Номер 1, страница 215, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

Объясните

Дайте физическое и математическое объяснение тому, что кривая зависимости $p(V)$ для адиабаты идет круче, чем для изотермы?

Физическое объяснение

Чтобы понять, почему кривая адиабаты $p(V)$ идет круче, чем кривая изотермы, рассмотрим процесс расширения идеального газа из одного и того же начального состояния ($p_1, V_1, T_1$) до одинакового конечного объема $V_2$. Крутизна кривой на графике $p(V)$ отражает, насколько сильно падает давление при увеличении объема.

1. Изотермическое расширение. Этот процесс происходит при постоянной температуре ($T = \text{const}$). Когда газ расширяется, он совершает работу против внешних сил. Чтобы его температура оставалась неизменной, газу необходимо сообщить извне количество теплоты ($Q > 0$), равное совершаемой работе. Давление при этом уменьшается обратно пропорционально объему согласно закону Бойля-Мариотта: $p \sim 1/V$.

2. Адиабатное расширение. Этот процесс происходит без теплообмена с окружающей средой ($Q = 0$). Газ, расширяясь, также совершает работу, но теперь источником энергии для этой работы служит его собственная внутренняя энергия. В результате внутренняя энергия газа уменьшается ($A = -\Delta U$), что для идеального газа означает понижение его температуры ($T_2 < T_1$).

Таким образом, при адиабатном расширении до того же конечного объема $V_2$ давление газа падает по двум причинам:

а) из-за увеличения объема (как и в изотермическом процессе);

б) из-за дополнительного фактора — падения температуры, которого нет в изотермическом процессе.

Из уравнения состояния идеального газа $p = \nu RT/V$ видно, что давление прямо пропорционально температуре и обратно пропорционально объему. В случае адиабатного расширения объем $\text{V}$ увеличивается, а температура $\text{T}$ уменьшается, что приводит к более резкому падению давления по сравнению с изотермическим процессом, где изменяется только объем $\text{V}$, а температура $\text{T}$ остается постоянной. Следовательно, при одинаковом увеличении объема давление в адиабатном процессе будет ниже, чем в изотермическом, а сам график адиабаты пойдет круче.

Ответ: При адиабатном расширении газ совершает работу за счет своей внутренней энергии, что приводит к его охлаждению. Поэтому при одинаковом увеличении объема давление падает не только из-за увеличения объема, но и из-за понижения температуры, в отличие от изотермического процесса, где температура постоянна. Это двойное влияние делает падение давления более резким, а кривую $p(V)$ — более крутой.

Математическое объяснение

Крутизна графика функции $p(V)$ в любой точке определяется абсолютным значением производной $dp/dV$. Сравним эту величину для изотермического и адиабатного процессов.

Решение

1. Для изотермического процесса ($T = \text{const}$) справедливо уравнение Бойля-Мариотта:

$pV = \text{const}$

Выразим давление как функцию объема: $p(V) = C_1/V$, где $C_1$ — константа.

Найдем производную давления по объему, которая представляет собой наклон касательной к графику:

$(\frac{dp}{dV})_{iso} = \frac{d}{dV}(C_1 V^{-1}) = -C_1 V^{-2}$

Подставив обратно $C_1 = pV$, получим:

$(\frac{dp}{dV})_{iso} = -\frac{pV}{V^2} = -\frac{p}{V}$

2. Для адиабатного процесса ($Q = 0$) справедливо уравнение Пуассона:

$pV^\gamma = \text{const}$

Здесь $\gamma = C_p/C_v$ — показатель адиабаты, который для любого газа больше единицы ($\gamma > 1$).

Выразим давление как функцию объема: $p(V) = C_2/V^\gamma$, где $C_2$ — константа.

Найдем производную давления по объему:

$(\frac{dp}{dV})_{ad} = \frac{d}{dV}(C_2 V^{-\gamma}) = -\gamma C_2 V^{-\gamma-1}$

Подставив обратно $C_2 = pV^\gamma$, получим:

$(\frac{dp}{dV})_{ad} = -\gamma (pV^\gamma)V^{-\gamma-1} = -\gamma p V^{\gamma - \gamma - 1} = -\gamma \frac{p}{V}$

3. Сравнение наклонов.

Теперь сравним абсолютные значения (модули) наклонов в одной и той же точке $(p, V)$, где могут пересекаться изотерма и адиабата:

$|(\frac{dp}{dV})_{iso}| = \frac{p}{V}$

$|(\frac{dp}{dV})_{ad}| = \gamma \frac{p}{V}$

Поскольку показатель адиабаты $\gamma$ всегда больше 1 (например, для одноатомного идеального газа $\gamma \approx 1.67$, для двухатомного $\gamma \approx 1.4$), очевидно, что:

$|(\frac{dp}{dV})_{ad}| = \gamma \cdot |(\frac{dp}{dV})_{iso}| > |(\frac{dp}{dV})_{iso}|$

Это математически доказывает, что в любой общей точке касательная к адиабате имеет наклон, в $\gamma$ раз превышающий наклон касательной к изотерме. Следовательно, адиабата идет круче.

Ответ: Математически крутизна кривой $p(V)$ описывается модулем производной $|dp/dV|$. Для изотермы этот модуль равен $p/V$, а для адиабаты — $\gamma p/V$. Так как показатель адиабаты $\gamma = C_p/C_v$ всегда больше 1, наклон адиабаты в любой общей точке в $\gamma$ раз круче, чем наклон изотермы.