Номер 3, страница 218, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*3. Один моль одноатомного идеального газа совершает циклический процесс 1–2–3–4–1, график которого изображен на рисунке 39.5. $V_0$, $T_0$ — считать известными. Найдите КПД цикла.

(Ответ: 15%)

Рис. 39.5

Дано:

Газ: идеальный, одноатомный

Количество вещества: $ν = 1 \thinspace моль$

Циклический процесс: $1-2-3-4-1$

Параметры состояний из графика:

Состояние 1: $V_1 = V_0, T_1 = T_0$

Состояние 2: $V_2 = 2V_0, T_2 = 2T_0$

Состояние 4: $V_4 = V_0, T_4 = 2T_0$

Найти:

КПД цикла, $η$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового двигателя определяется по формуле:

$η = \frac{A}{Q_н}$

где $\text{A}$ — полезная работа газа за цикл, $Q_н$ — количество теплоты, полученное газом от нагревателя за цикл.

Для нахождения работы и теплоты необходимо определить параметры всех состояний цикла и характер каждого процесса.

1. Анализ процессов и состояний цикла.

Из уравнения состояния идеального газа $PV = νRT$ следует, что $P = \frac{νR T}{V}$.

• Процесс 1-2: График процесса проходит через начало координат, так как $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_0}{T_0}$ и $\frac{V_2}{T_2} = \frac{2V_0}{2T_0} = \frac{V_0}{T_0}$. Это означает, что $\frac{V}{T} = const$. Из уравнения $PV=νRT$ следует, что $P = νR \frac{T}{V} = const$. Следовательно, процесс 1-2 является изобарным расширением при давлении $P_1 = P_2 = \frac{νRT_0}{V_0}$.
• Процесс 4-1: В этом процессе объём постоянен ($V_4=V_1=V_0$), а температура падает. Это изохорное охлаждение.

Для определения состояния 3 и характера процессов 2-3 и 3-4 сделаем наиболее вероятное предположение, исходя из типичной структуры таких задач. Предположим, что цикл состоит из двух изобар и двух изохор. Мы уже имеем одну изобару (1-2) и одну изохору (4-1). Логично предположить, что 2-3 — это изохорный процесс, а 3-4 — изобарный.

• Предположение: процесс 2-3 — изохорный. Тогда $V_3 = V_2 = 2V_0$.
• Предположение: процесс 3-4 — изобарный. Тогда $P_3 = P_4$.

Найдем давление в точке 4: $P_4 = \frac{νRT_4}{V_4} = \frac{νR(2T_0)}{V_0} = 2 \frac{νRT_0}{V_0} = 2P_1$.

Тогда давление в точке 3: $P_3 = P_4 = 2P_1$.

Теперь мы можем найти температуру в состоянии 3, используя параметры состояния 3 ($P_3 = 2P_1, V_3 = 2V_0$):

$T_3 = \frac{P_3V_3}{νR} = \frac{(2P_1)(2V_0)}{νR} = \frac{4P_1V_0}{νR}$. Так как $P_1V_0 = νRT_0$, то $T_3 = \frac{4(νRT_0)}{νR} = 4T_0$.

Итак, параметры состояний:

• 1: $(P_1, V_0, T_0)$
• 2: $(P_1, 2V_0, 2T_0)$
• 3: $(2P_1, 2V_0, 4T_0)$
• 4: $(2P_1, V_0, 2T_0)$

2. Расчет работы и теплоты.

Работа за цикл $\text{A}$ равна сумме работ на каждом участке. Теплота, полученная от нагревателя $Q_н$, — это сумма всех положительных количеств теплоты, полученных газом.

Для одноатомного газа молярная теплоемкость при постоянном объеме $C_V = \frac{3}{2}R$, а при постоянном давлении $C_p = \frac{5}{2}R$.

• Процесс 1-2 (изобарное расширение): $A_{12} = P_1(V_2-V_1) = P_1(2V_0-V_0) = P_1V_0 = νRT_0$. $Q_{12} = νC_p(T_2-T_1) = ν(\frac{5}{2}R)(2T_0-T_0) = \frac{5}{2}νRT_0$. Так как $Q_{12}>0$, это теплота от нагревателя.
• Процесс 2-3 (изохорное нагревание): $A_{23} = 0$. $Q_{23} = νC_V(T_3-T_2) = ν(\frac{3}{2}R)(4T_0-2T_0) = 3νRT_0$. Так как $Q_{23}>0$, это теплота от нагревателя.
• Процесс 3-4 (изобарное сжатие): $A_{34} = P_3(V_4-V_3) = 2P_1(V_0-2V_0) = -2P_1V_0 = -2νRT_0$. $Q_{34} = νC_p(T_4-T_3) = ν(\frac{5}{2}R)(2T_0-4T_0) = -5νRT_0$. Так как $Q_{34}<0$, газ отдает теплоту.
• Процесс 4-1 (изохорное охлаждение): $A_{41} = 0$. $Q_{41} = νC_V(T_1-T_4) = ν(\frac{3}{2}R)(T_0-2T_0) = -\frac{3}{2}νRT_0$. Так как $Q_{41}<0$, газ отдает теплоту.

3. Вычисление КПД.

Полная работа за цикл:

$A = A_{12} + A_{23} + A_{34} + A_{41} = νRT_0 + 0 - 2νRT_0 + 0 = -νRT_0$.

Работа получилась отрицательной. Это означает, что над газом совершают работу, и данный цикл 1-2-3-4-1 является обратным циклом (холодильной машиной), а не тепловым двигателем. КПД определяется для тепловых двигателей (где $A > 0$).

Вероятно, в условии задачи имелся в виду обратный цикл 1-4-3-2-1, который будет являться тепловым двигателем. В этом случае работа будет положительной: $A' = -A = νRT_0$.

Рассчитаем КПД для цикла 1-4-3-2-1. В этом цикле теплота подводится на участках 1-4 и 4-3.

$Q'_{14} = -Q_{41} = \frac{3}{2}νRT_0$.

$Q'_{43} = -Q_{34} = 5νRT_0$.

Общее количество теплоты, полученное от нагревателя:

$Q_н = Q'_{14} + Q'_{43} = \frac{3}{2}νRT_0 + 5νRT_0 = \frac{13}{2}νRT_0$.

Теперь найдем КПД:

$η = \frac{A'}{Q_н} = \frac{νRT_0}{\frac{13}{2}νRT_0} = \frac{2}{13}$.

Переведем в проценты:

$η = \frac{2}{13} \times 100\% \approx 15.38\%$.

Это значение очень близко к указанному в задаче ответу 15%, который, вероятно, является округленным значением.

Ответ: $η = \frac{2}{13} \approx 15.4\%$