Номер 2, страница 92, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Через алюминиевый провод сечением $50 \text{ мм}^2$ в течение $1 \text{ ч}$ проходит $10 \text{ Кл}$ заряда. Считая, что на каждый атом алюминия приходится по одному свободному электрону, определите силу тока, плотность тока и среднюю скорость направленного движения (дрейфа) электронов. Плотность алюминия $2700 \text{ кг/м}^3$.

(Ответ: $2,8 \text{ А}$; $5,6 \cdot 10^4 \text{ А/м}^2$; $5,8 \cdot 10^{-6} \text{ м/с}$)

Дано:

Сечение провода $S = 50 \text{ мм}^2$

Время $t = 1 \text{ ч}$

Заряд $q = 10 \text{ Кл}$

Плотность алюминия $\rho = 2700 \text{ кг/м}^3$

Условие: на 1 атом Al приходится 1 свободный электрон.

Справочные данные:

Молярная масса алюминия $M \approx 0.027 \text{ кг/моль}$

Число Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Элементарный заряд $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

$S = 50 \text{ мм}^2 = 50 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2$

$t = 1 \text{ ч} = 3600 \text{ с}$

$q = 10 \text{ Кл} = 10 \cdot 10^3 \text{ Кл} = 10^4 \text{ Кл}$

Найти:

Силу тока $\text{I}$

Плотность тока $\text{j}$

Среднюю скорость дрейфа электронов $\text{v}$

Решение:

Сила тока

Сила тока $\text{I}$ определяется как заряд $\text{q}$, прошедший через поперечное сечение проводника за промежуток времени $\text{t}$.

Формула для расчета силы тока:

$I = \frac{q}{t}$

Подставим данные из условия:

$I = \frac{10^4 \text{ Кл}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{36} \text{ А} = \frac{25}{9} \text{ А} \approx 2.78 \text{ А}$

Округлив до десятых, получаем $2.8 \text{ А}$.

Ответ: сила тока $I \approx 2.8 \text{ А}$.

Плотность тока

Плотность тока $\text{j}$ — это сила тока $\text{I}$, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения проводника $\text{S}$.

Формула для расчета плотности тока:

$j = \frac{I}{S}$

Подставим ранее найденное значение силы тока (в виде дроби для точности) и площадь сечения:

$j = \frac{25/9 \text{ А}}{5 \cdot 10^{-5} \text{ м}^2} = \frac{25}{9 \cdot 5} \cdot 10^5 \text{ А/м}^2 = \frac{5}{9} \cdot 10^5 \text{ А/м}^2 \approx 0.556 \cdot 10^5 \text{ А/м}^2$

Приводя к стандартному виду и округляя, получаем:

$j \approx 5.6 \cdot 10^4 \text{ А/м}^2$

Ответ: плотность тока $j \approx 5.6 \cdot 10^4 \text{ А/м}^2$.

Средняя скорость направленного движения (дрейфа) электронов

Плотность тока также связана со скоростью упорядоченного движения носителей заряда. Для электронов формула имеет вид:

$j = n \cdot e \cdot v$

где $\text{n}$ — концентрация свободных электронов, $\text{e}$ — элементарный заряд, $\text{v}$ — средняя скорость дрейфа.

Отсюда выразим скорость $\text{v}$:

$v = \frac{j}{n \cdot e}$

По условию на каждый атом алюминия приходится один свободный электрон, следовательно, концентрация электронов $\text{n}$ равна концентрации атомов алюминия. Найдем концентрацию атомов по формуле:

$n = \frac{N}{V} = \frac{\nu \cdot N_A}{V} = \frac{m/M \cdot N_A}{m/\rho} = \frac{\rho \cdot N_A}{M}$

Подставим числовые значения:

$n = \frac{2700 \text{ кг/м}^3 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{0.027 \text{ кг/моль}} = 100000 \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ м}^{-3} = 6.022 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3}$

Теперь можем рассчитать скорость дрейфа электронов, используя точное значение $j = \frac{5}{9} \cdot 10^5 \text{ А/м}^2$:

$v = \frac{\frac{5}{9} \cdot 10^5 \text{ А/м}^2}{6.022 \cdot 10^{28} \text{ м}^{-3} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx \frac{0.556 \cdot 10^5}{9.635 \cdot 10^9} \text{ м/с} \approx 0.0577 \cdot 10^{-4} \text{ м/с}$

Приводя к стандартному виду и округляя:

$v \approx 5.8 \cdot 10^{-6} \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость направленного движения электронов $v \approx 5.8 \cdot 10^{-6} \text{ м/с}$.