Номер 7, страница 135 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

7. Какова связь потенциала поля с его напряженностью?

Связь между потенциалом электростатического поля $\phi$ (скалярная энергетическая характеристика) и его напряженностью $\vec{E}$ (векторная силовая характеристика) является фундаментальной в электростатике. Эта связь может быть выражена в двух основных формах: дифференциальной и интегральной.

В наиболее общем виде, напряженность электрического поля является градиентом потенциала, взятым со знаком минус. Математически это записывается так: $\vec{E} = -\nabla \phi$ где $\nabla$ — это оператор набла, или градиент.

Физический смысл этого векторного уравнения заключается в следующем. Во-первых, вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$ в каждой точке пространства направлен в сторону наискорейшего убывания потенциала $\phi$. Во-вторых, модуль вектора напряженности $|\vec{E}|$ равен скорости изменения потенциала в этом направлении (т.е. значению этой самой быстрой производной).

Если расписать это уравнение в декартовой системе координат $(x, y, z)$, то проекции вектора напряженности на оси координат будут равны частным производным от потенциала по этим координатам, взятым с обратным знаком:
$E_x = -\frac{\partial \phi}{\partial x}$
$E_y = -\frac{\partial \phi}{\partial y}$
$E_z = -\frac{\partial \phi}{\partial z}$

Таким образом, зная, как потенциал зависит от координат, $\phi(x, y, z)$, можно однозначно определить вектор напряженности $\vec{E}$ в любой точке.

Существует и обратная, интегральная связь. Разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 (которую также называют напряжением $U_{12}$) равна работе, которую совершает поле при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. Эта работа вычисляется как криволинейный интеграл от вектора напряженности по пути перемещения: $\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2 = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l}$ где $d\vec{l}$ — вектор элементарного перемещения вдоль траектории. Так как электростатическое поле является потенциальным, этот интеграл не зависит от формы пути, а только от начальной и конечной точек.

Для частного, но важного случая однородного электрического поля (когда $\vec{E}$ — постоянный вектор), связь значительно упрощается. Если выбрать две точки, находящиеся на одной силовой линии на расстоянии $d$ друг от друга, то разность потенциалов $U = |\phi_1 - \phi_2|$ между ними будет равна: $U = E \cdot d$ Отсюда напряженность можно выразить как: $E = \frac{U}{d}$ Эта формула показывает, что напряженность однородного поля численно равна разности потенциалов, приходящейся на единицу длины вдоль силовой линии.

Ответ: Связь потенциала $\phi$ и напряженности $\vec{E}$ электростатического поля является дифференциальной. Напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком: $\vec{E} = -\nabla \phi$. Это означает, что вектор напряженности $\vec{E}$ всегда направлен в сторону самого быстрого убывания потенциала, а его модуль равен этому изменению потенциала на единицу длины. В интегральной форме разность потенциалов между двумя точками выражается как интеграл от напряженности поля по пути, соединяющему эти точки: $\phi_1 - \phi_2 = \int_{1}^{2} \vec{E} \cdot d\vec{l}$.