Номер 4, страница 232 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

4. В калориметре нагревается лёд массой $m = 200$ г. На рисунке представлен график зависимости температуры льда от времени. Пренебрегая теплоёмкостью калориметра и тепловыми потерями, определите удельную теплоту плавления льда из рассмотрения процессов нагревания льда и воды (теплоёмкость льда $c_1 = 2100 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$, теплоёмкость воды $c_2 = 4200 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$).

В представленной задаче имеется несоответствие: текст описывает процесс нагревания льда и ссылается на график зависимости температуры от времени, в то время как на изображении приведен p-V-график для термодинамического процесса с газом. Эти данные не связаны между собой. Для решения задачи из текста необходим соответствующий график T(τ), где T – температура, а τ – время.

Поскольку график отсутствует, решим задачу, предположив, как мог бы выглядеть такой график, чтобы продемонстрировать метод решения.

Предположим, что на недостающем графике были представлены следующие этапы:
1. Нагревание льда от начальной температуры $T_{нач}$ до температуры плавления $T_{пл} = 0^{\circ}C$. Пусть изменение температуры составило $\Delta T_1$, и это заняло время $\tau_1$.
2. Плавление льда при постоянной температуре $T_{пл} = 0^{\circ}C$. Этот процесс занял время $\tau_{пл}$.
3. Нагревание образовавшейся воды от $T_{пл} = 0^{\circ}C$ до некоторой конечной температуры. Пусть изменение температуры составило $\Delta T_2$, и это заняло время $\tau_2$.

Мощность нагревателя P в калориметре постоянна (по условию, теплопотерями пренебрегаем). Количество теплоты, получаемое телом, пропорционально времени нагрева: $Q = P \cdot \tau$.

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$c_1 = 2100 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)}$
$c_2 = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)}$

Для демонстрации метода возьмем гипотетические данные с графика, которые были бы согласованы между собой. Например, пусть за изменение температуры $\Delta T_1 = 20^{\circ}C$ (или $20 \text{ K}$) время нагревания льда составило $\tau_1 = 2 \text{ мин}$, а время плавления $\tau_{пл} = 16 \text{ мин}$.

$\Delta T_1 = 20 \text{ К}$
$\tau_1 = 2 \text{ мин} = 120 \text{ с}$
$\tau_{пл} = 16 \text{ мин} = 960 \text{ с}$

Найти:

$\lambda$ - удельная теплота плавления льда.

Решение:

1. Определим мощность нагревателя $\text{P}$. Ее можно найти из процесса нагревания льда. Количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагревания льда, равно: $Q_1 = c_1 \cdot m \cdot \Delta T_1$ Эта теплота была сообщена за время $\tau_1$ с мощностью $\text{P}$: $Q_1 = P \cdot \tau_1$ Приравнивая правые части, получаем: $P \cdot \tau_1 = c_1 \cdot m \cdot \Delta T_1$ Отсюда выразим мощность: $P = \frac{c_1 \cdot m \cdot \Delta T_1}{\tau_1}$ Подставим наши гипотетические и данные из условия значения: $P = \frac{2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot 20 \text{ К}}{120 \text{ с}} = \frac{8400}{120} \text{ Вт} = 70 \text{ Вт}$

2. Теперь рассмотрим процесс плавления льда. Количество теплоты $Q_{пл}$, необходимое для плавления, равно: $Q_{пл} = \lambda \cdot m$ Эта теплота была сообщена за время $\tau_{пл}$ с той же мощностью $\text{P}$: $Q_{пл} = P \cdot \tau_{пл}$ Приравнивая правые части, получаем: $\lambda \cdot m = P \cdot \tau_{пл}$ Отсюда выразим удельную теплоту плавления $\lambda$: $\lambda = \frac{P \cdot \tau_{пл}}{m}$

3. Подставим найденное значение мощности $\text{P}$ и остальные данные: $\lambda = \frac{70 \text{ Вт} \cdot 960 \text{ с}}{0.2 \text{ кг}} = \frac{67200 \text{ Дж}}{0.2 \text{ кг}} = 336000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 3.36 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Примечание: в условии было указано определить $\lambda$ "из рассмотрения процессов нагревания льда и воды". Это можно сделать, составив пропорцию, не вычисляя мощность $\text{P}$ явно. Из уравнений $P = \frac{c_1 m \Delta T_1}{\tau_1}$ и $\lambda m = P \tau_{пл}$ следует: $\lambda m = \frac{c_1 m \Delta T_1}{\tau_1} \cdot \tau_{пл}$ $\lambda = c_1 \Delta T_1 \frac{\tau_{пл}}{\tau_1}$ Используя этот метод: $\lambda = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 20 \text{ К} \cdot \frac{16 \text{ мин}}{2 \text{ мин}} = 2100 \cdot 20 \cdot 8 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 336000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 3.36 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ Результат совпадает. Аналогично можно было бы использовать данные для нагревания воды, если бы они были известны с графика. Соотношение $P = \frac{c_1 m \Delta T_1}{\tau_1} = \frac{c_2 m \Delta T_2}{\tau_2}$ позволило бы проверить согласованность данных на графике. Для нашего гипотетического примера, время нагрева воды на $20 \text{ K}$ было бы $\tau_2 = \tau_1 \frac{c_2 \Delta T_2}{c_1 \Delta T_1} = 2 \text{ мин} \cdot \frac{4200 \cdot 20}{2100 \cdot 20} = 4 \text{ мин}$.

Ответ: так как решение основано на гипотетических данных, полученный ответ является демонстрацией метода. С представленными на изображении данными задача нерешаема. Для приведенного примера ответ $3.36 \cdot 10^5 \text{ Дж/кг}$.