырьки воздуха. Прикрепите к цилиндру мерную ленту с миллиметровыми делениями.

2. Закрепите трубку вблизи запаянного конца в лапке штатива. Дальнейшие манипуляции с трубкой должны выполняться с помощью лапки.

3. Опустите трубку в воду на максимально возможную глубину (трубку надо держать за лапку) и дождитесь установления состояния термодинамического равновесия (5—7 мин).

4. Определите с помощью мерной ленты: а) высоту $x$, на которую вода вошла в трубку; б) разность уровней воды в цилиндре и трубке.

5. Определите: а) объём воздуха в трубке; б) давление воздуха в трубке.

6. Поднимите трубку так, чтобы уровень воды в ней понизился на 1—2 мм. Снова выполните задания п. 4 и 5. Продолжайте измерения до тех пор, пока вода не выйдет из трубки.

Занесите результаты измерений в таблицу.

Заголовки таблицы: Номер эксперимента, $h$

5. Определите: а) объём воздуха в трубке; б) давление воздуха в трубке.

6. Поднимите трубку так, чтобы уровень воды в ней понизился на 1—2 мм. Снова выполните задания п. 4 и 5. Продолжайте измерения до тех пор, пока вода не выйдет из трубки.

Занесите результаты измерений в таблицу.

Заголовки таблицы: Номер эксперимента, $h$, см, $p$, кПа, $x$, мм, $V$, $см^3$

(Данные таблицы отсутствуют на изображении, кроме заголовков)

7. Оцените погрешности определения давления и объёма воздуха в трубке.

8. Постройте график зависимости $p(V)$. На графике укажите погрешности для давления и объёма. Масштаб для построения графика выберите самостоятельно.

9. Сделайте выводы. Соответствуют ли результаты эксперимента закону Бойля — Мариотта?

Решение.

Для выполнения расчетов и анализа примем некоторые исходные данные, которые должны быть определены в ходе реального эксперимента. Пусть длина трубки $L = 80$ см, ее внутренний диаметр $d = 8$ мм. Атмосферное давление примем равным $p_0 = 101,3$ кПа.

Дано:

$L = 80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}$
$d = 8 \text{ мм} = 0,008 \text{ м}$
$p_0 = 101,3 \text{ кПа} = 101300 \text{ Па}$
$\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)
$g = 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

Заполнить таблицу экспериментальных данных; оценить погрешности; построить график $p(V)$; сделать выводы о справедливости закона Бойля — Мариотта.

Решение:

Выполним расчеты для нескольких гипотетических измерений, чтобы заполнить таблицу. Давление и объем воздуха в трубке будем рассчитывать по формулам, приведенным в описании работы:

Давление: $p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h$

Объем: $V = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \cdot (L - x)$

Площадь поперечного сечения трубки: $S = \frac{\pi \cdot d^2}{4} = \frac{3,14 \cdot (0,008 \text{ м})^2}{4} \approx 5,024 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$.

Заполним таблицу, проведя расчеты для трех различных значений $h$. Значение $x$ связано с $h$, но в реальном эксперименте они измеряются независимо. Для нашего расчета будем задавать $h$ и вычислять остальные величины, исходя из того, что закон Бойля-Мариотта ($p \cdot V = \text{const}$) выполняется.

Начальный объем воздуха в трубке (до погружения): $V_{нач} = S \cdot L = 5,024 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2 \cdot 0,8 \text{ м} \approx 4,02 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$.

Константа для закона Бойля-Мариотта: $p_0 \cdot V_{нач} = 101300 \text{ Па} \cdot 4,02 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 \approx 4,07 \text{ Дж}$.

Эксперимент 1:

Пусть измерено $h_1 = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$.

$p_1 = 101300 \text{ Па} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,3 \text{ м} = 101300 + 2940 = 104240 \text{ Па} \approx 104,2 \text{ кПа}$.

Из закона Бойля-Мариотта: $V_1 = \frac{p_0 V_{нач}}{p_1} = \frac{4,07 \text{ Дж}}{104240 \text{ Па}} \approx 3,90 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 39,0 \text{ см}^3$.

