Номер 3, страница 24, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

3. Сформулируйте теорему Гаусса.

3. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля $\vec{E}$ через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность (называемую гауссовой поверхностью) прямо пропорционален величине суммарного электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности.

В интегральной форме теорема Гаусса записывается следующим образом:

$\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}$

где:

$\oint_S$ — интеграл по замкнутой поверхности $\text{S}$;

$\vec{E}$ — вектор напряженности электрического поля в точке на поверхности;

$d\vec{S}$ — вектор элементарной площадки поверхности $\text{S}$, направленный по внешней нормали к ней. Его модуль $|d\vec{S}|$ равен площади этой элементарной площадки $dS$;

$\vec{E} \cdot d\vec{S} = E_n dS$ — скалярное произведение, представляющее собой элементарный поток вектора напряженности через площадку $dS$, где $E_n$ — проекция вектора $\vec{E}$ на нормаль к поверхности;

$Q_{вн}$ — алгебраическая сумма всех точечных зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности $\text{S}$;

$\varepsilon_0$ — электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), $\varepsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \frac{Ф}{м}$.

Теорема Гаусса является одним из фундаментальных законов электродинамики и входит в систему уравнений Максвелла. Она особенно полезна для расчета напряженности электрических полей, создаваемых телами с высокой степенью симметрии (например, заряженная сфера, бесконечная плоскость, бесконечный цилиндр), так как позволяет свести вычисление сложных интегралов к простым алгебраическим операциям.

Существует также дифференциальная форма теоремы Гаусса, которая связывает локальные характеристики поля и заряда в каждой точке пространства:

$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$

Здесь $\nabla \cdot \vec{E}$ — дивергенция вектора напряженности $\vec{E}$, а $\rho$ — объемная плотность заряда в данной точке. Эта форма показывает, что источниками электрического поля являются электрические заряды.

Ответ: Поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен отношению суммарного заряда, заключенного внутри этой поверхности, к электрической постоянной $\varepsilon_0$. Математически это выражается формулой: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{вн}}{\varepsilon_0}$.