Номер 2, страница 215, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Одноатомный идеальный газ расширяется адиабатически и при этом объем его увеличивается вдвое. Во сколько раз изменится температура газа?

(Ответ: уменьшится в 1,6 раза)

Дано:

Процесс: адиабатическое расширение ($Q=0$)

Газ: одноатомный идеальный

Изменение объема: $V_2 / V_1 = 2$

Найти:

Отношение начальной температуры к конечной: $T_1 / T_2$

Решение:

Адиабатический процесс — это процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. Для идеального газа связь между температурой $\text{T}$ и объемом $\text{V}$ в адиабатическом процессе описывается уравнением Пуассона:

$TV^{\gamma-1} = \text{const}$

где $\gamma$ — показатель адиабаты.

Запишем это уравнение для начального состояния (с индексом 1) и конечного состояния (с индексом 2):

$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$

Нас интересует, во сколько раз изменится температура. Для этого найдем отношение температур:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{V_2^{\gamma-1}}{V_1^{\gamma-1}} = \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1}$

Показатель адиабаты $\gamma$ зависит от числа степеней свободы молекул газа $\text{i}$. Для одноатомного идеального газа число степеней свободы $i=3$ (три поступательные степени свободы). Показатель адиабаты вычисляется по формуле:

$\gamma = \frac{i+2}{i}$

Подставим значение $i=3$:

$\gamma = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь найдем значение показателя степени $\gamma - 1$:

$\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{5}{3} - \frac{3}{3} = \frac{2}{3}$

По условию задачи объем увеличивается вдвое, то есть $\frac{V_2}{V_1} = 2$.

Подставим все известные значения в формулу для отношения температур:

$\frac{T_1}{T_2} = (2)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$

Вычислим численное значение этого выражения:

$\sqrt[3]{4} \approx 1.5874$

Округляя результат до десятых, получаем 1.6.

Так как отношение $\frac{T_1}{T_2} \approx 1.6 > 1$, это означает, что $T_1 > T_2$, то есть температура газа уменьшилась. При адиабатическом расширении газ совершает работу за счет своей внутренней энергии, что и приводит к его охлаждению.

Ответ: температура уменьшится в 1,6 раза.