Номер 5, страница 42 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 2. Основы молекулярно-кинетической теории. Параграф 2.5. Потенциальная энергия взаимодействия молекул - номер 5, страница 42.

Условие.

5. Каким образом, зная график зависимости силы взаимодействия между молекулами от расстояния, можно установить, как зависит от расстояния потенциальная энергия?

Решение.

Решение

Связь между силой взаимодействия между молекулами $F(r)$ и их потенциальной энергией $E_p(r)$ является фундаментальной в физике. Для консервативных сил, к которым относятся силы межмолекулярного взаимодействия, сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком. В случае зависимости только от расстояния $\text{r}$ (одномерный случай), это соотношение записывается в виде:

$F(r) = - \frac{dE_p(r)}{dr}$

Это означает, что сила в любой точке равна скорости убывания потенциальной энергии с расстоянием. Из данного математического соотношения следует, что для нахождения зависимости потенциальной энергии $E_p(r)$ по известной зависимости силы $F(r)$ необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, — интегрирование.

Изменение потенциальной энергии $\Delta E_p$ при изменении расстояния между молекулами от $r_1$ до $r_2$ равно работе $\text{A}$, совершаемой силой взаимодействия $F(r)$ на этом перемещении, взятой с противоположным знаком:

$\Delta E_p = E_p(r_2) - E_p(r_1) = -A = - \int_{r_1}^{r_2} F(r) dr$

Геометрически определённый интеграл $\int_{r_1}^{r_2} F(r) dr$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $F(r)$, осью абсцисс и вертикальными прямыми $r=r_1$ и $r=r_2$. Площадь участков, где $F(r)>0$, берется со знаком плюс, а где $F(r)<0$ — со знаком минус. Таким образом, зная график $F(r)$, можно найти изменение потенциальной энергии, вычислив площадь под соответствующим участком графика и взяв её с обратным знаком.

Чтобы определить саму функцию потенциальной энергии $E_p(r)$, а не только её изменение, необходимо выбрать точку с известным значением энергии (нулевой уровень). В молекулярной физике принято считать, что потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю, когда они находятся на бесконечно большом расстоянии друг от друга, то есть $E_p(\infty) = 0$.

С учётом этого условия, потенциальная энергия на расстоянии $\text{r}$ будет равна:

$E_p(r) = - \int_{\infty}^{r} F(r') dr' = \int_{r}^{\infty} F(r') dr'$

Следовательно, потенциальная энергия при заданном расстоянии $\text{r}$ между молекулами численно равна площади под графиком $F(r)$ в пределах от $\text{r}$ до бесконечности. Зная вид графика $F(r)$, можно, вычисляя площади, построить график зависимости $E_p(r)$.

Качественный анализ графика $F(r)$ также позволяет определить характер графика $E_p(r)$:

• В области, где действуют силы отталкивания ($F(r) > 0$), производная $dE_p/dr$ отрицательна, то есть потенциальная энергия убывает с увеличением $\text{r}$.
• В области, где действуют силы притяжения ($F(r) < 0$), производная $dE_p/dr$ положительна, то есть потенциальная энергия возрастает с увеличением $\text{r}$.
• В точке равновесия ($r = r_0$, где $F(r_0) = 0$), производная $dE_p/dr$ равна нулю. Это соответствует точке экстремума — минимума потенциальной энергии.

Ответ: Зная график зависимости силы взаимодействия между молекулами от расстояния $F(r)$, можно установить зависимость потенциальной энергии $E_p(r)$ путем интегрирования. Связь между этими величинами определяется формулой $F(r) = -dE_p/dr$. Чтобы найти значение потенциальной энергии на расстоянии $\text{r}$, необходимо вычислить площадь под графиком $F(r)$ от $\text{r}$ до бесконечности, приняв, что на бесконечном расстоянии потенциальная энергия равна нулю. Математически это выражается как $E_p(r) = \int_{r}^{\infty} F(r') dr'$. Изменение потенциальной энергии между двумя точками $r_1$ и $r_2$ равно площади под графиком $F(r)$ на этом интервале, взятой с обратным знаком.