Номер 4, страница 24, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Почему теорема Гаусса позволяет рассчитать напряженность поля, созданного телом произвольной формы?

4. Почему теорема Гаусса позволяет рассчитать напряженность поля, созданного телом произвольной формы?

Данный вопрос требует важного уточнения. Теорема Гаусса является фундаментальным законом, но она не всегда позволяет просто рассчитать напряженность поля для тела произвольной формы. Разберем, в чем суть теоремы и каковы границы ее практического применения для расчета полей.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме гласит: поток вектора напряженности электрического поля $ \vec{E} $ через любую произвольную замкнутую поверхность $ S $ равен полному заряду $ Q_{внутр} $, заключенному внутри этой поверхности, деленному на электрическую постоянную $ \varepsilon_0 $.

В интегральной форме это записывается так: $ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{внутр}}{\varepsilon_0} $

Эта теорема верна всегда и для любого распределения зарядов. Однако, чтобы из этого уравнения найти саму напряженность $ \vec{E} $, нужно суметь решить интеграл. Это удается сделать аналитически (т.е. "вытащить" $ E $ из-под знака интеграла) только в тех случаях, когда распределение зарядов обладает высокой степенью симметрии.

Для простого расчета напряженности с помощью теоремы Гаусса необходимо подобрать такую замкнутую "гауссову" поверхность, чтобы для всех ее точек выполнялись два условия:

1. Модуль напряженности поля $ E $ был одинаков (постоянен).

2. Угол между вектором напряженности $ \vec{E} $ и вектором нормали к поверхности $ d\vec{S} $ был простым (например, 0o или 90o ).

При выполнении этих условий интеграл упрощается: $ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = E \cdot S_{эфф} $, где $ S_{эфф} $ — площадь той части поверхности, которую пронизывает поле. Тогда напряженность легко выражается: $ E = \frac{Q_{внутр}}{\varepsilon_0 S_{эфф}} $.

Такой подход эффективно работает для:

• Сферической симметрии (поле равномерно заряженного шара или сферы). Гауссова поверхность — сфера.

• Цилиндрической симметрии (поле бесконечной заряженной нити или цилиндра). Гауссова поверхность — коаксиальный цилиндр.

• Плоской симметрии (поле бесконечной заряженной плоскости). Гауссова поверхность — цилиндр или параллелепипед.

Если же заряженное тело имеет произвольную асимметричную форму, то создаваемое им электрическое поле будет иметь сложную структуру. На любой воображаемой замкнутой поверхности, окружающей это тело, модуль напряженности $ E $ и ее направление будут меняться от точки к точке сложным образом. В такой ситуации взять интеграл и аналитически выразить из него $ E $ невозможно.

Таким образом, утверждение в вопросе является не совсем корректным. Теорема Гаусса теоретически верна для тел любой формы, но как практический инструмент для расчета напряженности она применима только для высокосимметричных систем. Для тел произвольной формы приходится использовать другие, более сложные методы, например, принцип суперпозиции (интегрирование по закону Кулона) или численные расчеты.

Ответ: Теорема Гаусса является фундаментальным соотношением, связывающим электрический заряд и создаваемое им поле, и верна для любой ситуации. Однако она позволяет легко рассчитать напряженность поля только для случаев высокой симметрии (сферической, цилиндрической, плоской), когда можно выбрать такую гауссову поверхность, на которой модуль поля постоянен. Для заряженного тела произвольной (асимметричной) формы поле не обладает нужной симметрией, и поэтому теорема Гаусса, оставаясь верной, не является эффективным методом для простого аналитического расчета напряженности поля.