Задача, страница 129 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА. Основываясь на представлениях молекулярно-кинетической теории, оцените давление и температуру внутри Солнца. Масса Солнца $M_c = 2 \cdot 10^{30}$ кг, радиус $R_c = 7 \cdot 10^8$ м. Для простоты расчётов предположите, что Солнце состоит в основном из атомарного водорода.

Решение. Согласно молекулярно-кинетической теории давление $\text{p}$ газа связано с его температурой $\text{T}$ и концентрацией $\text{n}$ молекул соотношением $p = nkT$, отсюда $T = \frac{p}{nk}$.

Поскольку Солнце не расширяется и не сжимается, давление его внутренних слоёв на любой глубине равно давлению внешних слоёв, создаваемому силой тяжести $\text{F}$. Отсюда следует, что для определения температуры на какой-то глубине внутри Солнца необходимо найти концентрацию $\text{n}$ атомов на этой глубине и давление $\text{p}$ вышележащих слоёв.

Для упрощения будем определять температуру на расстоянии $R_c/2$ от центра Солнца, где концентрацию атомов водорода будем считать приближённо равной среднему значению для Солнца: $n \approx n_{cp} = \frac{\rho_{cp}N_A}{M}$, где $M = 10^{-3}$ кг/моль — молярная масса атомарного водорода.

Выделим вертикальный столб газа с площадью основания $\text{S}$; давление верхних слоёв на лежащие ниже в этом столбе можно оценить, пренебрегая зависимостью плотности газа от глубины. Примем расстояние от центра Солнца до центра масс верхней половины столба газа равным $\frac{3}{4} R_c$ и рассчитаем силу тяготения, учитывая, что этот слой притягивается веществом, находящимся внутри слоя на расстоянии, меньшем $\frac{3}{4} R_c$ (его масса равна $M_1 = \frac{M_c \left(\frac{3}{4}R_c\right)^3}{R_c^3} = \frac{27}{64}M_c$):

$F \approx \frac{27Gm M_c}{64 \left(\frac{3}{4}R_c\right)^2} = \frac{27G\rho_{cp} \frac{R_c}{2} S M_c}{64 \left(\frac{3}{4}R_c\right)^2} = \frac{3G\rho_{cp} S M_c}{8R_c}$.

Давление на искомой глубине $p = \frac{F}{S} = \frac{3G\rho_{cp}M_c}{8R_c} = \frac{3GM_c^2}{8R_c \frac{4}{3}\pi R_c^3} = \frac{9GM_c^2}{32\pi R_c^4}$, а температура $T = \frac{p}{nk} = \frac{G\rho_{cp}M_c M}{9 R_c \rho_{cp}N_A k} = \frac{8GM_c M}{9R_c N_A k}$.

Подставив числовые значения, получим оценку давления и температуры: $p = 10^{14}$ Па; $T = 10^7$ К.

Итак, в недрах Солнца давление газа примерно в миллиард раз превышает нормальное атмосферное давление, а температура составляет около 10 миллионов кельвинов. Эти результаты близки к полученным более строго.

Дано:

Масса Солнца $M_C = 2 \cdot 10^{30}$ кг

Радиус Солнца $R_C = 7 \cdot 10^{8}$ м

Состав Солнца – атомарный водород.

Молярная масса атомарного водорода $M = 1 \text{ г/моль} = 10^{-3}$ кг/моль

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$

Постоянная Авогадро $N_A \approx 6.02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Постоянная Больцмана $k \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Давление $\text{p}$ и температуру $\text{T}$ внутри Солнца.

Решение:

Для оценки давления и температуры внутри Солнца воспользуемся моделью, в которой Солнце представляет собой газовый шар, находящийся в состоянии гидростатического равновесия. Будем считать, что Солнце состоит из идеального газа (атомарного водорода) и имеет постоянную плотность, равную средней плотности $\rho_{ср}$. Оценку проведем для точки, находящейся на расстоянии $r = R_C/2$ от центра Солнца.

Согласно молекулярно-кинетической теории, давление газа связано с его концентрацией и температурой соотношением:

$p = nkT$

где $\text{n}$ – концентрация частиц, $\text{k}$ – постоянная Больцмана, $\text{T}$ – абсолютная температура.

Для нахождения температуры нам необходимо определить давление $\text{p}$ и концентрацию $\text{n}$ на данной глубине.

1. Оценка концентрации $\text{n}$

Примем, что концентрация атомов водорода внутри Солнца примерно постоянна и равна ее среднему значению $n_{ср}$. Средняя плотность Солнца:

$\rho_{ср} = \frac{M_C}{V_C} = \frac{M_C}{\frac{4}{3}\pi R_C^3}$

Тогда средняя концентрация атомов:

$n \approx n_{ср} = \frac{\rho_{ср} N_A}{M}$

где $\text{M}$ – молярная масса атомарного водорода, $N_A$ – число Авогадро.

