Номер 22.2, страница 130 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

22.2. Для осуществления физического эксперимента необходимо разогреть в замкнутом сосуде водород до температуры $2 \cdot 10^8 \text{ K}$. Чему равна максимально допустимая концентрация атомов водорода в сосуде, если стенки сосуда могут выдержать давление $10^6 \text{ Pa}$?

Дано:

Температура водорода: $T = 2 \cdot 10^8$ К
Максимально допустимое давление: $P_{max} = 10^6$ Па
Постоянная Больцмана: $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Найти:

Максимально допустимую концентрацию атомов водорода $n_{a,max}$.

Решение:

Связь между давлением $\text{P}$, концентрацией частиц $\text{n}$ и абсолютной температурой $\text{T}$ для идеального газа описывается основным уравнением молекулярно-кинетической теории:
$P = nkT$
где $\text{k}$ – постоянная Больцмана.

При заданной температуре $T = 2 \cdot 10^8$ К, которая является чрезвычайно высокой (температура в центре Солнца составляет около $1.5 \cdot 10^7$ К), водород будет полностью ионизирован. Это означает, что он будет существовать в виде плазмы, состоящей из протонов (ядер атомов водорода) и свободных электронов. Каждый исходный атом водорода при ионизации распадается на две частицы: один протон ($p^+$) и один электрон ($e^-$).

Давление в сосуде создается хаотическим движением всех этих частиц. Пусть $n_a$ — это концентрация исходных атомов водорода. Тогда после ионизации концентрация протонов $n_p$ будет равна $n_a$, и концентрация электронов $n_e$ также будет равна $n_a$. Общая концентрация частиц $\text{n}$, создающих давление, является суммой концентраций протонов и электронов:
$n = n_p + n_e = n_a + n_a = 2n_a$

Тогда уравнение для полного давления в сосуде примет вид:
$P = (2n_a)kT$

Нас интересует максимально допустимая концентрация атомов водорода $n_{a,max}$, при которой давление достигнет предельного значения $P_{max}$. Подставляем эти значения в уравнение:
$P_{max} = 2n_{a,max}kT$

Выразим из этой формулы искомую величину $n_{a,max}$:
$n_{a,max} = \frac{P_{max}}{2kT}$

Подставим числовые значения из условия задачи и значение постоянной Больцмана:
$n_{a,max} = \frac{10^6 \text{ Па}}{2 \cdot (1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}) \cdot (2 \cdot 10^8 \text{ К})}$
$n_{a,max} = \frac{10^6}{5.52 \cdot 10^{-15}} \text{ м}^{-3}$
$n_{a,max} \approx 1.81 \cdot 10^{20} \text{ м}^{-3}$

Ответ: максимально допустимая концентрация атомов водорода в сосуде равна примерно $1.81 \cdot 10^{20}$ м⁻³.