Упражнение 11, страница 75 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

Упражнение 11

Стальной шарик диаметром $1 \text{ мм}$ падает с постоянной скоростью $0,185 \text{ см/с}$ в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Выполните задания.

1 ) Определите силу тяжести, действующую на стальной шарик, плотность стали $7800 \text{ кг/м}^3$, примите $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

2 ) Определите силу Архимеда, плотность касторового масла $900 \text{ кг/м}^3$.

3 ) Можно ли утверждать, что сила тяжести равна сумме сил Архимеда и Стокса? Запишите соотношение сил.

4 ) Изобразите силы, действующие на шарик.

5 ) Определите силу Стокса.

6 ) Определите динамическую вязкость касторового масла.

Дано:

Диаметр стального шарика, $d = 1$ мм
Постоянная скорость падения, $v = 0,185$ см/с
Плотность стали, $ρ_{ст} = 7800$ кг/м³
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²
Плотность касторового масла, $ρ_{м} = 900$ кг/м³

Перевод в систему СИ:

$d = 1$ мм $= 1 \cdot 10^{-3}$ м
Радиус шарика, $r = d/2 = 0,5 \cdot 10^{-3}$ м
$v = 0,185$ см/с $= 0,185 \cdot 10^{-2}$ м/с $= 0,00185$ м/с

Найти:

1) Силу тяжести $F_т$
2) Силу Архимеда $F_А$
3) Соотношение сил
4) Изобразить силы
5) Силу Стокса $F_{Ст}$
6) Динамическую вязкость касторового масла $\eta$

Решение:

1) Определите силу тяжести, действующую на стальной шарик, плотность стали 7800 кг/м³, примите g ≈ 10 м/с².
Сила тяжести вычисляется по формуле $F_т = m \cdot g$. Массу шарика $m$ найдем через его плотность $ρ_{ст}$ и объем $V$: $m = ρ_{ст} \cdot V$. Объем шара определяется по формуле $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. Сначала вычислим объем шарика:
$V = \frac{4}{3} \pi (0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 0,125 \cdot 10^{-9} \text{ м³} \approx 0,5236 \cdot 10^{-9} \text{ м³}$.
Теперь можем рассчитать силу тяжести:
$F_т = ρ_{ст} \cdot V \cdot g = 7800 \frac{кг}{м^3} \cdot (0,5236 \cdot 10^{-9} \text{ м³}) \cdot 10 \frac{м}{с^2} \approx 4,084 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.

Ответ: Сила тяжести, действующая на шарик, равна приблизительно $4,08 \cdot 10^{-5}$ Н.

2) Определите силу Архимеда, плотность касторового масла 900 кг/м³.
Сила Архимеда (выталкивающая сила) для тела, полностью погруженного в жидкость, определяется формулой $F_А = ρ_{м} \cdot g \cdot V$, где $ρ_{м}$ - плотность масла, а $V$ - объем шарика. Используя ранее вычисленный объем $V \approx 0,5236 \cdot 10^{-9} \text{ м³}$:
$F_А = 900 \frac{кг}{м^3} \cdot 10 \frac{м}{с^2} \cdot (0,5236 \cdot 10^{-9} \text{ м³}) \approx 4,712 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$.

Ответ: Сила Архимеда равна приблизительно $4,71 \cdot 10^{-6}$ Н.

3) Можно ли утверждать, что сила тяжести равна сумме сил Архимеда и Стокса? Запишите соотношение сил.
Да, можно. В условии задачи сказано, что шарик падает с постоянной скоростью. Это означает, что его движение равномерное, а ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно первому закону Ньютона, если тело движется равномерно и прямолинейно, то равнодействующая всех приложенных к нему сил равна нулю. На шарик действуют три силы:

• Сила тяжести ($F_т$), направленная вертикально вниз.
• Сила Архимеда ($F_А$), направленная вертикально вверх.
• Сила Стокса (сила вязкого трения, $F_{Ст}$), направленная вертикально вверх, против направления движения.

Условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось (направленную вниз):
$F_т - F_А - F_{Ст} = 0$, откуда следует соотношение: $F_т = F_А + F_{Ст}$.

Ответ: Да, можно, так как движение шарика равномерное (с постоянной скоростью). Соотношение сил: $F_т = F_А + F_{Ст}$.

4) Изобразите силы, действующие на шарик.
На рисунке схематически изображен шарик и три силы, действующие на него при падении в касторовом масле. Длины векторов сил выбраны с учетом их вычисленных величин для наглядности: вектор силы тяжести $F_т$ уравновешивается суммой векторов сил Архимеда $F_А$ и Стокса $F_{Ст}$.

Ответ: Схематическое изображение сил представлено на рисунке выше.

5) Определите силу Стокса.
Из соотношения сил, полученного в пункте 3, $F_т = F_А + F_{Ст}$, мы можем выразить силу Стокса:
$F_{Ст} = F_т - F_А$.
Подставим значения, вычисленные в пунктах 1 и 2:
$F_{Ст} = 4,084 \cdot 10^{-5} \text{ Н} - 4,712 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 40,84 \cdot 10^{-6} \text{ Н} - 4,712 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 36,128 \cdot 10^{-6} \text{ Н} \approx 3,61 \cdot 10^{-5} \text{ Н}$.

Ответ: Сила Стокса равна приблизительно $3,61 \cdot 10^{-5}$ Н.

6) Определите динамическую вязкость касторового масла.
Сила Стокса для тела сферической формы, движущегося в вязкой жидкости, определяется формулой закона Стокса: $F_{Ст} = 6 \pi \eta r v$, где $\eta$ - динамическая вязкость жидкости, $r$ - радиус шарика, $v$ - его скорость. Выразим из этой формулы динамическую вязкость $\eta$:
$\eta = \frac{F_{Ст}}{6 \pi r v}$.
Подставим известные и вычисленные значения:
$\eta = \frac{3,6128 \cdot 10^{-5} \text{ Н}}{6 \pi \cdot (0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}) \cdot (0,00185 \text{ м/с})} \approx \frac{3,6128 \cdot 10^{-5}}{1,7436 \cdot 10^{-5}} \approx 2,072 \text{ Па} \cdot \text{с}$.

Ответ: Динамическая вязкость касторового масла составляет приблизительно $2,07 \text{ Па} \cdot \text{с}$.