2. Оценка давления $\text{p}$

Давление на глубине создается весом вышележащих слоев. В состоянии гидростатического равновесия выполняется уравнение:

$\frac{dp}{dr} = -\rho(r) g(r)$

где $g(r)$ – ускорение свободного падения на расстоянии $\text{r}$ от центра. В модели с постоянной плотностью $\rho(r) = \rho_{ср}$. Масса внутри сферы радиуса $\text{r}$ равна $M(r) = \rho_{ср} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$. Тогда $g(r) = \frac{GM(r)}{r^2} = \frac{G}{r^2} (\rho_{ср} \frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi G \rho_{ср} r$.

Подставляем в уравнение равновесия:

$\frac{dp}{dr} = -\rho_{ср} (\frac{4}{3}\pi G \rho_{ср} r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{ср}^2 r$

Интегрируя это уравнение от $\text{r}$ до $R_C$ и учитывая, что давление на поверхности Солнца $p(R_C) \approx 0$, находим давление $p(r)$:

$\int_{p(r)}^{0} dp = -\int_{r}^{R_C} \frac{4}{3}\pi G \rho_{ср}^2 r' dr'$

$-p(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho_{ср}^2 \left[ \frac{r'^2}{2} \right]_{r}^{R_C} = -\frac{2}{3}\pi G \rho_{ср}^2 (R_C^2 - r^2)$

$p(r) = \frac{2}{3}\pi G \rho_{ср}^2 (R_C^2 - r^2)$

Нас интересует давление на $r = R_C/2$:

$p(\frac{R_C}{2}) = \frac{2}{3}\pi G \rho_{ср}^2 (R_C^2 - (\frac{R_C}{2})^2) = \frac{2}{3}\pi G \rho_{ср}^2 (\frac{3}{4}R_C^2) = \frac{1}{2}\pi G \rho_{ср}^2 R_C^2$

Подставим $\rho_{ср} = \frac{M_C}{\frac{4}{3}\pi R_C^3} = \frac{3M_C}{4\pi R_C^3}$:

$p = \frac{1}{2}\pi G \left( \frac{3M_C}{4\pi R_C^3} \right)^2 R_C^2 = \frac{1}{2}\pi G \frac{9M_C^2}{16\pi^2 R_C^6} R_C^2 = \frac{9 G M_C^2}{32 \pi R_C^4}$

Подставим числовые значения:

$p = \frac{9 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot (2 \cdot 10^{30})^2}{32 \cdot 3.1416 \cdot (7 \cdot 10^8)^4} \approx \frac{24.01 \cdot 10^{49}}{100.53 \cdot 2401 \cdot 10^{32}} \approx \frac{2.4 \cdot 10^{50}}{2.41 \cdot 10^{37}} \approx 1.0 \cdot 10^{14} \text{ Па}$

3. Оценка температуры $\text{T}$

Теперь можем найти температуру из $T = \frac{p}{nk}$:

$T = \frac{p}{n_{ср} k} = \frac{\frac{1}{2}\pi G \rho_{ср}^2 R_C^2}{\frac{\rho_{ср} N_A}{M} k} = \frac{\pi G \rho_{ср} R_C^2 M}{2 N_A k}$

Подставим выражение для $\rho_{ср}$:

$T = \frac{\pi G R_C^2 M}{2 N_A k} \left( \frac{3M_C}{4\pi R_C^3} \right) = \frac{3 G M_C M}{8 R_C N_A k}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{3 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot (2 \cdot 10^{30}) \cdot 10^{-3}}{8 \cdot (7 \cdot 10^8) \cdot (6.02 \cdot 10^{23}) \cdot (1.38 \cdot 10^{-23})} \approx \frac{4.002 \cdot 10^{17}}{56 \cdot 10^8 \cdot 8.31} \approx \frac{4.002 \cdot 10^{17}}{4.65 \cdot 10^{11}} \approx 0.86 \cdot 10^6 \text{ К}$

В расчете использовано, что $N_A k = R \approx 8.31$ Дж/(моль·К). Более точный расчет:

$T = \frac{4.002 \cdot 10^{17}}{8 \cdot 7 \cdot 10^8 \cdot (1.38 \cdot 10^{-23} \cdot 6.02 \cdot 10^{23})} = \frac{4.002 \cdot 10^{17}}{5.6 \cdot 10^9 \cdot 8.3076} \approx \frac{4.002 \cdot 10^{17}}{4.65 \cdot 10^{10}} \approx 8.6 \cdot 10^6 \text{ К}$

Полученные оценки хорошо согласуются с более точными моделями. Небольшие расхождения с ответом в задачнике ($T=10^7$ К) обусловлены выбором модели и округлениями. Полученное значение температуры $8.6 \cdot 10^6$ К (8.6 миллионов кельвинов) является оценкой того же порядка величины.

Ответ: Оценочное давление внутри Солнца составляет $p \approx 10^{14}$ Па, а температура $T \approx 10^7$ К.