Номер 2, страница 253, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. В двух капиллярных трубках разного диаметра, опущенных в воду, установилась разность уровней $\Delta h_1 = 2,6$. При опускании этих же трубок в спирт разность уровней оказалась $\Delta h_2 = 1$ см. Зная коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma_1 = 73$ мН/м, найти коэффициент поверхностного натяжения спирта $\sigma_2$.

(Ответ: 22 мН/м)

Дано:

$\Delta h_1 = 2,6 \text{ см}$

$\Delta h_2 = 1 \text{ см}$

$\sigma_1 = 73 \text{ мН/м}$

Плотность воды (справочное значение): $\rho_1 = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность спирта (справочное значение): $\rho_2 = 800 \text{ кг/м}^3$

$\Delta h_1 = 0,026 \text{ м}$

$\Delta h_2 = 0,01 \text{ м}$

$\sigma_1 = 73 \cdot 10^{-3} \text{ Н/м}$

Найти:

$\sigma_2$

Решение:

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке определяется по формуле Жюрена:

$h = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, $\rho$ — плотность жидкости, $\text{r}$ — радиус трубки, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, $\theta$ — краевой угол смачивания. Для воды и спирта в стеклянных трубках можно считать, что смачивание полное, то есть $\cos\theta \approx 1$.

Пусть радиусы двух капиллярных трубок равны $r_a$ и $r_b$. Тогда разность уровней жидкости в этих трубках для воды (индекс 1) будет:

$\Delta h_1 = h_{1a} - h_{1b} = \frac{2\sigma_1}{\rho_1 g r_a} - \frac{2\sigma_1}{\rho_1 g r_b} = \frac{2\sigma_1}{\rho_1 g} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)$

Аналогично, для спирта (индекс 2):

$\Delta h_2 = h_{2a} - h_{2b} = \frac{2\sigma_2}{\rho_2 g r_a} - \frac{2\sigma_2}{\rho_2 g r_b} = \frac{2\sigma_2}{\rho_2 g} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)$

Мы получили систему из двух уравнений. Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить неизвестные радиусы трубок:

$\frac{\Delta h_2}{\Delta h_1} = \frac{\frac{2\sigma_2}{\rho_2 g} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)}{\frac{2\sigma_1}{\rho_1 g} \left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)} = \frac{\sigma_2 / \rho_2}{\sigma_1 / \rho_1} = \frac{\sigma_2 \rho_1}{\sigma_1 \rho_2}$

Из этого соотношения выразим искомый коэффициент поверхностного натяжения спирта $\sigma_2$:

$\sigma_2 = \sigma_1 \cdot \frac{\Delta h_2}{\Delta h_1} \cdot \frac{\rho_2}{\rho_1}$

Подставим числовые значения:

$\sigma_2 = 73 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot \frac{0,01 \text{ м}}{0,026 \text{ м}} \cdot \frac{800 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} = 73 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{1}{2,6} \cdot 0,8 \approx 22,46 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$\sigma_2 \approx 22 \cdot 10^{-3} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 22 \frac{\text{мН}}{\text{м}}$

Ответ: $\sigma_2 = 22 \text{ мН/м}$.