Страница 77 - гдз по геометрии 10 класс рабочая тетрадь Глазков, Юдина

101 a) Дорисуйте на развертке правильного додекаэдра клапаны для склеивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте модель многогранника.

б) Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности правильного додекаэдра.

Ответ. б) _______ см².

4-6: Параллельност

7: Скрещивающиеся

8, 9: Углы с сонаправлен

10, 11: Параллельные плоскост

12, 14: Тела вращ. Задач на пос

13, 14: Параллельн

16-18: Перпендикулярность прямых

19: Расстояние от точки до плоскост

20: Теорема о трех перпендикулярах

21: Угол между прямой и плоскостью

22-24: Двугранный угол. Признаки

27: Прямоугольный парал

30: Призма

32: Пирамида

33, 34: Усеченная пир

36: Свойства призмы

38: Понятие многогранника

Данный пункт является практическим заданием. Для его выполнения необходимо совершить следующие действия:

1. Дорисовать клапаны для склеивания. Клапаны — это небольшие дополнительные полоски, которые рисуются на внешних ребрах развертки. При сборке их смазывают клеем и подгибают внутрь для соединения граней. Согласно условию, клапаны нужно добавлять «через одно ребро». На данной развертке 20 внешних ребер. Это значит, что нужно нарисовать 10 клапанов, чередуя: на одном ребре есть клапан, на следующем — нет, и так далее по всему периметру. Клапаны удобно рисовать в виде небольших трапеций или прямоугольников.

2. Вырезать и склеить. После того как клапаны нарисованы, развертку нужно аккуратно вырезать по внешнему контуру (вместе с клапанами). Затем согнуть заготовку по всем внутренним линиям (ребрам додекаэдра). Наконец, нанося клей на клапаны, последовательно соединить грани, чтобы получилась объемная модель додекаэдра.

Ответ: Это практическое задание по созданию модели многогранника.

Для вычисления площади поверхности правильного додекаэдра сначала необходимо знать длину его ребра.

Шаг 1: Измерение длины ребра

Поскольку мы работаем с цифровым изображением, точное измерение линейкой невозможно. Для выполнения расчетов примем, что длина ребра додекаэдра равна $a = 2$ см. В реальных условиях эту длину следует измерить на бумажной развертке.

Шаг 2: Расчет площади поверхности

Поверхность правильного додекаэдра состоит из 12 одинаковых граней, каждая из которых — правильный пятиугольник. Общая площадь поверхности $S$ — это площадь одной грани-пятиугольника ($S_{п}$), умноженная на 12.

Площадь правильного пятиугольника со стороной $a$ находится по формуле:

$S_{п} = \frac{5a^2}{4\tan(36^\circ)}$

Подставим значение $a = 2$ см:

$S_{п} = \frac{5 \cdot (2 \text{ см})^2}{4\tan(36^\circ)} = \frac{5 \cdot 4 \text{ см}^2}{4\tan(36^\circ)} = \frac{5}{\tan(36^\circ)} \text{ см}^2$

Используем приблизительное значение $\tan(36^\circ) \approx 0.7265$:

$S_{п} \approx \frac{5}{0.7265} \approx 6.882 \text{ см}^2$

Теперь найдем общую площадь поверхности додекаэдра:

$S = 12 \cdot S_{п} \approx 12 \cdot 6.882 \text{ см}^2 \approx 82.584 \text{ см}^2$

Для проверки можно использовать готовую формулу площади поверхности додекаэдра $S = 3\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \cdot a^2$. Коэффициент $3\sqrt{25 + 10\sqrt{5}} \approx 20.6457$.

$S \approx 20.6457 \cdot (2 \text{ см})^2 = 20.6457 \cdot 4 \text{ см}^2 \approx 82.5828 \text{ см}^2$.

Результаты совпадают. Округлим ответ до десятых.

Ответ: $82.6$ см².