Номер 4, страница 339 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 102. Примеры решения задач по теме «Потенциальная энергия электростатического поля. Разность потенциалов». Глава 14. Электростатика - номер 4, страница 339.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Радиус сферы 1: $R_1 = R$

Заряд сферы 1: $q_1 = +2q$

Радиус сферы 2: $R_2 = 2R$

Заряд сферы 2: $q_2 = +q$

Радиус сферы 3: $R_3 = 3R$

Заряд сферы 3: $q_3 = +q$

Потенциал $\phi_1$, создаваемый точечным зарядом $q$ на расстоянии $R$: $\phi_1 = 100 \text{ В}$

Расстояние до точки A: $R_A = 2,5R$

Найти:

Потенциал в точке А, $\phi_A$.

Решение:

Потенциал электрического поля, создаваемого системой зарядов, подчиняется принципу суперпозиции. Это означает, что потенциал в любой точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности.

Потенциал, создаваемый равномерно заряженной сферической поверхностью (сферой) радиуса $R_{сф}$ с зарядом $Q$ на расстоянии $r$ от её центра, определяется следующим образом:

- если точка находится вне сферы ($r \ge R_{сф}$), то потенциал равен потенциалу точечного заряда $Q$, помещенного в центр сферы: $\phi = k \frac{Q}{r}$;

- если точка находится внутри сферы ($r < R_{сф}$), то потенциал в любой точке внутри постоянен и равен потенциалу на её поверхности: $\phi = k \frac{Q}{R_{сф}}$.

Из условия задачи известно, что точечный заряд $q$ создаёт на расстоянии $R$ потенциал $\phi_1 = 100 \text{ В}$. По формуле потенциала точечного заряда:

$\phi_1 = k \frac{q}{R} = 100 \text{ В}$

где $k$ - коэффициент пропорциональности в законе Кулона. Это соотношение мы будем использовать для вычисления итогового значения.

Рассчитаем потенциал в точке A, которая находится на расстоянии $R_A = 2,5R$ от центра, как сумму потенциалов от трёх сфер:

$\phi_A = \phi_{A1} + \phi_{A2} + \phi_{A3}$

1. Потенциал от сферы 1 (радиус $R$, заряд $q_1 = +2q$):

Точка A находится вне этой сферы, так как $R_A = 2,5R > R$. Следовательно, потенциал $\phi_{A1}$ рассчитывается как от точечного заряда, расположенного в центре:

$\phi_{A1} = k \frac{q_1}{R_A} = k \frac{2q}{2,5R} = \frac{2}{2,5} \cdot (k \frac{q}{R})$

2. Потенциал от сферы 2 (радиус $2R$, заряд $q_2 = +q$):

Точка A также находится вне этой сферы, так как $R_A = 2,5R > 2R$. Потенциал $\phi_{A2}$ рассчитывается аналогично:

$\phi_{A2} = k \frac{q_2}{R_A} = k \frac{q}{2,5R} = \frac{1}{2,5} \cdot (k \frac{q}{R})$

3. Потенциал от сферы 3 (радиус $3R$, заряд $q_3 = +q$):

Точка A находится внутри этой сферы, так как $R_A = 2,5R < 3R$. Потенциал $\phi_{A3}$ внутри сферы постоянен и равен потенциалу на её поверхности (на расстоянии $3R$ от центра):

$\phi_{A3} = k \frac{q_3}{R_3} = k \frac{q}{3R} = \frac{1}{3} \cdot (k \frac{q}{R})$

Теперь просуммируем все три потенциала, чтобы найти общий потенциал $\phi_A$ в точке A:

$\phi_A = \phi_{A1} + \phi_{A2} + \phi_{A3} = k \frac{2q}{2,5R} + k \frac{q}{2,5R} + k \frac{q}{3R}$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:

$\phi_A = (k \frac{q}{R}) \cdot (\frac{2}{2,5} + \frac{1}{2,5} + \frac{1}{3}) = (k \frac{q}{R}) \cdot (\frac{3}{2,5} + \frac{1}{3})$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $2,5 = \frac{5}{2}$, поэтому $\frac{3}{2,5} = \frac{3}{5/2} = \frac{6}{5}$.

$\phi_A = (k \frac{q}{R}) \cdot (\frac{6}{5} + \frac{1}{3})$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю 15:

$\frac{6}{5} + \frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3}{15} + \frac{1 \cdot 5}{15} = \frac{18 + 5}{15} = \frac{23}{15}$

Подставим это значение обратно в выражение для $\phi_A$:

$\phi_A = (k \frac{q}{R}) \cdot \frac{23}{15}$

Теперь используем известное нам значение $k \frac{q}{R} = 100 \text{ В}$:

$\phi_A = 100 \cdot \frac{23}{15} = \frac{2300}{15} = \frac{460}{3} \approx 153,33 \text{ В}$

Ответ: потенциал в точке А равен $\frac{460}{3}$ В, что приблизительно составляет $153,3$ В.