Номер 4, страница 218, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*4. Найти КПД цикла, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если в пределах цикла давление изменяется в 2 раза. Рабочим веществом является азот.

(Ответ: 18%)

Дано:

Цикл состоит из двух изобар и двух адиабат.

Рабочее вещество - азот (N₂).

Отношение давлений в цикле $\frac{p_{max}}{p_{min}} = 2$.

Найти:

КПД цикла, $\eta$.

Решение:

Описанный в задаче цикл, состоящий из двух изобар и двух адиабат, является циклом Брайтона. Коэффициент полезного действия (КПД) любого теплового двигателя определяется как отношение совершённой полезной работы $A_{полезная}$ к количеству теплоты $Q_{нагревателя}$, полученному от нагревателя:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{Q_{нагревателя}} = \frac{Q_{нагревателя} - |Q_{холодильника}|}{Q_{нагревателя}} = 1 - \frac{|Q_{холодильника}|}{Q_{нагревателя}}$

В цикле Брайтона теплота подводится при изобарном расширении ($Q_{нагревателя}$) и отводится при изобарном сжатии ($|Q_{холодильника}|$).

Пусть состояния газа в цикле нумеруются следующим образом:

1-2: адиабатное сжатие, давление растет от $p_1$ до $p_2$.

2-3: изобарное расширение при давлении $p_2$ (подвод теплоты $Q_{нагревателя}$).

3-4: адиабатное расширение, давление падает от $p_2$ до $p_1$.

4-1: изобарное сжатие при давлении $p_1$ (отвод теплоты $Q_{холодильника}$).

Количество теплоты, подведенное к газу на участке 2-3, равно $Q_{нагревателя} = \nu C_p (T_3 - T_2)$, где $\nu$ - количество вещества, $C_p$ - молярная теплоемкость при постоянном давлении, а $T_2$ и $T_3$ - температуры в начале и в конце процесса.

Количество теплоты, отданное газом на участке 4-1, равно $|Q_{холодильника}| = \nu C_p (T_4 - T_1)$.

Тогда формула для КПД примет вид:

$\eta = 1 - \frac{\nu C_p (T_4 - T_1)}{\nu C_p (T_3 - T_2)} = 1 - \frac{T_4 - T_1}{T_3 - T_2}$

Для адиабатных процессов (1-2 и 3-4) используется уравнение Пуассона в виде $T^{\gamma}p^{1-\gamma} = const$, где $\gamma$ - показатель адиабаты.

Для процесса 1-2: $T_1^{\gamma}p_1^{1-\gamma} = T_2^{\gamma}p_2^{1-\gamma}$, откуда $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$.

Для процесса 3-4: $T_3^{\gamma}p_2^{1-\gamma} = T_4^{\gamma}p_1^{1-\gamma}$, откуда $\frac{T_3}{T_4} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$.

Из этих двух соотношений следует, что $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}$. Перегруппируем это равенство: $\frac{T_4}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$.

Преобразуем выражение для КПД:

$\eta = 1 - \frac{T_1(\frac{T_4}{T_1} - 1)}{T_2(\frac{T_3}{T_2} - 1)}$

Поскольку $\frac{T_4}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$, выражения в скобках равны, и формула для КПД упрощается до:

$\eta = 1 - \frac{T_1}{T_2}$

Используя соотношение для адиабатного процесса, выразим КПД через давления:

$\eta = 1 - \left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} = 1 - \frac{1}{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}$

Рабочим веществом является азот (N₂), который является двухатомным газом. Для идеального двухатомного газа число степеней свободы $i=5$, и показатель адиабаты $\gamma$ вычисляется как:

$\gamma = \frac{i+2}{i} = \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$

Из условия задачи, отношение максимального давления к минимальному $\frac{p_2}{p_1} = 2$.

Рассчитаем показатель степени в формуле КПД:

$\frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{1.4 - 1}{1.4} = \frac{0.4}{1.4} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

Теперь подставим все значения в формулу для КПД:

$\eta = 1 - \frac{1}{2^{2/7}} = 1 - \frac{1}{\sqrt[7]{4}}$

Произведем вычисления:

$2^{2/7} \approx 1.2190$

$\eta \approx 1 - \frac{1}{1.2190} \approx 1 - 0.8203 \approx 0.1797$

Чтобы выразить КПД в процентах, умножим полученное значение на 100%:

$\eta \approx 0.1797 \cdot 100\% \approx 18\%$

Ответ: 18%.