Номер 2, страница 335 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 101. Связь между напряженностью электростатического поля и разностью потенциалов. Эквипотенциальные поверхности. Глава 14. Электростатика - номер 2, страница 335.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Разность потенциалов (или напряжение) и напряжённость электрического поля — это две взаимосвязанные характеристики, описывающие электрическое поле. Разность потенциалов $U = \varphi_1 - \varphi_2$ является скалярной, энергетической характеристикой поля, в то время как напряжённость $\vec{E}$ — это векторная, силовая характеристика. Их связь устанавливается через работу, совершаемую полем при перемещении заряда.

Работа $A$, совершаемая силами электростатического поля при перемещении пробного положительного заряда $q$ из точки 1 в точку 2, по определению равна произведению заряда на разность потенциалов между этими точками:

$A = q(\varphi_1 - \varphi_2)$

Эту же работу можно выразить через силовую характеристику поля — напряжённость $\vec{E}$. Сила, действующая на заряд $q$ со стороны поля, равна $\vec{F} = q\vec{E}$. Работа этой силы на элементарном перемещении $d\vec{l}$ равна $dA = \vec{F} \cdot d\vec{l} = q\vec{E} \cdot d\vec{l}$. Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 находится интегрированием:

$A = \int_1^2 q\vec{E} \cdot d\vec{l}$

Приравнивая оба выражения для работы и сокращая на величину заряда $q$, получаем общую связь между разностью потенциалов и напряжённостью в интегральной форме:

$\varphi_1 - \varphi_2 = \int_1^2 \vec{E} \cdot d\vec{l}$

Таким образом, разность потенциалов между двумя точками поля равна линейному интегралу вектора напряжённости вдоль любого пути, соединяющего эти точки.

Связь для однородного поля

В важном частном случае однородного электрического поля, когда вектор $\vec{E}$ одинаков во всех точках (постоянен по модулю и направлению), вычисление интеграла упрощается. Пусть точки 1 и 2 находятся на расстоянии $d$ друг от друга вдоль силовой линии поля. Тогда вектор перемещения $d\vec{l}$ сонаправлен с вектором $\vec{E}$, и формула принимает вид:

$U = |\varphi_1 - \varphi_2| = E \cdot d$

Отсюда можно выразить модуль напряжённости:

$E = \frac{U}{d}$

Эта формула показывает, что напряжённость однородного поля численно равна разности потенциалов, приходящейся на единицу длины вдоль силовой линии. Вектор напряжённости $\vec{E}$ всегда направлен в сторону уменьшения потенциала.

Связь в дифференциальной форме

Локальная связь в каждой точке поля выражается через оператор "градиент" ($\nabla$). Напряжённость электрического поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус:

$\vec{E} = -\nabla\varphi$

Это означает, что вектор $\vec{E}$ в каждой точке пространства направлен в сторону самого быстрого убывания потенциала, а его модуль равен этой скорости убывания.

Ответ: Разность потенциалов $\varphi_1 - \varphi_2$ связана с напряжённостью электрического поля $\vec{E}$ через работу поля. В общем случае эта связь выражается интегральной формулой: $\varphi_1 - \varphi_2 = \int_1^2 \vec{E} \cdot d\vec{l}$. Для однородного поля, где $\vec{E}$ постоянно, связь упрощается до формулы $E = \frac{U}{d}$, где $U$ — модуль разности потенциалов (напряжение), а $d$ — расстояние между точками вдоль силовой линии. Вектор напряжённости поля всегда направлен в сторону убывания потенциала.