Номер 4, страница 207 - гдз по физике 10 класс учебник Закирова, Аширов

4. Какое поле называют вихревым?

4. Вихревым полем называют векторное поле, ротор которого в данной области пространства не равен нулю. Ротор является векторной характеристикой, показывающей степень "завихренности" поля в каждой его точке.

Математически условие для вихревого поля $\vec{A}$ записывается как:
$\text{rot} \, \vec{A} \neq 0$ или, используя оператор набла, $\nabla \times \vec{A} \neq 0$.

Ключевые свойства и характеристики вихревого поля:

• Циркуляция. Циркуляция вихревого поля по замкнутому контуру $L$ в общем случае не равна нулю. Согласно теореме Стокса, циркуляция векторного поля по контуру равна потоку ротора этого поля через любую поверхность, натянутую на этот контур. Если ротор не ноль, то и циркуляция, как правило, не ноль: $\oint_L \vec{A} \cdot d\vec{l} \neq 0$.
• Силовые линии. Силовые линии вихревого поля являются замкнутыми кривыми или начинаются и заканчиваются на бесконечности. Они не могут начинаться или заканчиваться на источниках или стоках (зарядах) внутри поля.
• Непотенциальность. Вихревое поле не является потенциальным. Для него нельзя ввести скалярный потенциал $\phi$, градиентом которого оно бы являлось, так как ротор градиента всегда равен нулю ($\text{rot} \, (\text{grad} \, \phi) \equiv 0$).

Примеры вихревых полей:

• Магнитное поле. Магнитное поле, создаваемое электрическим током, является вихревым. Его ротор определяется плотностью тока (закон Ампера в дифференциальной форме): $\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j}$. Силовые линии такого поля представляют собой замкнутые кривые, охватывающие проводник с током.
• Индукционное электрическое поле. Электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля со временем, является вихревым. Его ротор определяется скоростью изменения магнитного поля (закон электромагнитной индукции Фарадея): $\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$. Это поле заставляет заряды двигаться по замкнутым траекториям, создавая индукционный ток. В отличие от него, электростатическое поле, создаваемое неподвижными зарядами, является потенциальным (безвихревым).
• Поле скоростей жидкости или газа. В гидродинамике, если в потоке жидкости существуют вихри (например, водоворот), то поле скоростей частиц жидкости в этой области будет вихревым.

Ответ: Вихревое поле — это векторное поле, отличительной чертой которого является наличие "завихрений", что математически выражается в ненулевом роторе ($\text{rot} \, \vec{A} \neq 0$). Силовые линии такого поля замкнуты, а его циркуляция по замкнутому контуру, как правило, отлична от нуля.