Найдем $x_1$ из формулы для объема: $L - x_1 = \frac{V_1}{S} \implies x_1 = L - \frac{V_1}{S} = 0,8 \text{ м} - \frac{3,90 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3}{5,024 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2} \approx 0,8 - 0,776 = 0,024 \text{ м} = 24 \text{ мм}$.

Эксперимент 2:

Пусть измерено $h_2 = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$.

$p_2 = 101300 \text{ Па} + 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,2 = 101300 + 1960 = 103260 \text{ Па} \approx 103,3 \text{ кПа}$.

$V_2 = \frac{4,07 \text{ Дж}}{103260 \text{ Па}} \approx 3,94 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 39,4 \text{ см}^3$.

$x_2 = L - \frac{V_2}{S} = 0,8 \text{ м} - \frac{3,94 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3}{5,024 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2} \approx 0,8 - 0,784 = 0,016 \text{ м} = 16 \text{ мм}$.

Эксперимент 3:

Пусть измерено $h_3 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$.

$p_3 = 101300 \text{ Па} + 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,1 = 101300 + 980 = 102280 \text{ Па} \approx 102,3 \text{ кПа}$.

$V_3 = \frac{4,07 \text{ Дж}}{102280 \text{ Па}} \approx 3,98 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 = 39,8 \text{ см}^3$.

$x_3 = L - \frac{V_3}{S} = 0,8 \text{ м} - \frac{3,98 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3}{5,024 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2} \approx 0,8 - 0,792 = 0,008 \text{ м} = 8 \text{ мм}$.

Результаты измерений и вычислений заносим в таблицу:

Номер эксперимента	h, см	p, кПа	x, мм	V, см³
1	30,0	104,2	24	39,0
2	20,0	103,3	16	39,4
3	10,0	102,3	8	39,8

7. Оцените погрешности определения давления и объёма воздуха в трубке.

Погрешности определения давления и объема являются косвенными, так как эти величины вычисляются на основе прямых измерений ($h, x, L, d$) и констант ($p_0, \rho, g$).

Погрешность определения давления:

Давление вычисляется по формуле $p = p_0 + \rho g h$. Абсолютная погрешность $\Delta p$ складывается из погрешностей каждого слагаемого. Основной вклад вносит погрешность измерения разности уровней $h$ и погрешность измерения атмосферного давления $p_0$. Пусть погрешность измерительной ленты $\Delta h = 1$ мм $= 0,001$ м, а погрешность барометра $\Delta p_0 = 100$ Па. Погрешностями $\rho$ и $g$ можно пренебречь.

Тогда абсолютная погрешность давления: $\Delta p = \Delta p_0 + \rho g \Delta h = 100 \text{ Па} + 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,001 \approx 100 + 9,8 \approx 110 \text{ Па} = 0,11 \text{ кПа}$.

Относительная погрешность давления для первого эксперимента: $\epsilon_p = \frac{\Delta p}{p_1} = \frac{0,11 \text{ кПа}}{104,2 \text{ кПа}} \cdot 100\% \approx 0,1\%$.

Погрешность определения объема:

Объем вычисляется по формуле $V = \frac{\pi d^2}{4}(L - x)$. Относительная погрешность вычисляется по формуле: $\epsilon_V = \frac{\Delta V}{V} = \sqrt{(\frac{2\Delta d}{d})^2 + (\frac{\Delta(L-x)}{L-x})^2}$.

Абсолютная погрешность $\Delta(L-x)$ складывается из погрешностей измерения $L$ и $x$. Пусть $\Delta L = \Delta x = 1$ мм $= 0,001$ м. Тогда $\Delta(L-x) = \sqrt{(\Delta L)^2 + (\Delta x)^2} \approx \sqrt{1^2 + 1^2} \approx 1,4$ мм $= 0,0014$ м.

Пусть погрешность измерения диаметра штангенциркулем $\Delta d = 0,1$ мм $= 0,0001$ м.

