Номер 7, страница 339 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 102. Примеры решения задач по теме «Потенциальная энергия электростатического поля. Разность потенциалов». Глава 14. Электростатика - номер 7, страница 339.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Радиус каждого шара: $r$

Расстояние между центрами шаров: $l$ ($l>2r$)

Начальный заряд каждого шара: $q$

Найти:

Потенциал шара, который был заземлён первым, после всех операций: $\phi_1$

Решение:

Обозначим шары как шар 1 и шар 2. По условию, сначала заземляют шар 1, а затем шар 2. Потенциал заземленного проводника равен нулю.

Потенциал на поверхности проводящего шара радиусом $r$ с зарядом $Q$ равен $\phi_{собств} = k \frac{Q}{r}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — электростатическая постоянная. Потенциал, создаваемый этим шаром на расстоянии $d > r$ от его центра, равен $\phi_{внеш} = k \frac{Q}{d}$.

Так как шары небольшие, при расчете потенциала, создаваемого одним шаром в месте расположения другого, будем считать его точечным зарядом, расположенным в центре.

1. Заземление первого шара.

В начальный момент оба шара имеют заряд $q$. Когда шар 1 заземляют, его потенциал $\phi_1$ становится равным нулю. Этот потенциал складывается из собственного потенциала шара 1 (с его новым зарядом $q_1'$) и потенциала, создаваемого шаром 2 (с его первоначальным зарядом $q$) в центре шара 1.

$\phi_1 = k \frac{q_1'}{r} + k \frac{q}{l} = 0$

Отсюда находим новый заряд первого шара $q_1'$:

$\frac{q_1'}{r} = - \frac{q}{l} \implies q_1' = -q \frac{r}{l}$

После этого заземление с первого шара убирают. Теперь заряды шаров: $q_1' = -q \frac{r}{l}$ и $q_2 = q$.

2. Заземление второго шара.

Теперь заземляют шар 2. Его потенциал $\phi_2$ становится равным нулю. Этот потенциал складывается из собственного потенциала шара 2 (с новым зарядом $q_2'$) и потенциала, создаваемого шаром 1 (с его текущим зарядом $q_1'$) в центре шара 2.

$\phi_2 = k \frac{q_2'}{r} + k \frac{q_1'}{l} = 0$

Находим новый заряд второго шара $q_2'$:

$\frac{q_2'}{r} = - \frac{q_1'}{l} \implies q_2' = -q_1' \frac{r}{l}$

Подставляем найденное ранее значение $q_1'$:

$q_2' = - \left(-q \frac{r}{l}\right) \frac{r}{l} = q \frac{r^2}{l^2}$

После этого заземление со второго шара убирают.

3. Определение финального потенциала первого шара.

Теперь система находится в конечном состоянии. Заряды шаров равны $q_1' = -q \frac{r}{l}$ и $q_2' = q \frac{r^2}{l^2}$.

Найдём потенциал первого шара $\phi_1$ в этом конечном состоянии. Он складывается из его собственного потенциала и потенциала, создаваемого вторым шаром.

$\phi_1 = k \frac{q_1'}{r} + k \frac{q_2'}{l}$

Подставим значения зарядов $q_1'$ и $q_2'$:

$\phi_1 = k \frac{-q \frac{r}{l}}{r} + k \frac{q \frac{r^2}{l^2}}{l} = k \left(-\frac{q}{l} + \frac{qr^2}{l^3}\right)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$\phi_1 = k \frac{q}{l} \left(-1 + \frac{r^2}{l^2}\right) = -k \frac{q}{l} \left(1 - \frac{r^2}{l^2}\right)$

Ответ: Потенциал шара, который был заземлён первым, равен $\phi_1 = -k \frac{q}{l} \left(1 - \frac{r^2}{l^2}\right)$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.