Номер 1, страница 58, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Анализируйте

Лебедь, рак и щука в известной басне Крылова тянут воз с одинаковыми по модулю силами. "А воз и ныне там". Как направлены эти силы? Приведите расчеты.

Дано:

К возу приложены три силы: сила Лебедя ($ \vec{F}_Л $), сила Рака ($ \vec{F}_Р $) и сила Щуки ($ \vec{F}_Щ $).

Модули этих сил одинаковы: $ |\vec{F}_Л| = |\vec{F}_Р| = |\vec{F}_Щ| = F $.

Воз остается неподвижным, следовательно, его ускорение равно нулю ($ \vec{a} = 0 $).

Найти:

Как направлены эти силы?

Решение:

Согласно первому закону Ньютона, если тело находится в покое, то векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. В данном случае это означает, что равнодействующая трех сил (Лебедя, Рака и Щуки) равна нулю.

$ \vec{R} = \vec{F}_Л + \vec{F}_Р + \vec{F}_Щ = \vec{0} $

Это условие будет выполнено, если три вектора сил, равные по модулю, будут направлены из одной точки (из центра воза) под углами 120o друг к другу в одной плоскости. Геометрически это означает, что векторы сил, если их сложить по правилу многоугольника, образуют замкнутый равносторонний треугольник.

Приведем расчеты, чтобы доказать это утверждение.

Введем декартову систему координат, начало которой совпадает с точкой приложения сил (центром воза). Направим одну из сил, например силу Рака ($ \vec{F}_Р $), вдоль положительного направления оси Ox. Тогда ее координаты (проекции) будут ($ F, 0 $).

1. Вектор силы Рака $ \vec{F}_Р $: $ F_{Рx} = F $, $ F_{Ру} = 0 $

2. Вектор силы Лебедя $ \vec{F}_Л $ будет направлен под углом 120o к вектору $ \vec{F}_Р $. Его проекции на оси: $ F_{Лx} = F \cdot \cos(120^\circ) = F \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{F}{2} $ $ F_{Лу} = F \cdot \sin(120^\circ) = F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $

3. Вектор силы Щуки $ \vec{F}_Щ $ будет направлен под углом 240o (или -120o ) к вектору $ \vec{F}_Р $. Его проекции на оси: $ F_{Щx} = F \cdot \cos(240^\circ) = F \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{F}{2} $ $ F_{Щу} = F \cdot \sin(240^\circ) = F \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -F\frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь найдем проекции равнодействующей силы $ \vec{R} $, сложив соответствующие проекции векторов сил:

Проекция на ось Ox: $ R_x = F_{Рx} + F_{Лx} + F_{Щx} = F - \frac{F}{2} - \frac{F}{2} = 0 $

Проекция на ось Oy: $ R_y = F_{Ру} + F_{Лу} + F_{Щу} = 0 + \frac{F\sqrt{3}}{2} - \frac{F\sqrt{3}}{2} = 0 $

Поскольку обе проекции равнодействующей силы равны нулю ($ R_x = 0 $ и $ R_y = 0 $), то и сама равнодействующая сила равна нулю ($ \vec{R} = \vec{0} $). Это доказывает, что при таком расположении сил воз не сдвинется с места.

Таким образом, хотя в басне направления действий персонажей описаны образно ("Лебедь рвется в облака", "Рак пятится назад", "а Щука тянет в воду"), с точки зрения физики их неудача объясняется тем, что их усилия были направлены в разные стороны так, что они взаимно компенсировали друг друга.

Ответ: Чтобы воз оставался на месте, три приложенные к нему равные по модулю силы должны быть направлены в одной плоскости под углами 120o друг к другу. В этом случае их векторная сумма равна нулю.