Номер 3, страница 338 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 102. Примеры решения задач по теме «Потенциальная энергия электростатического поля. Разность потенциалов». Глава 14. Электростатика - номер 3, страница 338.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Жёсткость пружины: $k = 10^3$ Н/м

Длина пружины в недеформированном состоянии: $l_0 = 4$ см $= 0.04$ м

Минимальное расстояние между шариками: $r_{min} = 3$ см $= 0.03$ м

Максимальное расстояние между шариками: $r_{max} = 6$ см $= 0.06$ м

Шарики и заряды одинаковы: $q_1 = q_2 = q$

Найти:

Заряд шариков $q$.

Решение:

Система шариков и пружины является замкнутой. Силы, действующие в системе (сила упругости и сила Кулона), являются потенциальными. Следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения полной механической энергии.

Полная энергия системы $E$ складывается из кинетической энергии шариков $K$, потенциальной энергии пружины $U_{пр}$ и потенциальной энергии электростатического взаимодействия (кулоновской энергии) $U_{кул}$.

$E = K + U_{пр} + U_{кул}$

В крайних точках колебаний, когда расстояние между шариками минимально ($r_{min}$) и максимально ($r_{max}$), их скорости равны нулю, а значит, и кинетическая энергия системы равна нулю ($K=0$). Поэтому в этих точках полная энергия равна сумме потенциальных энергий.

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в точке максимального сближения равна полной энергии в точке максимального удаления:

$U_{пр}(r_{min}) + U_{кул}(r_{min}) = U_{пр}(r_{max}) + U_{кул}(r_{max})$

Потенциальная энергия пружины определяется формулой $U_{пр} = \frac{k \Delta l^2}{2}$, где $\Delta l$ - деформация пружины. В нашем случае $\Delta l = r - l_0$.

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия двух точечных зарядов: $U_{кул} = k_e \frac{q^2}{r}$, где $k_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл² — электрическая постоянная.

Подставим выражения для энергий в закон сохранения:

$\frac{k(r_{min} - l_0)^2}{2} + k_e \frac{q^2}{r_{min}} = \frac{k(r_{max} - l_0)^2}{2} + k_e \frac{q^2}{r_{max}}$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $q^2$:

$k_e q^2 (\frac{1}{r_{min}} - \frac{1}{r_{max}}) = \frac{k}{2} [(r_{max} - l_0)^2 - (r_{min} - l_0)^2]$

$k_e q^2 \frac{r_{max} - r_{min}}{r_{min} r_{max}} = \frac{k}{2} [(r_{max} - l_0)^2 - (r_{min} - l_0)^2]$

Отсюда выражаем $q^2$:

$q^2 = \frac{k \cdot r_{min} \cdot r_{max}}{2 k_e (r_{max} - r_{min})} [(r_{max} - l_0)^2 - (r_{min} - l_0)^2]$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$q^2 = \frac{10^3 \cdot 0.03 \cdot 0.06}{2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot (0.06 - 0.03)} [(0.06 - 0.04)^2 - (0.03 - 0.04)^2]$

$q^2 = \frac{10^3 \cdot 0.0018}{18 \cdot 10^9 \cdot 0.03} [(0.02)^2 - (-0.01)^2]$

$q^2 = \frac{1.8}{0.54 \cdot 10^9} [0.0004 - 0.0001]$

$q^2 = \frac{1.8}{0.54 \cdot 10^9} \cdot 0.0003 = \frac{1.8 \cdot 3 \cdot 10^{-4}}{5.4 \cdot 10^8} = \frac{5.4 \cdot 10^{-4}}{5.4 \cdot 10^8} = 1 \cdot 10^{-12}$ Кл²

Теперь найдем величину заряда $q$:

$q = \sqrt{1 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2} = 10^{-6}$ Кл

$q = 1$ мкКл

Ответ: заряд каждого шарика равен $10^{-6}$ Кл (или 1 мкКл).