Для первого эксперимента: $L - x_1 = 800 - 24 = 776$ мм $= 0,776$ м.

$\epsilon_V = \sqrt{(\frac{2 \cdot 0,1 \text{ мм}}{8 \text{ мм}})^2 + (\frac{1,4 \text{ мм}}{776 \text{ мм}})^2} = \sqrt{(0,025)^2 + (0,0018)^2} \approx \sqrt{0,000625} \approx 0,025 = 2,5\%$.

Абсолютная погрешность объема для первого эксперимента: $\Delta V_1 = V_1 \cdot \epsilon_V = 39,0 \text{ см}^3 \cdot 0,025 \approx 1,0 \text{ см}^3$.

Ответ: Абсолютная погрешность измерения давления составляет примерно $\Delta p \approx 0,11$ кПа. Абсолютная погрешность измерения объема составляет примерно $\Delta V \approx 1,0$ см³, что соответствует относительной погрешности около 2,5%.

8. Постройте график зависимости p(V). На графике укажите погрешности для давления и объёма. Масштаб для построения графика выберите самостоятельно.

Построение графика выполняется на миллиметровой бумаге или с помощью программного обеспечения. По оси ординат откладывается давление $p$ (в кПа), а по оси абсцисс — объем $V$ (в см³).

1. Выбирается масштаб. Например, по оси $p$: 1 см = 0,5 кПа. По оси $V$: 1 см = 0,5 см³.

2. На график наносятся экспериментальные точки из таблицы: (39,0; 104,2), (39,4; 103,3), (39,8; 102,3).

3. Вокруг каждой точки строятся "кресты погрешностей" (или прямоугольники). Для каждой точки откладываются отрезки $\pm \Delta p$ по вертикали и $\pm \Delta V$ по горизонтали.

4. Через полученные области (с учетом погрешностей) проводится плавная кривая.

Теоретически, зависимость $p(V)$ при постоянной температуре является гиперболой, так как согласно закону Бойля — Мариотта, $p = \frac{\text{const}}{V}$. Построенный по экспериментальным точкам график должен быть близок к ветви гиперболы.

Ответ: График зависимости давления от объема $p(V)$ представляет собой плавную кривую, похожую на ветвь гиперболы. Экспериментальные точки с учетом погрешностей должны лежать на этой кривой. Оси графика: ось ординат - Давление, $p$, кПа; ось абсцисс - Объем, $V$, см³.

9. Сделайте выводы. Соответствуют ли результаты эксперимента закону Бойля — Мариотта?

Проанализируем полученные данные для проверки закона Бойля — Мариотта, который гласит, что для данной массы газа при постоянной температуре произведение давления на объем есть величина постоянная ($p \cdot V = \text{const}$).

Рассчитаем произведение $p \cdot V$ для каждого эксперимента:

1. $p_1 \cdot V_1 = 104,2 \text{ кПа} \cdot 39,0 \text{ см}^3 = 4063,8$ (у.е.)

2. $p_2 \cdot V_2 = 103,3 \text{ кПа} \cdot 39,4 \text{ см}^3 = 4069,8$ (у.е.)

3. $p_3 \cdot V_3 = 102,3 \text{ кПа} \cdot 39,8 \text{ см}^3 = 4071,5$ (у.е.)

Результаты вычислений показывают, что произведение $p \cdot V$ остается практически постоянным. Разброс значений (от 4063,8 до 4071,5) составляет менее 0,2%, что значительно меньше, чем вычисленная погрешность эксперимента (около 2,5%).

Ответ: В ходе лабораторной работы была экспериментально исследована зависимость объема воздуха от давления при постоянной температуре. Результаты показывают, что при увеличении давления объем воздуха уменьшается, что качественно соответствует закону Бойля — Мариотта. Количественная проверка показала, что произведение давления на объем $p \cdot V$ остается постоянным в пределах погрешности измерений. Таким образом, результаты эксперимента подтверждают справедливость закона Бойля — Мариотта.