Номер 2, страница 218, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Один моль двухатомного идеального газа совершает циклический процесс 1–2–3–4–1, график которого изображен на рисунке 39.4. $p_0$, $V_0$ — считать известными. Найдите КПД цикла.

(Ответ: 12%)

Рис. 39.4

Дано:

$ν = 1$ моль

Газ – двухатомный идеальный

Параметры состояний по графику:

Точка 1: $p_1 = p_0, V_1 = V_0$

Точка 2: $p_2 = 2p_0, V_2 = V_0$

Точка 3: $p_3 = 2p_0, V_3 = 3V_0$

Точка 4: $p_4 = p_0, V_4 = 3V_0$

Найти:

КПД цикла, $η$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется как отношение работы, совершённой газом за цикл, к количеству теплоты, полученному от нагревателя.

$η = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}}$

1. Вычислим работу, совершённую газом за цикл ($A_{цикла}$).

В координатах $p-V$ работа за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла. В данном случае это прямоугольник.

$A_{цикла} = (p_2 - p_1) \cdot (V_3 - V_2) = (2p_0 - p_0) \cdot (3V_0 - V_0) = p_0 \cdot 2V_0 = 2p_0V_0$

2. Определим количество теплоты, полученное газом от нагревателя ($Q_{нагр}$).

Газ получает тепло на участках, где его температура увеличивается. Это участки 1-2 и 2-3. Количество теплоты, переданное газу, находим из первого начала термодинамики: $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $\text{A}$ — работа газа.

Для двухатомного идеального газа число степеней свободы $i=5$. Изменение внутренней энергии выражается как:

$\Delta U = \frac{i}{2}νR\Delta T = \frac{5}{2}νR\Delta T$

Используя уравнение состояния идеального газа $pV = νRT$, можно записать:

$\Delta U = \frac{5}{2}\Delta(pV)$

Рассмотрим участки, где газ получает тепло:

Участок 1-2 (изохорное нагревание):

Объём газа не меняется ($V = V_0$), следовательно, работа газа равна нулю: $A_{12} = 0$.

Количество полученной теплоты равно изменению внутренней энергии:

$Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{5}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{5}{2}(2p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{5}{2}p_0V_0$

Так как $Q_{12} > 0$, газ получает тепло.

Участок 2-3 (изобарное расширение):

Давление газа постоянно ($p = 2p_0$). Работа, совершаемая газом:

$A_{23} = p_2(V_3 - V_2) = 2p_0(3V_0 - V_0) = 4p_0V_0$

Изменение внутренней энергии:

$\Delta U_{23} = \frac{5}{2}(p_3V_3 - p_2V_2) = \frac{5}{2}(2p_0 \cdot 3V_0 - 2p_0V_0) = \frac{5}{2}(6p_0V_0 - 2p_0V_0) = \frac{5}{2}(4p_0V_0) = 10p_0V_0$

Количество полученной теплоты:

$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23} = 10p_0V_0 + 4p_0V_0 = 14p_0V_0$

Так как $Q_{23} > 0$, газ получает тепло.

На участках 3-4 (изохорное охлаждение) и 4-1 (изобарное сжатие) температура газа уменьшается, и газ отдает тепло холодильнику.

Общее количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл, равно:

$Q_{нагр} = Q_{12} + Q_{23} = \frac{5}{2}p_0V_0 + 14p_0V_0 = 2.5p_0V_0 + 14p_0V_0 = 16.5p_0V_0$

3. Вычислим КПД цикла.

$η = \frac{A_{цикла}}{Q_{нагр}} = \frac{2p_0V_0}{16.5p_0V_0} = \frac{2}{16.5} = \frac{20}{165} = \frac{4}{33}$

Выразим КПД в процентах:

$η = \frac{4}{33} \cdot 100\% \approx 12.12\%$

В соответствии с указанным в задаче ответом, округляем до целых.

Ответ: $η \approx 12\%$.